سوالات ریاضی من :)

**~~setayesh shb~~** · 28th November 2014 10:46 PM

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم

مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم

اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم

فرق مشتق دو تابع زیر:

${{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}$
${{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}$
من اینطوری در آوردم:

${{y}_{1}}^{'}=({x}^{x})^{x}}×[\ln {x}^{x}+\frac{({x}^{x})'}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x}×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x} ×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln {x}^{x}+1}{{x}^{x}}]$
و:
${{y}_{2}}^{'}={x}^{({x}^{x})}×[{x}^{x}×\ln x +\frac{1}{x}×x×\ln x+\frac{1}{x}×({x}^{x})]$

$={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times \ln x +\ln x\times {x}^{x-1}]$

$={x}^{({x}^{x})}\times {x}^{x}\times \ln x[1+{x}^{-1}]$
میدونم اشتباهه

اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ

الف) $if a\prec b\rightarrow \arctan b-\arctan a\prec b-a$

ب) $if0\prec x\prec y\prec \frac{\pi }{2}\rightarrow (y-x)\tan x\prec \ln \frac{\cos x}{\cos y}\prec (y-x)\tan y$

**meha1368** · 28th November 2014 11:36 PM

نوشته اصلی توسط setayesh shb

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم

مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم

اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم

فرق مشتق دو تابع زیر:

${{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}$
${{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}$
من اینطوری در آوردم:

${{y}_{1}}^{'}=({x}^{x})^{x}}×[\ln {x}^{x}+\frac{({x}^{x})'}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x}×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x} ×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln {x}^{x}+1}{{x}^{x}}]$
و:
${{y}_{2}}^{'}={x}^{({x}^{x})}×[{x}^{x}×\ln x +\frac{1}{x}×x×\ln x+\frac{1}{x}×({x}^{x})]$

$={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times \ln x +\ln x\times {x}^{x-1}]$

$={x}^{({x}^{x})}\times {x}^{x}\times \ln x[1+{x}^{-1}]$
میدونم اشتباهه

اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ

الف) $if a\prec b\rightarrow \arctan b-\arctan a\prec b-a$

ب) $if0\prec x\prec y\prec \frac{\pi }{2}\rightarrow (y-x)\tan x\prec \ln \frac{\cos x}{\cos y}\prec (y-x)\tan y$

y1 رو به شکل ${x}^{{x}^{2}}$ (این قانون توان هاست واسه راهنماییه

) در نظر بگیر
بعدش از دو طرف ln بگیر. بعدش مشتق. جوابش فکر کنم بشه $(2xlnx+x){x}^{{x}^{2}}$
واسه دومی هم از دو طرف ln بگیر بعدش مشتق.اونم فکر کنم بشه $((lnx+1){x}^{x}lnx+{x}^{x-1}){x}^{{x}^{x}}$

**meha1368** · 29th November 2014 09:54 PM

نوشته اصلی توسط setayesh shb

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم

مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم

اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم

فرق مشتق دو تابع زیر:

${{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}$
${{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}$
من اینطوری در آوردم:

${{y}_{1}}^{'}=({x}^{x})^{x}}×[\ln {x}^{x}+\frac{({x}^{x})'}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x}×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x} ×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln {x}^{x}+1}{{x}^{x}}]$
و:
${{y}_{2}}^{'}={x}^{({x}^{x})}×[{x}^{x}×\ln x +\frac{1}{x}×x×\ln x+\frac{1}{x}×({x}^{x})]$

$={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times \ln x +\ln x\times {x}^{x-1}]$

$={x}^{({x}^{x})}\times {x}^{x}\times \ln x[1+{x}^{-1}]$
میدونم اشتباهه

اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ

الف) $if a\prec b\rightarrow \arctan b-\arctan a\prec b-a$

ب) $if0\prec x\prec y\prec \frac{\pi }{2}\rightarrow (y-x)\tan x\prec \ln \frac{\cos x}{\cos y}\prec (y-x)\tan y$

قسمت الف سوال 2 رو هم میشه از قضیه مقدار میانگین حل کرد.
دامنه arctan بازه $[-\frac{\Pi }{2},\frac{\Pi }{2}]$ و تابع توی این بازه پیوسته س و تو بازه بازش مشتق پذیره. حالا توی مسئله بازه بسته ی [a,b] رو در نظر میگیریم و شرایط بازهم سر جاش میمونه. پس طبق قضیه مقدار میانگین عددی مثل c توی بازه باز (a,b) هست بطوریکه

$\frac{arctan(b)-arctan(a)}{b-a}=f'(c)=\frac{1}{1+{c}^{2}}\preceq 1$ .پس $\frac{arctan(b)-arctan(a)}{b-a}\preceq 1$ و این یعنی
$arctan(b)-arctan(a)\preceq b-a$ . امیدوارم فهمیده باشید. اگه متوجه نشدید خبرم کنید

**meha1368** · 29th November 2014 11:02 PM

نوشته اصلی توسط setayesh shb

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم

مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم

اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم

فرق مشتق دو تابع زیر:

${{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}$
${{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}$
من اینطوری در آوردم:

${{y}_{1}}^{'}=({x}^{x})^{x}}×[\ln {x}^{x}+\frac{({x}^{x})'}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x}×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}×x]$

$=({x}^{x})^{x} ×[\ln {x}^{x}+\frac{\ln {x}^{x}+1}{{x}^{x}}]$
و:
${{y}_{2}}^{'}={x}^{({x}^{x})}×[{x}^{x}×\ln x +\frac{1}{x}×x×\ln x+\frac{1}{x}×({x}^{x})]$

$={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times \ln x +\ln x\times {x}^{x-1}]$

$={x}^{({x}^{x})}\times {x}^{x}\times \ln x[1+{x}^{-1}]$
میدونم اشتباهه

اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ

الف) $if a\prec b\rightarrow \arctan b-\arctan a\prec b-a$

ب) $if0\prec x\prec y\prec \frac{\pi }{2}\rightarrow (y-x)\tan x\prec \ln \frac{\cos x}{\cos y}\prec (y-x)\tan y$

برای سوال 2 قسمت ب هم از همون قضیه و به همون روش استفاده می کنیم
این بار تابع ما $f(x)=ln(cos(x))$ ه.
همون شرایط قضیه مقدار میانگین رو در بازه [x,y] داریم.پس عنصری مثل c توی (x,y) بطوریکه:
$\frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}=f'(c)$ . با یک مشتقگیری ساده می فهمیم

$f'(x)=tan(x)$ . پس
$\frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}=f'(c)=tan(c)$ . اما چون تانژانت صعودیه و c>x و c<y پس $tan(x)\prec tan(c)\prec tan(y)$ . حالا به جای tancمقداری رو که در بالا بدست آوردیم رو جایگزین میکنیم و داریم

$tan(x)\prec \frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}\prec tan(y)$ . حالا نامساوی رو در y-x ضرب میکنیم و نتیجه لازم رو بدست میاریم

**meha1368** · 29th November 2014 11:31 PM

نوشته اصلی توسط meha1368

برای سوال 2 قسمت ب هم از همون قضیه و به همون روش استفاده می کنیم
این بار تابع ما $f(x)=ln(cos(x))$ ه.
همون شرایط قضیه مقدار میانگین رو در بازه [x,y] داریم.پس عنصری مثل c توی (x,y) بطوریکه:
$\frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}=f'(c)$ . با یک مشتقگیری ساده می فهمیم

$f'(x)=tan(x)$ . پس
$\frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}=f'(c)=tan(c)$ . اما چون تانژانت صعودیه و c>x و c<y پس $tan(x)\prec tan(c)\prec tan(y)$ . حالا به جای tancمقداری رو که در بالا بدست آوردیم رو جایگزین میکنیم و داریم

$tan(x)\prec \frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}\prec tan(y)$ . حالا نامساوی رو در y-x ضرب میکنیم و نتیجه لازم رو بدست میاریم

البته یه سوتی دادم.چون مشتق lncosx میشه tanx- که بدین وسیله اصلاح می گردد. ولی روند کلی حل تغییری نمی کنه.اگه متوجه نشدید خبر بدید

**meha1368** · 29th November 2014 11:55 PM

اصلاحیه حل:
$\frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}=f'(c)=-tan(c)$ . اما چون تانژانت صعودیه پس tan- نزولیه و از اینجا داریم $-tan(y)\prec -tan(c)\prec -tan(x)$ . حالا به جای tanc- مقدار بالا رو جاگذاری می کنیم:
$-tan(y)\prec \frac{ln(cos(y))-ln(cos(x))}{y-x}\prec -tan(x)$ . که با ضرب یک منفی در سه طرف:
$tan(x)\prec \frac{ln(cos(x))-ln(cos(y))}{y-x}\prec tan(y)$ بدست میاد. حالا نامساوی ها رو در y-x ضرب میکنیم.و می رسیم به:

$(y-x)tan(x)\prec ln(cos(x))-ln(cos(y))\prec (y-x)tan(y)$ . اما از قوانین لگاریتم ها داریم:

**meha1368** · 30th November 2014 12:01 AM

ادامش:
از قانون لگاریتم ها داریم
$ln(cos(x))-ln(cos(y))=ln\frac{cosx}{cosy}$ . که با جاگذاری این مقدار تو آرین فرمول اون چیزی که میخواستیم بدست میاد

**~~setayesh shb~~** · 30th November 2014 01:19 PM

نوشته اصلی توسط meha1368

ادامش:
از قانون لگاریتم ها داریم
$ln(cos(x))-ln(cos(y))=ln\frac{cosx}{cosy}$ . که با جاگذاری این مقدار تو آرین فرمول اون چیزی که میخواستیم بدست میاد

بی نهایت ازتون ممنونم
کمک خیلی بزرگی بهم کردید

بعد یه سوال دیگه هم داشتم برای اون سوال اول میشه تغییر متغیر گرفت و بعد سوال رو حل کرد؟؟؟

$({x})^{x}=t$

**meha1368** · 30th November 2014 05:41 PM

نوشته اصلی توسط setayesh shb

بی نهایت ازتون ممنونم
کمک خیلی بزرگی بهم کردید

بعد یه سوال دیگه هم داشتم برای اون سوال اول میشه تغییر متغیر گرفت و بعد سوال رو حل کرد؟؟؟

$({x})^{x}=t$

خواهش میکنم.
فکر نکنم جواب بده.آخه باید x رو هم بر حسب t بدست بیاریم

**محمد حسین بابایی فرد** · 5th December 2014 12:41 PM

منم میخوام ریاضی یاد بگیرم

موضوع: سوالات ریاضی من :)

ابزارهای موضوع

نحوه نمایش موضوع