فضای برداری

[nafise sadeghi]

فضای برداری

یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از:
1.میدان f از اسکالرها
2.یک مجموعه v از اشیا به نام بردار
3.یک عمل جمع برداری برروی v به طوری که به ازای هر متعلق به v آنگاه در وجود داشته باشد و
الف.

ب.

ج.

(که در آن منحصر به فرد است.)
د.

4.عمل ضرب موسوم به ضرب اسکالر به طوری که به ازای هر متعلق به و متعلق به عضوی از باشد وداشته باشیم:
الف.

ب.

ج.

د.

در این صورت گوییم یک فضای برداری روی میدان است

[nafise sadeghi]

قضیه (1)

فرض کنیم v یک فضای برداری بر روی میدان f باشد در این صورت:
1.

2.

3.اگر آنگاه یا
4.

5.

(که در آن منحصر به فرد است.)

زیر فضا

فرض کنیم یک فضای برداری بر روی میدان باشد در این صورت اگر همراه با دو عمل جمع برداری روی و ضرب اسکالر تشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییم زیرفضای برداری است.

لم

برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود:
1.بسته بودن نسبت به جمع برداری
2.وجود بردار صفر در
3.وجود قرینه هر بردار در
4.بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر

قضیه (2)

یک زیر مجموعه غیرتهی از زیرفضاست اگر و فقط:

[صبا محمدي]

قضیه : اگر T : V ® W یک تبدیل خطی یک به یک و پوشا باشد ، آنگاه T-1 : V ® W نیز یک تبدیل خطی است.
برهان : چون T پوشاست داریم

lw1 +w2 = TT-1(lw1 +w2)

از طرفی چون T تبدیل خطی

lw1 +w2 = lTT-1 w1 + TT-1 w2 =T(lT-1 w1 + T-1 w2)

بنابراین
TT-1(lw1 +w2) = T(lT-1 w1 + T-1 w2)
چون T یک به یک است
T-1(lw1 +w2) = lT-1 w1 + T-1 w2
یعنی T-1 تبدیل خطی است .

[صبا محمدي]

نکته : دو فضای برداری ، یکریخت نامیده می شوند ، هرگاه یک تبدیل خطی یک به یک و پوشا بین آن ها موجود باشد . اگر VوW یکریخت باشند می نویسیم V @ W

فرض کنید v1,v2,…,vn و v بردارهایی در V باشند و a1,a2,…, an اسکالر هایی در F باشند و
v = a1v1+a2v2+…+anvn باشد،آنگاهv را ترکیب خطی بردارهای v1,v2,…,vn می گویند .

اگر به ازای هر j ی aj ¹ 0 آنگاه

ajvj = v - a1v1 - …- aj-1vj-1- aj+1vj+1- … - anvn

پس
vj = a-1j v - a-1ja1v1 - …- a-1j aj-1vj-1- a-1j aj+1vj+1- … - a-1j anvn

یعنی vj ترکیب خطی v,v1,v2,…,vj-1 ,vj+1 ,…, vn است .

مثال: بردار (a ,b) در R2 ترکیب خطی بردار های (1 , 0) و (0 , 1) به صورت زیر است

(a ,b) = a(1 ,0 ) + b(0,1)

مثال : آیا(a ,b) ترکیب خطی(2,2 ) و(0 ,1) است؟
(a , b) = a(0 ,1)+b(2 ,2) Þb=a/2 , a = b-a

تعریف: بردار های v1,v2,…,vn را مستقل خطی گوییم هر گاه

"a1v1+a2v2+…+anvn = 0 Þa1 = … = an = 0

در غیر این صورت این بردار ها را وابسته خطی گوییم .

پس بردارهای v1,v2,…,vn وابسته خطی اند هرگاه اسکالرهایی مانند a1,a2,…, an که همگی آن ها تواما ً صفر نیستند ، موجود باشند که
a1v1+a2v2+…+anvn = 0

تعریف : فرض کنیم V یک فضای برداری باشد و WÍ V . اگرW با همان اعمال V تشکیل یک فضای برداری دهد، آنگاه آن را یک زیر فضای برداری V گویند و می نویسند W£V.

نکته : همیشه{0} و W زیر فضاهای W هستند که ان ها را زیر فضاهای بدیهی می نامند .

قضیه : W£V اگر و تنها اگرW نسبت به اعمال جمع و ضرب اسکالر بسته باشد .

مثال : زیر فضاهای R2 عبارتند از :
{0} و R و خطوط مار بر مبدا

[20zahra]

من سوالم چیز دیگست کسی هست جواب بده؟