با هم فکر کنیم

[Only Math]

فرض کنيد دو شهر A و B در دو طرف يک رودخانه قرار دارند
و ما مي خواهيم کنار رودخانه بندري بسازيم
که کالاها و اقلام صادراتي را از دو شهر به سمت بندر حمل کنيم
و چون در بندر امکان انبار کالا نخواهيم داشت،
محل بندر را بايد جايي کنار رودخانه تعبيه کنيم
که زماني که ماشين شماره 1 از يک شهر مي رسد
ماشين شماره 2 بيشترين مسافت را طي کند تا به شهر برسد
تا ما زمان لازم براي ترخيص کالا از بندر را داشته باشيم.
( در صورتیکه بدانیم ماشین ها با سرعت ثابت و برابر حرکت می کنند.)
(ماشینی که زودتر می رسد ماشين شماره ی 1 نام گذاری شده است .
در واقع ماشینی که فاصله ی کمتری تا بندر طی می کند.
و طبیعتاً ماشین دیگر شماره ی 2 نام گذاری خواهد شد.
در این مقاله ماشین پایین رودخانه ماشین شماره ی 1
و ماشین بالای رودخانه شماره ی 2 خواهد بود.)

به نظر شما اگر جاده ها را خط راست فرض کنيم
محل بندر را کجا بايد در نظر گرفت تا شرايط لازم ايجاد شود؟

حل:

براي حل اين مسئله ابتدا آنرا تحليل کرده

سپس خواستـه هاي آن را به زبـان رياضي بيــان مي کنيم.
چون سرعت 2 مـاشين برابر است پس زمــاني که ماشين شماره ی 1 به شهر مي رسد،
ماشيــن شماره ی 2 به انـدازه ماشين شماره ی 1 مسافت طي کرده است.

يعني اگر در زمان رسيدن ماشين اول به بندر ،
ماشين شماره ی 2 در نقطه ی k باشد، داريم:
KA = MB
حال بعد از رسیدن ماشین شماره ی 1
مي خواهيم ماشين شماره ی2 بيشترين زمان ممکن را در راه باشد
یعنی در واقع بیشترین مسافت را طی می کند.
يعني بين تمام محل هايي که مي توان بندر را آنجا فرض کرد مثل ′M′K′<MK ،M باشد،
یعنی MK بيشترين طول را داشته باشد.
(دقت کنيد ′K در مسير جديد همان نقشهای K در مسير قديم را دارد. يعني:AK′=M′B )

از طرفي KA-AM=KM و یا BM-AM=KM
يعني نقطه M را بايد جايي در نظر بگيريم
که حاصل تفريق فاصله هايش از دو نقطه A و B بيشترين مقدار را داشته باشد.
براي اين مورد قرينه نقطه B را نسبت به خط ∆ (رودخانه)
مي يابيم و آن را ′Bمي ناميم.
A را به ′B وصل کرده امتداد مي دهيم.

محل برخورد امتداد پاره خط B′A با خط ∆ نقطه M را به دست مي دهد.
ادعا مي کنيم که اين نقطه ، نقطه مطلوب است.
يعني طول (BM- AM) ماکزيمم است.
دقت کنيد چون ′B قرينه B است. درنتيجه MB′= MB درنتيـجه
AB′=MA-MB .
حال برای محک زدن جوابمان فرض می کنیم که
نقطه ای مثل′M وجود دارد که مقدار تفاضل M′A-M′B از AB′=MA-MB بیشتر است.
يعني MA-MB<M′A-M′B .
حال ثابت مي کنيم که چنين نقطه اي نمي تواند وجود داشته باشد.
در مثلث M′B′A∆ بايد هر ضلع از تفاضل دو ضلع ديگر بزرگتر باشد.

پس: M′A-M′B′<B′A
و چون : AB′=MA-MB
در نتیجه : M′A-MB′<MA-MB

که خلاف فرض است.
در نتيجه با استفاده از برهان خلف حکم را ثابت کرديم .
پس نقطه مطلوب همان نقطه M است.

راه حل مسأله ها عموماً همچون صاعقه فرود مي آيند.
ممکن است مسأله اي ساعتها و ساعتها ذهنمان را به خود مشغول سازد،
اما راه حل آن آشکار نشود.
در اين لحظه شايد هيچ ايده اي براي حل مسأله نداريم
اما تنها لحظه اي بعد ممکن است راه حل مسأله جلوي چشمانتان آشکار شود.
(ويليام گلدينگ)

منبع:www.tizhosh.ir