دنیای فراکتال ها

[Only Math]

دانش ریاضی از زیباییهای زیادی برخوردار است که متاسفانه اکثر افراد شناختی در مورد آنها ندارند و به همین دلیل به ریاضیات به عنوان یک درس یا مبحث سخت، خشک و غیر قابل درک نگاه میکنند. این درحالی است که ریاضیات از زیبایی ها و جذابیت های زیادی برخوردار بوده و همواره در طبیعت و دنیای اطراف ما به کار رفته است و شناخت و معرفی این زیباییها میتواند در علاقه مند شدن افراد به دانش ریاضی کمک زیادی بکند و از ریاضیات درسی شیرین و جذاب بسازد.

یکی از این زیباییها دنیای فراکتالها ( برخالها) است. فراکتالها که در شاخه هندسه قرار دارند از جمله مباحثی در ریاضیات هستند که میتواند دنیای ریاضیات را با علوم دیگر پیوند دهد و بسیاری از زیباییهای جهان ما را به تصویر بکشد.

در این تاپیک میخوام شما را با این دنیای جذاب و زیبا آشنا کنم و اگر کسی مطلب یا تصویری از این موضوع در اختیار داره لطفا در این بخش قرار بده تا دوستان دیگر هم بتوانند از آنها بهره مند شوند.

[Only Math]

واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند.


همه شما حتی اگر از هندسه نیز چیزی ندانید بارها نام آن را شنیده اید. و حتماً می دانید که «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از ریاضیات است، همین سه عنوان در ریاضیات پایه گذار پیشرفت در تمام علوم محسوب می شوند.

شاید همین حس مسئولیتی که ریاضیات به تمام بخش های علوم دارد آن را بسیار جدی و در نظر بسیاری، علمی خشک و در عین حال سخت جلوه داده است. در این میان هندسه نقش بسیار مهمی را حتی در شاخه های ریاضی برعهده دارد.

هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، خود پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است. زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت چشمگیری برای آنها نمی توان درنظر گرفت. با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم.شاید اگر زمانی که حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شدو معلم درس ریاضیات از ما می خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم نمی توانستیم عددی را با چنین ویژگی بیابیم .سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر این (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود. بله این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.


عموم تحصیلکردگان با هندسه اقلیدسی آشنا هستند. زیرا دست کم در طول دوران تحصیل خود به اجبار هم که بوده در کتاب های درسی با این هندسه که اصول آن بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده اند. اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد. در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.


بالاخره در سال ۱۹۹۴، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال۱۸۹۷، عنوان شده بود، شکست و «مندلبرات(۱)» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی گویند. هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر تفسیر و شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف و قابلیت بی نظیر نشان داده است. با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان در زمینه بازگو کردن رفتار توابع و مجموعه های به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.


واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند. اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است. به چنین اشکالی نام «خود متشابه» نیز می دهند.


اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که تعجب آور است. با کمی دقت به اطراف خودتان، می توانید بسیاری از این اشکال را بیابید. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و... همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند.

این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.


این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.

[Only Math]

● تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.


شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.


بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.


برای مثال ، یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است.


اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.


ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.


حال میانه ۳ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده - که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.


چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.


در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.


اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.


اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.


با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد.


اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.


این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.


اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.


اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.


برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.


در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.



همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.


بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.


در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.


در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.


به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.


بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.


به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.


مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.


شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید.


تئوریسین فرکتالها


مندلبورت در کالج نیوتن کمبریج بنوت مندلبورت در سال ۱۹۲۴ در لهستان بدنیا آمد. پدر او دستفروش لباس های دست دوم بود و مادرش پزشکی می کرد. او مبانی ریاضیات را از دو عموی خود فرا گرفت و به همراه خانواده خود در سال ۱۹۳۶ به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجا با کمک یکی دیگر از عموهایش که پروفسور ریاضیات بود اقامت فرانسه را گرفتند.


این مهاجرت باعث شد تا وی بیشتر به ریاضیات علاقمند شود اما جنگ جهانی دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس این را داشت که نتواند به ریاضایات بپردازد. در باره او می گویند :


"جنگ، تنگدستی و نیاز به زندگی او را از مدرسه و تحصیل دور کرد و به همین دلیل بود که او را حد اکثر یک معلم دبیرستانی خودآموز خوب می دانستند."


عدم تحصیل دانشگاهی برای او یک مزیت بود چرا که او دیگر به پدیده های هستی به چشم یک ریاضیدان یا دانشمند آکادمیک نمی نگریست، این طرز آموزش همچنین به وی فرصت داد تا روشهای بسیار جالبی برای استفاده از هندسه در ریاضیات ابداع کند. نبوغ ذاتی او در هندسه باعث شد تا بتواند بسیاری از مسائل ریاضی را با روشهای هندسی حل کند.


او در سال ۱۹۴۴ فرصت آنرا یافت تا در امتحانات پلی تکنیک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و این سرآغاز تحصیلات جدی وی بود. پس از پایان تحصیلات به آمریکا رفت و در انستیتوی مطالعات پیشرفته پرینستون مشغول به فعالیت شد.


پس از ده سال دوباره به پاریس بازگشت و شروع به کار برای مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه نمود. طولی نکشید که ازدواج کرد و دوباره به آمریکا برگشت. و در آنجا با یک شرکت آغاز به همکاری نمود. وی همواره از این موضوع صحبت می کند که دراین شرکت چقدر آزاد است و می تواند روی هر پروژه ای کار کند و فرصتی که این شرکت در اختیار او قرار داده است هیچ دانشگاهی نمی تواند به او بدهد.


تئوری فرکتالها علاوه بر زیبایی خاصی که از دید ریاضی دارد یکی از روشهای بسیار کاربردی در تفسیر و مدلسازی طبیعت می باشد. آشنایی با فرکتالها به هنرمندان اجازه می دهد تا آثار هنری بسیار زیبایی را خلق کنند.

[Only Math]

در کاربرد محاوره ای ، یک فراکتال ، یک شکل هندسی چندپاره یا ناهموار است که می تواند به بخشهایی تقسیم شود که هر کدام از آنها (حداقل به طور تقریبی) یک کپی کاهش یافته از لحاظ اندازه، از کل شکل می باشد.این اصطلاح در سال 1975 توسط بنوا مندلبرات ابداع شده و از واژه لاتین fractus به معنی شکسته یا گسیخته مشتق شده است.

یک فراکتال به عنوان یک شکل هندسی ، به طور کلی خصوصیات زیر را داراست :

• دارای ساختاری ظریف در مقیاسهای کوچک دلخواه است.
• بی قاعده تر از آن است که با زبان سنتی هندسه اقلیدسی ، بسادگی توصیف شود.
• خود مشابه است(حداقل به طور تقریبی یا تصادفی).
• دارای بعد Hausdorff است که بزرگتر از بعد مکانی(توپولوژیک) آن است (گرچه این شرط توسط منحنی های پرکننده فضا مانند منحنی هیلبرت برآورده نمی شود).
• دارای یک تعریف ساده و بازگشتی می باشد.

از آنجاییکه فراکتالها در تمام سطوح بزرگنمایی ، مشابه به نظر می رسند ، فرض می شود که بطور نامحدودی پیچیده اند(در اصطلاح غیر رسمی).اشیای طبیعی که تا حدودی به فراکتالها تقریب زده می شوند عبارتند از : ابرها ، رشته کوهها ، صاعقه ، خطوط ساحلی و برفدانه ها.با این حال ، تمام اشیای خودمشابه فراکتال نیستند ؛ برای مثال خط حقیقی (یک حط راست اقلیدسی) ظاهراً خودمشابه است اما سایر مشخصات فراکتال را دارا نیست.


ایجاد فراکتال

سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از :

• فراکتالهای زمان-گریز : این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند(مانند صفحه مختلط).مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات ، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.
• سیستم توابع تکراری : این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند.مجموعه کانتور ، فرش سیرپینسکی ، منحنی پینو ، برفدانه کخ ، مربع T ، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.
• فراکتالهای تصادفی : به جای فرایندهای قطعی ، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.

طبقه بندی فراکتالها




فراکتالها می توانند برحسب خودتشابهیشان نیز طبقه بندی شوند.سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود :

• خودتشابهی دقیق (کامل) : قویترین نوع خودتشابهی است؛فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود.فراکتالهای تعریف شده بوسیله سیستم توابع تکراری،اغلب خودتشابهی دقیق را نشان می دهند.
• شبه خودتشابهی(نیمه خودتشابهی) : یک حالت ناکامل از خودتشابهی است؛فراکتال در مقیاسهای مختلف ،تقریباً (نه دقیقاً) یکسان ظاهر می شود.فراکتالهای تعریف شده بوسیله روابط بازگشتی،معمولاً شبه خودتشابهند ولی خودتشابه کامل نیستند.
• خودتشابهی آماری : ضعیفترین نوع خودتشابهی است؛فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند.بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال،بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند. فراکتالهای تصادفی نمونه هایی از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند ؛ اما خودمشابه کامل یا شبه خودمشابه نیستند.

فراکتالها در طبیعت

فراکتالهای تقریبی، بسادگی در طبیعت یافت می شوند.این اشیا ساختاری خودمشابه در یک امتداد؛ اما در بازه مقیاس محدودی را نشان می دهند.مثالها عبارتند از: ابرها،برفدانه ها،کریستالها،رشته کوهها،صاعقه،شبکه رودخانه ها،گل کلم یا براکلی(نوعی کلم) وسیستم گردش خون (رگهای خونی) و رگهای ریوی.
درختان و سرخسها،فراکتالهای طبیعی هستند و می توانند بر روی یک کامپیوتر و با استفاده از یک الگوریتم بازگشتی مدلسازی شوند.این طبیعت بازگشتی در این مثالها مشهود است-یک شاخه از یک درخت یا ساقه یک سرخس،نسخه المثنایی از کل است؛هرچند نه یکسان اما در طبیعت همانند آن.


فراکتالها در هنر

الگوی فراکتالها در نقاشیهای هنرمند آمریکایی؛جکسون پولاک یافت شده است.در حالیکه به نظر می رسد نقاشیهای پولاک مرکب از قطرات نامنظم و آشفته است،تحلیل کامپیوتری،الگوی فراکتالها را در کار او یافته است.
فراکتالها در هنر و معماری آفریقایی نیز رایج است.خانه های مدور در دایره هایی از دایره ها ظاهر می شوند؛خانه های مستطیلی در مستطیلهایی از مستطیلها و مانند آنها.چنین الگوهای مقیاس بندی،در منسوجات،مجسمه سازی و پیکرتراشی آفریقایی نیز دیده می شود.


کاربردها



همانطوریکه تشریح شد،فراکتالهای تصادفی می توانند جهت توصیف بسیاری از اشیای نامنظم دنیای واقعی،بکار روند.سایر کاربردهای فراکتالها عبارتند از:

• طبقه بندی اسلایدهای امراض بافتی در پزشکی
• آنزیم-آنزیم شناسی
• تولید موسیقی نو
• تولید شکلهای مختلف هنر
• فشرده سازی سیگنال و تصویر
• زلزله شناسی
• طراحی بازیهای ویدیویی و کامپیوتری
• آنتنهای فراکتال
• تی شرتهای نئوهیپیها و سایر مدها
• تولید الگوهای استتار
• ساعت آفتابی دیجیتال

و ...

[Only Math]

نمونه ای از فراکتالها:

(معروف به فراکتال دم اسب آبی)

(معروف به فراکتال حلزونی)

(معروف به فراکتال گل کلم)

[Only Math]

[Only Math]

فراکتال به طرح‌های خودتکرارشونده‌ای گفته می‌شود که هرگوشه‌ای از آن را هر قدر بزرگ کنیم، باز به همان الگوی کلی خواهیم رسید. تصویرهای زیر به الگوهای طبیعی فراکتالی در حرکت جریان الکتریکی اختصاص دارد.
عکاس خوش‌ذوقی به نام مایک واکر برای تهیه این فراکتال‌های طبیعی، از عکس‌برداری پرسرعت و الگوی حرکت جریان الکتیریکی در مواد اکرلیک استفاده کرده است.

[Only Math]

[Only Math]

[Only Math]