الگوی مندلبرات ( Mandelbrot) چیست ؟

[جهان علم]

الگوی مندلبرات ( Mandelbrot) چیست ؟
الگوی مندلبرات مجموعه سریهایی را گویند که در مجموعه ی اعداد مختلط از دنباله ی بازگشتی زیر پیروی می کنند : Zn = Z n-1^ 2 + C
به بیان دیگر با یک الگوریتم ساده ، امکان جداسازی نقاط در صفحه ی اعداد مختلط به دو حوزه یا بیشتر وجود خواهد داشت :
1.نقاطی که داخل الگوی مندلبرات هستند .
2.نقاطی که خارج این الگو هستند .
می توان به این دو مجموعه از نقاط رنگی را متعلق کرد . مثلا نقاط داخل به رنگ سیاه و نقاط خارج با رنگ دیگر ی .
چگونه می توان یک الگوی مندلبرات ساخت ؟
یک نقطه در صفحه ی اعداد مختلط مانند C انتخاب کنید .( اعداد مختلط معمولا به فرم X + iY هستند .) مقدار عبارت روبرو را محاسبه کنید : Z^2 + C. مقدار اولیه ی Z را برابر صفر درنظر بگیرید . نتیجه مسلما C خواهد بود . این نتیجه را در عبارت بالا به جای Z قرار دهید و محاسبات را تکرار کنید . حال نتیجه بدست آمده عدد مختلط C ^2 + C خواهد شد . این مراحل را دوباره و دوباره تکرار کنید .
به زبان ریاضی ، تکرار تابع Zn = Z n-1 ^2 + C گویند . می توان این فرآیند را مهاجرت نقطه ی اولیه ی C نیز نامید .
چه اتفاقی برای نقطه می افتد وقتی به طور مکرر در این تابع تکرار می گردد ؟
خوب آیا این نقطه به طرف نقطهی اول خود برمی گردد یا از آن فاصله می گیرد ؟
در اولین حالت گفته شده در بالا ( نقطه داخل الگو ) می گوییم که نقطه وابسته به الگوی مندلبرات است .در حالت دوم می گوییم که بطرف بینهایت می رود . در هر دو حالت یک رنگ به آن اختصاص می دهند . اگر داخل باشد مشکی ، و اگر خارج باشد به تناسب سرعت فاصله گرفتن از نقطه ی اولیه رنگ مورد نظر تعیین می گردد .
اگر تصویر خود را از این واقعیت به گونه ای دیگر بیان کنیم ، می توانیم دریابیم که چرا :
1.نقاطی که از الگوی مندلبرات دورند با سرعت به طرف بینهایت می روند.
2.نقاطی که به این الگو نزدیکند آهسته بطرف بی نهایت می روند .
3.نقاطی که در این الگو قرار دارند ، هرگز بطرف بینهایت نمی روند .
چگونه می توان فهمید نقطه ای داخل می ماند یا خارج ( بطرف بینهایت میرود یا نه ) ؟
همانطور که میدانید نمی توان فرآیند تکرار را تا بی نهایت ادامه داد ، که فهمید این نقطه در داخل می ماند یا خارج می شود . اما به آسانی می توان ثابت کرد که اگر فاصله ی این تکرار در جایی از 2 بیشتر شد ، آن نقطه بطرف بی نهایت می رود .
بنابراین هرگاه تکرار به فاصله ی بیشتر از دو انجامید ، محاسبات را متوقف می کنیم و می گوییم نقطه در خارج از الگو قرار دارد .
برای فهم بهتر دو مثال هم در پیوست آورده ام . مثال های خوبی هستند . !
ترجمه وتلخیص از سایت زیر :
http://www.geocities.com/fabioc/mandelbrot.html?200930