دنیای فراکتال ها

[Only Math]

[Only Math]

در کنار تمامی این فراکتالهای پیچیده و جذاب انواع دیگری از فراکتالها وجود دارند که به راحتی میتوان انها را ساخت. به نمونه های زیر توجه کنید:


یکی از مشهورترین فراکتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام «‌فون‌کخ» در سال 1904 ابداع شد. در این فراکتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر می‌گیریم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم؛ سپس به جای پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جایگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراکتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبیه است.


نمونه 1:

روش ساخت فراکتال« دانه برفی کخ» که کوچک ترین جزء آن مثلث متساوی‌الاضلاع است

نمونه بزرگ شده فراکتال دانه برفی کخ

نمونه 2 :

چند نمونه دیگه :

[Only Math]

اینم دو فراکتال ساده دیگه که خودمون ساختیم :

http://uc-njavan.ir/images/q74ej2toi529h0l8y40.jpg

http://uc-njavan.ir/images/b3al45zs8dvqd0dcedep.jpg

[sarina_]

[sarina_]

[ستاره ی قطبی]

Featured on the cover of the HPC (High Performance Computing) magazine, 3 August 2001.

[ستاره ی قطبی]

Hopalong or "The Chaos Game
"



This gives a series of (x,y) points all which lie on the result of an infinite IFS. Although it still takes an infinite number of terms in this series to form the result the appearance can be readily appreciated after a modest number of terms (10000 say).

[؛ شادی ؛]

«فراکتال‌ها» (شکل‌های تکرار شده)* همه جا هستند!

در بین گیاهان، میوه‌ها، کوه‌ها، ساختمان‌ها و... می‌توان نمونه‌هایی از آنها را یافت. به عکس‌های زیر نگاه کنید. به سختی می‌توان باور کرد این تصویرهای زیبا، که توسط برنامه‌های پیشرفته کامپیوتری کشیده شده‌اند، یکی از مبحث‌های مهم و جالب در علم ریاضیات باشد. البته شاید در نگاه اول نتوانید متوجه ویژگی مشترک آنها شوید و به ارتباطشان با دنیای واقعی پی‌ببرید، اما اگر با

تعریف آنها آشنا شوید، چه بسا خودتان هم بتوانید مدل تازه‌ای از فراکتال‌ها ارائه کنید!

«فراکتال» به شکل هندسی‌ای گفته می‌شود که آرایشی تکرارشونده دارد؛ یعنی اگر آن را چند تکه کنیم، هر قسمت تکراری از قسمت دیگر است. به بیان دیگر هر جزء آن نماینده‌ای از کل است.

نمونه‌هایی از فراکتال‌هایی که توسط کامپیوتر کشیده شده‌اند و پیدا کردن کوچک ترین جزء و روش تکرار آنها، کار راحتی نیست

واژه فراکتال از کلمه یونانی به معنی «تکه‌تکه» یا «شکسته شده» گرفته شده و اولین بار در سال 1975 میلادی توسط دانشمندی به نام «مندلبورت» به کار برده شده است. اهمیت فراکتال‌ها در علم ریاضی به این خاطر است که بسیاری از وضعیت‌هایی که هندسه اقلیدسی از توضیح آنها ناتوان است را می‌توان به کمک آنها توجیه کرد. همین دلیل باعث گستردگی و کاربرد فراوان فراکتال‌ها در سایر علوم مثل فیزیک، شیمی، نجوم، زمین‌شناسی و حتی هنر و معماری شده است!

برای درک بهتر موضوع بد نیست چند فراکتال ساده و معروف را بررسی کنیم و با چگونگی ساخت آنها آشنا شویم.

یکی از مشهورترین فراکتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام «‌فون‌کخ» در سال 1904 ابداع شد. در این فراکتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر می‌گیریم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم؛ سپس به جای پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جایگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراکتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبیه است.

روش ساخت فراکتال« دانه برفی کخ» که کوچک ترین جزء آن مثلث متساوی‌الاضلاع است

نمونه بزرگ شده فراکتال دانه برفی کخ

فراکتال دیگر به «اژدهای هرتر‌های‌وی» معروف است و بر خلاف اسم عجیبش روش ساخت ساده‌ای دارد! این شکل از یک تکه خط راست و تکرار و چسباندن آنها با زاویه
90 درجه به یکدیگر تشکیل شده است.

جدول ساخت اژدهای «هرترهای وی »، به نحوه تکرار و بزرگ شدن شکل دقت کنید

اگر به جدول چگونگی ساخت این فراکتال دقت کنید، می‌بینید که هر خانه از تکرار خانه قبلی پدید آمده است. البته باید گفت که در بسیاری از فراکتال‌ها روند بزرگ‌شدن، از دستورهای ریاضی ویژه‌ای پیروی می‌کند که هر یک در طبقه‌بندی جداگانه‌ای قرار دارند.

یکی از ویژگی‌های مهم و در عین حال پیچیده فراکتال‌ها این است که بُعد کسری یا اعشاری دارند. همان‌طور که می‌دانید نقطه بُعد ندارد و خط یک بُعد و صفحه دو بُعد و حجم‌ها سه بُعد دارند.

اما در هندسه فراکتال‌ها صحبت از شکل‌هایی می‌شود که بُعدهای کسری دارند. مثلاَ اگر صفحه‌ای از کاغذ (با ضخامت نزدیک به صفر) را مچاله کنیم، حجمی به دست می‌آید که بُعد اعشاری دارد.

نوعی کلم بروکلی که نمونه‌ای از فراکتال طبیعی تلقی می‌شود

همان‌طور که در ابتدا گفته شد، نمونه‌های زیبایی از فراکتال‌ها در طبیعت وجود دارد که می‌توانید به سراغشان بروید و نحوه ساخت آنها را از نزدیک بررسی کنید. کلم بروکلی، برگ سرخس، ریشه درخت‌ها، دانه‌های برف و... از این قبیل هستند.

* معادل فارسی فراکتال، «برخال» است که تکرار شوندگی یکی از ویژگی‌های آن است.

http://hamshahrionline.ir/details/69796

[؛ شادی ؛]

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی مستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.
میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هاییحاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.


وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب صص ۱۶۶-

[؛ شادی ؛]

همه جا فراکتال!
هندسه فراکتالي ديدگاه شما به طبيعت و محيط پيرامونتان را به طور کلي تغيير خواهد داد. گاليله مي‌گويد خداوند جهان را به زبان رياضي آفريده است. مندبرات در قرن جديد، اين مفهوم را به خوبي به ما نشان داده است.
اشكال فراكتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...
همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.
هندسه فراکتالي او، همه ديدگاه ما نسبت به ابرها، جنگلها، کهکشانها، برگ‌ها، پرها، گلها، صخره‌ها، کوهها، جريان آب، فرش‌ها و آجرها را تغيير مي‌دهد و شما متوجه مي‌شويد که اين پديده‌ها متفاوت هستند. هندسه مندبرات، به ما کمک خواهد کرد که با ديدگاه علمي جديدي به اين پديده‌ها نگاه کنيم و لبه ابرها، مرز درختان جنگل و افق، حرکات پر پرنده وقتي در هوا پواز مي‌کند را با نظم علمي جديدي ببينيم. ما در جهاني زندگي مي‌کنيم که قوانين حاکم بر پديده‌هايش، منشأ وحدت خاصي دارند که موجب مي‌شود اشکال کوچک از خره‌ها گرفته تا اشکال بزرگي مانند کهکشانها را با يک هندسه توضيح دهيم . طبيعت ما کاملا فراکتالي است.

چکیده

مفهوم فراکتال یکی از جذابترین مفاهیم هندسه امروز است.

فراکتال ها شکل هایی دارند که از جزییات مشابهی در اندازه های مختلف بر خوردارند. این بدان معناست که وقتی شما به قطعه کوچکی با شکل فراکتال نگاه میکنید، نسخه های کوچکی از همان شکل بزرگ فراکتال را ملاحظه میکنید انواع بسیار مختلفی از فراکتال ها وجود دارند و در قلب فراکتالها ریاضیات وجود دارد .


این بدان معنا نیست که انسان باید ریاضیات را برای ایجاد فراکتال ها درک کند . اگر چه هنر فراکتال ها از ریاضیات سر چشمه گرفته ولی در اسارت آن نمی باشد؛ ریاضیات و معادلات ابزار هایی در دستان هنرمندان هستند، ابزاری برای بیان شخصیت و احساس خود. تعدادی از کارهایی که ما انجام می دهیم ممکن است ارزش نا معلومی در مبحث ریاضیات داشته باشد.


خیلی از مردم جذب شکلهای زیبای عجیبی می شوند که به عنوان فراکتال شناخته شده اند. با گسترش ماورای درک معمولی از ریاضی به عنوان مجموعه ای از فرمولها ، هندسه ی فراکتالی هنر را با ریاضی می آمیزد که نشان دهند که معادلات بیشتر از مجموعه ای از اعداد هستند. با هندسه فراکتالی می توانیم بیشتر مدلهایی را که در طبیعت می بینیم به تصویر بکشیم مثل زیبا ترین خطوط ساحلی. فراکتال ها برای نشان دادن فرسایش خاک و آنالیز کردن الگوهای زلزله شناسی استفاده می شوند.

اما بیشتر از کاربرد های احتمالی برای توصیف الگوهای طبیعی ، به وسیله ی زیبایی تصویری فراکتالها می توانند به دانش آموزان کمک کنند که تفکر دانش آموزان که ریاضیات خشک و غیر قابل دسترسی ست عوض کند ممکن است کشف ریاضی در کلاس را تشویق کند .
تصاویر زیبایی طبیعی فراکتال ها در دانش آموزان انگیزه مطالعه سیستم های ارتباطی ، برنامه های شمارشی، پیشرفت الگو ، ریاضی انتگرالی، ایده بی نهایت و موضوعات دیگردر ریاضی و برنامه های درس علمی را ایجاد می کند .

البته کاربرد های دیگری هم برای فراکتال وجود دارد مثل معرفی شباهت ها ، فشردگی ،بی نهایتی ، تقسیم و کسر فراکتال ها ، توازن و بزرگنمایی و کشف الگو ها.



کلمات کلیدی:
Fractal) fractus یا fractura) KochFractal fractional dimension

فراکتال چیست؟
فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از " کل " تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند . این شکل ها اولاً سرتاسر نامنظم اند ، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.



با ملاحظه اشکال موجود د ر طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.


مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.
جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.
وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.
در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.
میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.
( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب )