ترکیبیات

[Only Math]

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

2) 10 نفر را به چند طریق میتوان به 5 دسته دونفری تقسیم کرد؟

3) در شماره گذاری صفحات یک کتاب از 1386 رقم استفاده شده است. این کتاب چند صفحه دارد؟
چند عدد 7 رقمی با ارقام متمایز وجود دارد که:
الف) شرطی نداشته باشد.
ب) فرد باشد.
ج) زوج باشد

4) عدد طبیعی b را که از وارون کردن عدد طبیعی a بدست می اید را مقلوب a می نامیم. چند عدد بین 1 تا 99999 وجود دارد که مقلوبش با خودش برابر است؟

منتظر نظرات دوستان هستم

همچنان منتظر نظرات دوستان برای پاسخ این سوالات هستم. تا بعد از بررسی اونها تاپیک رو ادامه بدم

[Only Math]

ازهمه دوستان بابت توجهشون ممنون
و اما پاسخ سوالات:

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

برای بدست اوردن تعداد مقسوم علیه ها ابتدا باید عدد را به عامل های اولش تجزیه کنیم:

5 * 2^3 * 3^2 = 360

هر مقسوم علیه عدد 360 را میتوان به صورت :

[IMG]http://www.codecogs.com/eq.latex?%7B2%7D%5E%7Ba%7D*%7B3%7D%5E%7Bb%7D*%7B5% %207D%5E%7Bc%7D[/IMG]

به طوری که:

پس برای a, b, c به ترتیب 4و 3و 2 انتخاب داریم که در اینصورت تعداد مقسوم علیه ها برابر خواهد بود با:

24 = 4*3*2

2) 10 نفر را به چند طریق میتوان به 5 دسته دونفری تقسیم کرد؟

برای تشکیل گروه اول:
نفر اول 10 انتخاب و نفر دوم 9 انتخاب داریم اما در اینصورت هر حالت دوبار شورده میشود یعنی در ان شمارش علی _ حسن و حسن _ علی دو حالت جدا محسوب میشوند درحای که فرقی با هم ندارند پس حالت های ممکن برای گروه اول برابرست با:

5 * 9 = 2 / (9 * 10)

و به همین ترتیب :

گروه 2:

4 * 7 = 2 / (7 * 8)

گروه 3:

3 * 5 = 2 / (5 * 6)

گروه 4:

2 * 3 = 2 / (3 * 4)

گروه 5:

1 * 1 = 2 / (1 * 2)

و تعداد کل حالات بنابر اصل ضرب برابراست با حاصلضرب این مقدار ها
اما باز هم در این شمارش حالت های تکراری رخ خواهند داد که ان هم حالتی است که جای گروه ها با هم تغییر میکنند مثلا گروه علی _ حسن ممکن است در گروه 1 یا دو و ... به وجد بیاید که در این نوع شمارش متمایز محسوب میشوند اما تفاوتی در انواع گروه ها ندارند بنابراین با باید حاصل را بر تعداد جابه جایی های 5 گروه که برابرست با !5 تقسیم کنیم:

1 * 3 * 5 * 7 * 9 = !5 / (1 * 1 * 2 * 3 * 3 * 5 * 4 * 7 * 5 * 9)

3) در شماره گذاری صفحات یک کتاب از 1386 رقم استفاده شده است. این کتاب چند صفحه دارد؟

تعداد رقم های مورد استفاده برای هر سری از اعداد ( تک رقمی، دورقمی و ...) را حساب و تا انجایی ادامه میدهیم که به 1386 برسیم :

تعداد ارقام مورد استفاده برای تک رقمی ها: 9=9 *1
برای دو رقمی ها: 180= 90 * 2
بنابراین 189 رقم تا صفحه 99 به کار رفته است و تعداد ارقام باقی مانده برای 3 رقمی ها برابراست با: 1197 = 189 - 1386
چون تعداد ارقام باقی مانده کمتر از تعداد ارقام مورد نیاز برای نوشتن کل اعداد سه رقمی است، پس باید 1197 را بر 3 تقسیم کنیم تا تعداد اعداد سه رقمی بکار رفته مشخص شود:

399 = 3 / 1197

پس تعداد اعداد استفاده شده که همان تعداد صفحات است میشود:

498 = 399 + 90 + 9

4)چند عدد 7 رقمی با ارقام متمایز وجود دارد که:

الف) شرطی نداشته باشد.

برای بدسست اوردن تعداد حالات در هر مسئله ای ابتدا از قسمتی که دارای محدودیت خاصی است شروع میکنیم. در این قسمت هم محدودیت در اولین رقم از سمت چپ است که صفر را شامل نمیشود پس از سمت چپ :
رقم اول 9 حالت
رقم دوم 9 ( با احتساب صفر و حذف رقم استفاده شده در اولین رقم چرا که ارقام متمایزند)
رقم سوم 8
.
.
.
.
رقم 6ام 5
رقم 7 ام 4
تعداد اعداد برابرست با:

544320 = 4* 5* 6* 7* 8 * 9 * 9

ب) فرد باشد.

محدودیت بیشتر در رقم اخر از چپ است که تنها باید شامل اعداد فرد باشد پس 5 حالت داریم
بعد از ان باید وضعیت رقم اول را مشخص کنیم که نه صفر را شامل میشود و نه عدد استفاده شده در رقم اخر پس 8 حالت داریم. تعداد کل برابرست با :

268800 = 5 * 4* 5 * 6 * 7 * 8 * 8

ج) زوج باشد

راه اول:
در این قسمت اعداد به دو دسته تقسیم میشوند اعدادی که رقم اخر انها صفر است و انهایی که زوج است ولی صفر نیست!
دلیل این تقسیم بندی هم محدودیت رقم اول و همچنین متمایز بودن ارقام است:

حالت اول :

یکان صفر است پس تنها یک حالت دارد
رقم اول: چون صفر عدد انتخابی که برای رقم یکان بوده است و این عدد در هیچ حالتی نمیتواند در رقم اول قرار بگیرد؛ هیچ تغییری در تعداد حالات ندارد پس 9 انتخاب داریم
تعداد عداد موجود در این حالت برابرست با:

60480 = 1 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9

حالت دوم :

یکان اعداد زوج ولی غیر صفر است پس 4 حالت داریم.
رقم اول: چون نه صفر میتواند باشد و نه عددی که در یکان استفاده شده پس 8 انتخاب داریم.
تعداد اعداد موجود در این حالت میشود:

215040 = 4 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 8

تعداد کل اعداد نیز بنابر اصل جمع برابر خواهد بود با : 275520 = 60480 + 215040

راه دوم:

میدانیم که اعداد صحیح مثبت یا فردند و یا زوج. با توجه به اینکه در قسمت الف کل حالات و در قسمت ب حالات فرد را محاسبه کرده ایم به کمک اصل متمم میتوانیم تعداد زوج ها را بدست اوریم:

275520 = 26880 - 544320

5) عدد طبیعی b را که از وارون کردن عدد طبیعی a بدست می اید را مقلوب a می نامیم. چند عدد بین 1 تا 99999 وجود دارد که مقلوبش با خودش برابر است؟

اعداد تک رقمی: تمام اعداد تک رقمی این خصوصیا را دارند: 9

اعداد دورقمی : تنها انهایی دارا این خاصیت هستند که یکان و دهگان برابری داشته باشند:

9 = 1 * 9

اعداد سه رقمی: انهایی که تقارن دارند یعنی دهگان در اینجا اهمیت ندارد بلکه تنها کافیست صدگان و یکان با هم برابر باشند :

90 = 1 * 10 * 9

اعداد 4 رقمی: کافیست هزارگان با یکان و صدگان با دهگان برابر باشد:

90 = 1 * 1 * 10 * 9

اعداد 5 رقمی: کافیست رقم اول از چپ با رقم یکان و هزارگان با دهگان برابر باشد:

900 = 1 * 1 * 10 * 10 * 9

تعداد کل برابرست با:

1098 = 900 + 90 + 90 + 9 + 9

[nazanin1375]

من خیلی وقته تلاش می کنم بعد از داخل شدن سوال عدد 360 چند مقسوم علیه دارد را پیدا کنم ولی بعد از عضو شدن باز هم نتوانستم از شما کمک می خواهم

[Only Math]

من خیلی وقته تلاش می کنم بعد از داخل شدن سوال عدد 360 چند مقسوم علیه دارد را پیدا کنم ولی بعد از عضو شدن باز هم نتوانستم از شما کمک می خواهم

ازهمه دوستان بابت توجهشون ممنون
و اما پاسخ سوالات:

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

برای بدست اوردن تعداد مقسوم علیه ها ابتدا باید عدد را به عامل های اولش تجزیه کنیم:

5 * 2^3 * 3^2 = 360

هر مقسوم علیه عدد 360 را میتوان به صورت :

[img]http://www.codecogs.com/eq.latex?%7b2%7d%5e%7ba%7d*%7b3%7d%5e%7bb%7d*%7b5% 7d%5e%7bc%7d[/img]

به طوری که:

پس برای a, b, c به ترتیب 4و 3و 2 انتخاب داریم که در اینصورت تعداد مقسوم علیه ها برابر خواهد بود با:

24 = 4*3*2

اگر باز هم مشکلی هست بگید که توضیح بدم