مفهوم دنباله
مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.
حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید: با کمی دقت متوجه میشویم که میتوان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)
اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت: متوجه میشویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر میکند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر میکند و میتوان چنین ضابطهای برای آن تعیین نمود:
حال در مثالی دیگر تابع را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:
مشاهده میکنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت میکند و آن را به یک عدد دیگر نسبت میدهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمیباشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود میآورد.
نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع ، ، که در آنها n عددی طبیعی است.
به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف میشوند دنباله میگوییم. در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله میگوییم. همین شیوه برای سایر دنبالهها نیز اعمال میشود.
در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونهای به اعضای برد متناظر میشوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2 در برد که اولین جمله دنباله است متناظر میشود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر میشود و به همین ترتیب عدد n در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود.
تعریف دنباله
دنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر چون A.
اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی میگوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را نامتناهی میگوییم. به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی است و دنباله اعداد زوج دنبالهای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.
برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر باشد دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله میگوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با (f(n و یا به صورتی معمولتر به صورت Fn نشان میدهیم. پس برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی n بجای نماد (f(n معمولا از نماد استفاده میکنیم. به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:
برای نمایش خود دنباله از نماد استفاده میکنیم. پس دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت نشان می دهیم:
دنباله حقیقی
دنباله را دنباله حقیقی میگویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد به عبارت دیگر تابعرا یک دنباله حقیقی میگویند.
به عنوان مثال دنبالهدنبالهای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.
- لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله حقیقی است.
نمودار یک دنباله
از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است میتوان دنباله را بوسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام میشود. در یک روش میتوان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر میتوان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح میدهیم. به عنوان مثال میخواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:
- بوسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده میکنیم. نمودار این دنباله به این صورت خواهد بود:
- بوسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن مینویسیم مانند این نمودار:
علاقه مندی ها (Bookmarks)