فرضیهٔ عددهای بزرگ دیراک

[Rez@ee]

فرضیهٔ عددهای بزرگ دیراک فرضیه‌ای دربارهٔ ثابت‌های بنیادی فیزیک است. دیراک در سال ۱۹۳۷ دو عدد بدون بُعد را با استفاده از ثابت‌های بنیادی فیزیک ساخت و مشاهده کرد که این دو عدد به طور شگفت‌آوری با هم مساوی هستند. او از این تساوی، نتیجه‌های مهمی دربارهٔ برخی از مفاهیم بنیادی فیزیک استنباط کرد.
عدد اول، N₁ ، نسبت بین نیروی گرانشی و نیروی الکتریکی بین الکترون و پروتون در یک اتم است. نیروی گرانشی بین یک الکترون و یک پروتون در اتم از قانون گرانش نیوتن محاسبه می‌شود و برابر است با

F=Gm_pm_e/r²

که در آن G ثابت گرانش است و m_p و m_e به ترتیب جرم پروتون و جرم الکترون هستند.
نیروی الکتریکی بین الکترون و پروتون نیز از قانون کولن به دست می‌آید و برابر است با

F=ke²/r²

که در آن k ثابت کولن و e بار پروتون است.
نسبت این دو نیرو برابر است با

N₁ = ke²/Gm_pm_e = 10⁴⁰

این عدد بدون بُعد است و هیچ واحدی ندارد، زیرا نسبت بزرگی دو نیرو را بیان می‌کند. در نتیجه، مستقل از این که یکاهای اندازه‌گیری‌مان را از کدام دستگاه انتخاب کنیم (دستگاه SI، دستگاه cgs یا هر دستگاه دیگر) مقدار این عدد همواره برابر همین مقدار است.
عدد دوم، N₂ ، نسبت بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین طولی است که در جهان وجود دارد. بزرگ‌ترین طولی که دیراک در نظر گرفت، شعاع جهان مشاهده‌پذیر است؛ یعنی مسافتی که نور از آغاز پیدایش عالم تاکنون طی کرده است. این طول برابر است با

L=cT

که در آن c سرعت نور و T عمر جهان و تقریباً برابر با ۱۰ میلیارد سال است. دقت کنید که در این محاسبات فقط مرتبهٔ بزرگی کمیت‌ها مورد نظر ماست و بنابراین مقدار دقیق عمر جهان (که بین ۱۱ تا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می‌شود) تغییر مهمی در این محاسبات ایجاد نمی‌کند.
کوچک‌ترین طولی که دیراک در نظر گرفت، ابعاد یک پروتون است. قطر یک پروتون تقریباً برابر است با

d=10^-15

بنابراین عدد بدون بعد دوم، N₂ ، برابر است با

N₂₌cT/d = 10⁴⁰

می‌بینیم که دو عدد N₁ و N₂ که از راه‌های کاملاً متفاوتی حساب شده‌اند، مقدار یکسانی دارند. دیراک با مشاهدهٔ تساوی این دو عدد (که ظاهراً ربطی به هم ندارند) حدس زد که شاید قانون شناخته‌نشده‌ای در فیزیک وجود داشته باشد که باعث شود مقدار این دو کمیت با هم مساوی بماند. اگر این فرض درست باشد (که به آن فرضیهٔ عددهای بزرگ دیراک می‌گویند) تساوی زیر باید همیشه برقرار بماند:

ke²/Gm_pm_{e =} cT/d

ولی یکی از کمیت‌های موجود در این تساوی عمر جهان T است که پیوسته در حال افزایش است. پس می‌توان به این نتیجه رسید که اگر این تساوی همواره برقرار بماند، سایر ثابت‌های فیزیکی باید طوری تغییر کنند که این برابری به هم نخورد. دیراک حدس زد که کمیت متغیر دیگر در این رابطه ثابت گرانش G است و رابطهٔ معکوس با عمر جهان دارد:

G=1/T

‫برخی از مدل‌های کیهان‌شناسی از این فرضیه به عنوان فرض اصلی خود استفاده می‌کنند.‬ اهمیت این حدس در آن است که یک پدیده در مقیاس اتمی را (که باید به مکانیک کوانتومی مربوط باشد) به پدیده‌ای گرانشی (که به نسبیت عام مربوط است) ربط می‌دهد؛ شاید این فرضیه سرنخی باشد برای متحد کردن مکانیک کوانتومی با گرانش و رسیدن به نظریهٔ گرانش کوانتومی. فیزیکدانان مدت‌هاست که به دنبال چنین نظریه‌ای می‌گردند.
البته برخی از فیزیکدانان معتقدند این فرضیه فقط یک تصادف عددی است. رابرت دیکی ، یکی از نسبیت‌دانان بزرگ قرن بیستم، نظر جالبی دربارهٔ این فرضیه دارد. او در سال ۱۹۶۱ بیان کرد که اگر مقدار این دو عدد با هم برابر نبود، ستارگان در عالم فرصت کافی نداشتند تا با گداخت هسته‌ای عناصر سنگین را –که برای حیات ضروری‌اند– بسازند. بنابراین به نظر او اگر این دو عدد با هم برابر نبودند، ما نیز وجود نداشتیم تا بپرسیم که چرا این برابری وجود ندارد!
مراجع
دانشنامهٔ آزاد ویکی‌پدیا به زبان انگلیسی، مقالهٔ

Dirac Large Number Hypothesis
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_large_numbers_hypothesis

که در آن از مراجع زیر استفاده شده است:

Dirac, P. A. M. "The Cosmological Constants." Nature 139 (1937) 323.
Dirac, P. A. M. "Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 338, No. 1615. (Jul. 16, 1974), pp. 439-446.

برای مطالعهٔ بیشتر
کلیفورد ام. ویل، آیا اینشتین درست می‌گفت؟: آزمون نسبیت عام، ترجمهٔ دکتر احمد شریعتی، ناشر: سازمان چاپ و انتشارات وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی، ۱۳۸۳.