کاربردهای ریاضی

[SaNbOy]

خواهش میکنم اگه نگاه مطلب میکنید حداقل در پایین همان مطلب بر روی دکمه ی تشکر کلیک کنید

روزبه ابرازی

قطار های مدل اغلب داری دو نوع ریل هستند : ریل های خمیده ، که در بیشتر اوقات کمان هایی از یک دایره به شعاع R هستند ، و ریل های راست. این ریل ها عمدتا طوری طراحی شده اند که به شکل زیر سرهم بندی می شود
مسیر های AB و CDمستقیم و مسیرهای BC و DAنیم دایره هستند.اما آیا این مسیر ها به اندازه کافی خمیده هستند ؟!
مسیر های طراحی شده بوسیله اصطکاک پایدار می ماند و اغلب ممکن است در هنگام عبور قطار از روی آنها جدا شوند.اگر چه ممکن است در وسط مسیر های خمیده یا مسیر های مستقیم اتصالات دیگری نیز وجود داشته باشد ولی در بیشتر مواقع مسیر کلی از نقاط A,B,C,D جدا می شود .
برای بررسی این اتفاق تصور کنید قطاری با سرعت ثابت در حال حرکت است بنابراین شتاب مماس آن یعنی صفر است و در نتیجه شتاب کلی آن تنها شتاب مرکز گرای آن است( شعاع خمیدگی مسیر است که برای شکل بالا بر روی مسیر خمیده مقداری برابر R دارد).بنابراین اندازه شتاب بر روی مسیر مستقیم صفر است و در مسیر نیم دایره است.به این دلیل مقدار شتاب در نقاط A,B,C,D نا پیوسته است (همانطور که در نمودار مشخص است). همین نا پیوستگی سبب می شود تا نیروی عکس العملی که از جانب قطار به ریل وارد می شود نیز در این نقاط نا پیوسته باشد . به همین دلیل نوعی شوک یا ضربه به هنگام وارد شدن و یا ترک پیچ وجود دارد ( البته حتما اثر این ضربه را در پیچ های غیر اصولی هنگام عبور خودرو و یا برعکس نیروی نرم و یکنواختی را در هنگام سفر در داخل مترو حس کرده اید) برای جلوگیری از بوجود آمدن چنین نقاط فشاری که موجب خروج قطار از ریل و یا خروج خودرو از جاده می شود مسیرها می بایست طوری طراحی شوند که خمیدگی جاده بطور یکنواخت تغییر کند.( البته این طراحی بطور نسبی و با توجه به شرایط محیطی و کمک گرفتن از شیب و اتصالات قوی تر نیز قابل بهبود است )
مثال : مسیری در امتداد منفی محور x ها و مسیر دیگری در امتداد شعاع y=x-1 ، x≥2 وجود دارد می خواهیم این دو مسیر را با استفاده از منحنی چند جمله ای f، به اندازه کافی خمیده و با حد اقل درجه ، طوری بهم وصل کنیم که هیچ گونه نا پیوستگی شتاب در نقاط اتصال احساس نشود.
راه حل : منحنی f باید طور انتخاب شود که مسیر ، شیب و خمیدگی آن در نقاط x=0 و x=2 پیوسته باشد.(همانطور که می دانیم خمیدگی عکس شعاع خم است )از آنجا که خمیدگی ( curvature ) منحنی f بصورت زیر است

و f چند جمله است ما تنها نیاز داریم f و 'f و ''f در نقاط اتصال به y=0 ، x≤0 و y=x-1 ، x≥2 مقادیر y و 'y و ''y را داشته باشد تا پیوستگی های مورد نظر اعمال شود یعنی هم مسیر پیوسته شود و هم از پیوستگی f' و f'' پیوستگی نتیجه شود و بنابراین و شتاب کل پیوسته می شود.

y(0)=f(0)=0 y'(0)=f'(0)=0 y''(0)=f''(0)=0
y(2)=f(2)=1 y'(2)=f'(2)=1 y''(2)=f''(2)=0

این شش شرط مستقل به ما چند جمله ای درجه 5 را پیشنهاد می کند :

f(x)=A+Bx+Cx2+Dx3+Ex4+Fx5
f'(x)=B+2Cx+3Dx2+4Ex3+5Fx4
f''(x)=2C+6Dx+12Ex2+20Fx3

سه شرط x=0 ، A=B=C=0 را نتیجه میدهد و برای سه شرط x=2 داریم :

8D+16E+32F=f(2)=1
12d+32E+80F=f'(2)=1
12D+48E+169F=f''(2)=0

که عدد های D=1/4 و E=-1/16 و F=0 را نتیجه می دهد و در نتیجه جواب :

که در نهایت مسیر کلی بصورت زیر است:

است. البته طراحان جاده ها و سازندگان ریل قطار ها اغلب از چند جمله ای ها برای اتصال استفاده نمی کند و در عوض از خم های clothoid و Lemniscat استفاده می کنند. چرایی استفاده از خم های بالا نیز به خواص جالب آنها بر می گردد که خود قبل تامل می باشد!

[Only Math]

جهان ریاضیات در فضای نانو
علوم نانو و فناوری نانو بیانگر رهگذری به سوی دنیایی جدید هستند. سفر به اعماق سرزمین اتمها و مولکولها نوید دهندة اثراث اجتماعی شگفت‌انگیزی است: در علوم بنیادین، در فناوریهای نو، در طراحی مهندسی و تولیدات، در پزشکی و سلامت و در آموزش.
پیش‌بینی‌های گسترده در حوزه کشفیات جدید، چالشها، درک مفاهیم، حتی هنوز فرم و محتوای موضوع، مه‌آلود و اسرارآمیز است. این مقاله می‌کوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفت‌انگیز نانو بررسی کند. به عبارت دیگر، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت ؟
همگان بر این نکته توافق دارند که پیشرفتهای بزرگ، مستلزم تعامل میان مهندسان، ژنتیست‌ها، شیمیدانان، فیزیکدانان، داروسازان، ریاضیدانان و علوم رایانه ای ها است. شکاف میان علوم و فناوری، میان آموزش و پژوهش، میان دانشگاه و صنعت، میان صنعت و بازار بر مجموعه تأثیرگذار خواهد بود. دلایل کافی مبتنی بر فصل مشترک میان نظامهای کلاسیک و فرهنگ ها موجود است.
این انقلاب علمی و فناورانه، منحصر به فرد است. این بدین معنی است که می‌بایستی نه تنها در بعد علمی، که در سایر ابعاد، نیز زیرساختهای بنیادین با حداکثر انعطاف پذیری در برابر تغییرات را پیش‌گویی و پیش‌بینی کنیم.
دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبهة علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است. محاسبات علمی در فناوریی که به عنوان فناوری انقلابی مطرح شده است. محاسبات علمی در طول، تفسیر آزمایشات، تهیة پیش‌بینی در مقیاس اتمی و مولکولی بر پایة تئوری کوانتومی و تئوریهای اتمی است.
همانگونه که ریاضیات زبان علم است، محاسبات، ابزاری عمومی علم و کاتالیزوری برای تعاملات عمیق‌تر میان ریاضیات و علوم است. یک تیم محاسبات، دربارة مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبیق‌پذیری آن با واقعیت، به بحث می‌پردازند. «‌محاسبات» رابطی میان آزمایش و تئوری است. یک تئوری و یک مدل ریاضی، پیش نیاز محاسبات است و یک آزمایش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوری، مدل و محاسبات است.
مدلهای ریاضی، ستونهای راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوریهای پیش بین هستند. مدلها، رابطهایی بنیادین در پروسه‌های علمی هستند و اغلب اوقات در سیستم‌های آموزشی به فاز مدلسازی و محاسبات، تأکید کافی نمی‌شود. یک مدل ریاضی بر پایة فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازة حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده می‌شود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون می‌توان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا می‌بایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد.
در علوم نانو و فناوری نانو، مدلسازی نقش محوری را بر عهده دارد، بویژه وقتی که بخواهیم عملکرد ماکروسکوپی مواد را از طریق طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی کنترل کنیم، آن هم در شرایطی که درجات آزادی زیاد باشد. مدلسازی ریاضی یک ضرورت در این فضای مه آلود است. تفسیر داده‌های آزمایشگاهی یک ضروت حتمی است. همچنین برای هدایت، تفسیر، بهینه سازی، توجیه رفتارهای آزمایشگاهی، مدلسازی ریاضی ضرورت می‌یابد.
یک مدل مؤثر، راه رسیدن به تولیدات جدید، درک جدید رفتارشناسی، را کوتاه می‌کند و تصحیح گر هوشمندی است که از نتایج گذشته درس می‌گیرد.
مدلسازی نه تنها ویژگی منحصر به فرد ریاضیات است بلکه پلی بسوی فرهنگهای مختلف علمی است.
تئوری در هر مرحله از توسعة علم، نقش محوری دارد، ارزیابی حساسیت مدل به شرایط پروسه‌های فیزیکی ، و حصول اطمینان از اینکه معادلات و الگوریتمهای محاسباتی با شرایط کنترل آزمایشگاهی سازگارند، از چالشهای مهم است. تئوری نهایتاً بسوی تعریف نتایج و درک فیزیکی سیستم، میل خواهد کرد و اغلب اوقات ریاضیات جدیدی لازم نیست تا به منظور رسیدن به درک رفتار، ساخته شود.
عبور از تئوریهای موجود ارزشمند است و اغلب نیز اتفاق می‌افتد. زمانی مدلها، مشابه سیستم‌های شناخته شده هستند که دقت ریاضی بالایی را داشته باشند اما در جهان شگفت ‌انگیز نانو، مدلهای مختلف و جدید، چالشهای جدی را در دانش ریاضیات پدید می‌آورند. تئوریهای جدید در مقیاسهای زمانی غیر قابل پیش‌گوئی اتفاق می‌افتند و تئوریهای قدرتمند در قالبهای عمیق شکل می‌گیرند. میان‌برهای اساسی لازم است تا شبیه‌سازی صورت گیرد:
طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی، کنترل و بهینه سازی عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآیی شبیه‌سازی رفتار طبیعی، از مهمترین چالشها است. این چالش‌ها نوید دهندة برهم کنشهای کامل میان حوزه‌های مختلف ریاضی خواهد بود.
آثار اجتماعی این چالش‌ها زیاد و متنوع خواهد بود.
منافع حاصل از مشغولیت ریاضیدانان فعال، توازن با چالشهای اصلی در زمینه رشد زیرساختهای ریاضیات، تغییرات در ساختار آموزش ریاضیات، از جمله آثار ورود ریاضیات به دنیای شگفت انگیز نانو خواهد بود.
جامعه ریاضی می‌بایستی اصلاح شود: تئوریهای بنیادین، ریاضیات میان رشته‌ای و ریاضیات محاسباتی و آموزش ریاضیات.
ریاضیات چه حوزه‌هایی را در بر خواهد گرفت؟ الگوریتمهای اصلی در حوزه‌های ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان بر ساز را در حوزة نانو بر عهده خواهند داشت.
برای روشن شدن موضوع برخی از اثرات ریاضیات را در فرهنگ نانو بررسی می‌کنیم:
ـ روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزه‌های شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden ۱۹۹۹)
ـ روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیه‌سازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایه‌های پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou)
ـ تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter ۱۹۹۷)
ـ روشهای بهبود مش‌بندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندة مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz)
ـ روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحله‌ای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوب‌گیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)
ـ روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئن‌ها) (Pierce& Giles)
ـ روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازک‌ها (Caflisch))
ـ روشهای چند شبکه‌بندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است.
ـ روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)

[صبا محمدي]

نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند.«اویلر» ¼br> ¼br> شاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند.
شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.
بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود آن چیز کشف و اختراع نمی گردد، در واقع هرکدام از علومی که با آن روبه رو هستیم هریک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکر بندی شده اند.
لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در کمترین زمان ممکن به جواب مطلوب دست یابند. گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم .جدول هایی نیز در این زمینه بوجود آمد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سر انجام به کشف لگاریتم انجامید تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر آگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند اولی جان نپر و دیگری بورگی.
اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است که از واژه ی یونانی «لوگوس» به معنی نسبت و «ارتیوس» به معنی عدد گرفته شده است. او همچنین بجای لگاریتم از اصطلاح عدد ساختگی نیز استفاده می کرد. نپر چکیده ی کارهای خود را در کتابی با عنوان «شرح جدول های عجیب لگاریتمی» چاپ کرد و به دنیا نمایاند.
عدد e (مبنای لگاریتم طبیعی) نیز در چنین سال هایی چشم به جهان و جهانیان گشود. گفته می شود کاشف عددe آن گونه که برخی می پندارنداویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عدد e را در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.
بعد از آشکار شدن لگاریتم به جهانیان ابزارهایی برای آسانتر کردن محاسبات لگاریتمی کشف شد که از آن جمله می توان به خط کش لگاریتمی ساخته ی گونتر انگلیسی اشاره نمود. امروزه نیز با استفاده از ماشین حساب و با فشردن یک کلید میتوان عمل لگاریتم گرفتن را به آسانی و سرعت انجام داد.
با ورود لگاریتم به دنیای ریاضیات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، این شاخه کاربردهای زیادی را در زندگی روزمره پیدا کرد. چنانکه امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره ی مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است. همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه ی بین عدد e و بهره ی مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) ، که همان عدد e است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازار یابی سهمی استفاده می شود. مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسابداری کاربرد دارد.

[صبا محمدي]

مشتقگیری لگاریتمی

گاهی یک تابع با معادله‌ای پیچیده داده شده با گرفتن لگاریتم از طرفین آن پیش از مشتقگیری می‌توان مشتقش را سریع‌تر حساب کرد.

خواص

1. قلمرو: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت ، x>0
2. برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی
3. این تابع بر قلمرو خود پیوسته و صعودی است هر گاه آنگاه . این تابع یک تابع یک‌به‌یک از قلمرو خود به بردش است، بنابراین دارای معکوس است.
4. حاصلضرب ، خارج قسمت و توان: هر گاه x,a دو عدد مثبت باشند. آنگاه:

[صبا محمدي]

کاربردها

ابداع لگاریتم در قرن شانزدهم و هفدهم بزرگترین پیشرفت در حساب بوده است و قبل از اختراع کامپیوتر از مهم‌ترین ابداعات بحساب می‌آید. لگاریتم‌ها حساب دریانوردی را سامان بخشید. کاربرد آن را در علوم و مهندسی و همچنین نجوم نباید انکار کرد. بدین ترتیب که محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت.

• لگاریتم‌های معمولی اغلب در فرمول‌های علمی بکار می‌روند مثلا: شدت زلزله بر حسب ریشتر توسط فرمول زیر بدست می‌آید:

اندازه R

که در آن a دامنه حرکت زمین به میکرون در ایستگاه گیرنده و T دوره تناوب موج زلزله به ثانیه و B عاملی تجربی است که با افزایش فاصله از مرکز زلزله موجب تضعیف موج زلزله می‌شود.

• یکی دیگر از موارد استعمال لگاریتم‌های معمولی عبارتند از واحد دسیبل برای سنجش شدت صوت.
• اندازه‌گیری واحد PH برای سنجش اسیدی بودن.

[صبا محمدي]

لگاریتم درهنر..

درموسیقی برای بیان فشارصوت از دسیبل(Decibel ) استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد در واقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده آسان قابل محاسبه است.

اصطلاح دسیبل برای مقایسه ی نسبت بین دو مقدار در علوم فیزیک، الکترونیک و بسیاری از رشته های مهندسی استفاده می شود. گفتیم دسیبل در فیزیک صوت کاربرد زیادی دارد، یکی از دلایل استفاده از لگاریتم در این شاخه این است که از آن جایی که هر دو مقداری که قرار است با هم مقایسه شوند دارای ابعاد فیزیکی یا دیمانسیون(Dimention) یکسان هسنتد خارج قسمت آن ها عدد خالص و بدون واحد است، لذا می توان از خارج قسمت آن ها لگاریتم گرفت تا بتوان ساده تر مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ را با هم مقایسه کرد، بدون این که از رقم ها و عددهای بزرگ و کوچک استفاده شود.

بعبارتی دیگر می توان گفت دسیبل واحدی است برای تغییر حجم صدا. البته قبلا برای این کار از واحد بل(مخترع تلفن) استفاده می شد.

کاربردهای لگاریتم در موسیقی در این جا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت (Sound pressure level) کاربرد می یابد که در آن از معیاری به نام SPL یا سطح فشار صوت استفاده می شود.
همچنین، ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از یکی از خاصیت های لگاریتم(لگاریتم حاصلضرب برابرست با حاصل جمع لگاریتم ها) توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند.

بعدها برای اینکه جمع و تفریق آن ها از حالت اعشاری خارج شود واحد «سناوار» را مرسوم کردند.

[صبا محمدي]

پرکاربرد ترین علمی که از لگاریتم در آن استفاده می شود
شیمی تجزیه است.


در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم از آن جمله می توان به

استفاده از لگاریتم در اندازه گیری Ph ، توابعp ،معادله ی دبای-هوکل که با استفاده از آن می توان ضرایب

فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه ی آن ها محاسبه کرد اشاره نمود.



کاربردهای لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این مقاله ختم نمی شود
چنانچه لگاریتم در علوم زیستی، نجوم و در اخترشناسی
جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها، آمار،
علوم کامپیوتر، زمین شناسی و… نیز کاربرد می یابد ،

چه بسا کاربردهای دیگری را که در آینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود

[Only Math]

شبكه هاي عصبي مغز




آيا تا به حال فكر كرده‌ايد كه ما چگونه مطلبي را مي‌آموزيم؟ چقدر و با چه سرعتي ياد مي‌گيريم؟ مغز ما چگونه مي‌تواند يك مسأله را حل كند؟ آيا تا به حال به نحوه‌ي عملكرد مغز فكر كرده‌ايد؟

عملكرد دقيق مغز هنوز كشف نشده است و برخي جنبه‌هاي آن براي انسان شناخته شده نيستند. ولي براي ما روشن شده است كه بافت‌هاي عصبي از تعداد زيادي سلول به نام نرون تشكيل شده‌اند، كه به يكديگر متصل هستند. زماني كه اين نرون‌ها به يكديگر وصل مي‌شوند، تشكيل شبكه‌ي عصبي مغز را مي‌دهند. شبكه يعني واحدي كه تمام اجزاي آن با هم در ارتباط باشند.(مثل شبكه‌هاي كامپيوتري).
آيا مي‌دانيدكه مي‌توانيم با توجه به نحوه‌ي عملكرد شبكه‌ي مغز، شبكه‌هاي مصنوعي مغز را در دنياي واقعي طراحي كنيم و با استفاده از آن بسياري از مسائل را حل كنيم؟

برايتان عجيب نيست كه در اين شبكه‌هاي مصنوعي از رياضي هم استفاده مي‌شود؟
شايد بپرسيد ساختن شبكه‌هاي مصنوعي از روي شبكه‌ي واقعي مغز چه كمكي به ما مي‌كند؟ و چه كاربردهايي در زندگي انسان‌ها دارد؟
براي روشن شدن اهميت شبكه‌هاي عصبي در اين جا به چند نمونه از كاربردهاي شبكه‌هاي مصنوعي در زندگي انسان مي‌پردازيم: رديابي سرطان، تجزيه‌ي بنزين، پيش‌بيني صاعقه، تشخيص تقلب در كارت اعتباري، تشخيص تصاوير واقعي، پردازش مكالمات تلفني، كنترل ترافيك،تشخيص بيماري، تعيين اعتبار امضاي اشخاص، سيستم‌هاي رادار، مين‌گذاري و ... .
حالا كه با اهميت شبكه‌هاي مصنوعي،بيش تر آشنا شديد، شما را با اصولي كه به وسيله‌ي آن‌ها بتوان شبكه‌هاي عصبي را با روابط رياضي تشريح كرد، آشنا مي‌كنيم.اين اصول از طبيعت واقعي و زيستي مغز و نرون‌ها گرفته شده است.
ابتدا ساختار نرون را بررسي مي‌كنيم. يك نرون داراي چندين قسمت است كه هر قسمت وظيفه‌ي خاصي را بر عهده دارد. به طور مثال يك قسمت كار ورود اطلاعات، قسمت ديگر كار تركيب اطلاعات و يك قسمت هم‌كار خروج اطلاعات و انتقال آن‌ به نرون ديگر را انجام مي‌دهد.
يك نرون n ورودي دارد كه آن‌ها را با ها نشان مي دهيم. (j بين 1 تا n تغيير مي كند) در ساختار واقعي نرون در مغز، قبل از ورود اطلاعات به نرون، قسمتي از نرون به نام سيناپس روي اطلاعات تأثير مي‌گذارد كه براي معادل سازي آن در رياضي، قبل از ورود اطلاعات به نرون، ورودي ها:ها را در توابع وزن: ها ضرب مي‌كنيم . بعد از ورود اطلاعات به نرون و تركيب نتايج(براي تركيب نتايج ،معمولا" از عملگر جمع معمولي استفاده مي شود.)،نرون براي تعيين خروجي خود، از يك تابع f كمك مي‌گيرد و خروجي را با O نشان مي دهيم:.
اين تابع f مي‌‌تواند انواع گوناگون داشته باشد و بر اساس نوع خروجي و خواسته‌ي ما تغيير كند. در هر حال مي بايست تابع f بين دو مقدار محدود باشد. به طور مثال در استفاده از شبكه‌هاي عصبي براي كنترل حركت بازوي يك روبات اگر f محدود نباشد، ممكن است بازوي روبات در اثر يك حركت سريع به خود و يا محيط اطراف آسيب بزند. در چنين مواقعي از توابعي مانند توابع زير استفاده مي‌شود:

پس اگر ورودي ما بسيار بزرگ و يا بسيار كوچك‌ باشد، خروجي از حد معين ##### نمي‌كند و البته اين در ساختار نرون طبيعي هم موجود است. مدل تقريبي يك نرون در شكل زير آمده است:

حال اگر تعدادي از اين نرون‌ها را به يكديگر وصل كنيم و تشكيل يك شبكه بدهيم، يعني اگر به جاي يك نرون، m تا نرون داشته باشيم كه به يكديگر وصل شده‌اند و ورودي ها را با ، توابع‌ وزن را با ، خروجي‌ها را با و تابع‌ها را با نشان ‌دهيم آن گاه خروجي هاي اين شبكه‌ي عصبي با استفاده از رابطه هاي زير بيان مي شوند: . (i بين 1 تا m و j بين 1 تا n تغيير مي كنند.)
اما يك نكته‌ باقي مي‌ماند ، اين كه در مغز، وقتي كه يك نرون بالاتر از يك حد معين (آستانه‌ي آن نرون:) تحريك شود، نرون برانگيخته مي‌شود به طوري كه مي‌تواند يك سيگنال الكتريكي را در طول يك مسير هدايت كند تا بتواند آن را به نرون‌هاي ديگر انتقال دهد. در اين موقع اصطلاحاً مي‌گوييم كه نرون آتش مي گيرد. بنابراين در يك شبكه براي اين كه يك نرون بتواند اطلاعات را به نرون‌هاي ديگر منتقل كند، بايد آتش بگيرد. براي لحاظ كردن اين شرط در مدل رياضي، رابطه‌ي زير را مي آوريم: .
بنابراين فرمول‌بندي رياضي شبكه‌ي عصبي فوق به صورت زير نوشته مي‌شود:

به شرطي كه: .(در اين شبكه، آستانه ي نرون ها را باها نشان مي‌دهيم.)

منبع:انجمن ریاضیدانان جوان

[Only Math]

آخرين بازدم ژوليوس سزار



شايد داستان خاتمه ي پادشاهي ژوليوس سزار كه به دليل بي‌كفايتي توسط سردارانش به قتل رسيد را شنيده باشيد. آخرين جمله‌اي كه ژوليوس سزار به زبان آورد چنين بود: «و تو، بروتوس؟.»

حال به اين نكته فكر كنيد: «احتمال اين ‌كه در نفس بعدي كه مي‌كشيد يك مولكول از هواي بازدم ژوليوس سزار را وقتي كه گفت: «و تو، بروتوس؟» به شش‌هايتان وارد كنيد چقدر است؟»
پيشاپيش چيزي نمي‌دانيم. بايد فرض‌هاي خاصي بكنيم. يكي از فرض‌ها اين است كه آخرين بازدم ژوليوس سزار، يكنواخت در سرتاسر جو توزيع شده است. فرض ديگر اين‌ است كه همه‌ي مولكول‌هاي اين بازدم هنوز در جو موجودند و در بخش‌هاي ناشناخته ي عالم پراكنده نشده‌اند و تجزيه و باز تركيب (مثلاً در فرآيند اكسيداسيون) هم نشده‌اند. سرانجام فرض مي‌كنيم كه مولكول‌هاي هوا يكنواخت در جو توزيع شده‌اند (البته اين فرض كاملاً درست نيست، چون هر چه از سطح زمين دورتر شويم جو رقيق‌تر مي شود؛ ولي نزديك سطح زمين كه ما زندگي مي‌كنيم، اين فرض درست است.)
بعد از پيش‌فرض‌هاي بالا با استفاده از اطلاعاتي چون جرم جو زمين، مقدار عدد آووگادرو و وزن مولكولي جو، نتيجه مي‌گيريم كه جو حاوي مولكول است .
يك مول از هر گاز در دماي استاندارد 4/22 ليتر فضا را اشغال مي‌كند و حاوي مولكول است. آزمايش نشان مي‌دهد كه به طور ميانگين، بازدم انسان حاوي 4/0 ليتر هواست. پس به طور ميانگين ، تعداد مولكول‌ها در بازدم برابر است با: .
پس در بازدم سزار مولكول بوده است و اين مولكول ‌ها در عالمي كه مولكول دارد، پخش شده‌اند.
براساس محاسبات فوق ، در جو مولكول هست كه در بازدم سزار نبوده‌اند. يكي از مولكول‌هاي نفس بعدي خود را در نظر بگيريد. احتمال اين‌كه اين مولكول غيرسزاري باشد برابر است با:.
اين احتمال در مورد هر يك از مولكول‌هاي نفس بعدي شما درست است. پس احتمال اين‌كه نفس بعدي شما غيرسزاري باشد، عبارت است از : .
اين‌جا با يك مشكل مواجه خواهيم شد زيرا اگر عدد را به ماشين حساب وارد كنيد نتيجه 1 خواهد بود ولي به طور قطع عدد سمت راست برابري ، يك نيست. پس چه بايد بكنيم؟
در اين جا تنها رياضيات نظري است كه مي‌تواند براي ما چاره‌ساز باشد. مي‌دانيم كه عبارت وقتي به عكس عدد اويلر ميل‌ مي‌كند (عدد اويلر : ). هم چنين مي‌دانيم كه با دقتk رقم اعشار تقريبي از است. پس نتيجه مي‌گيريم احتمال اين‌كه نفس بعدي شما كاملا" غير سزاري باشد، برابر است با:.
بنابراين احتمال اين‌كه نفس بعدي شما حاوي مولكولي از بازدم سزار باشد تقريبا" 63% است.

منبع : فنون مساله حل كردن
استيون ج. كرانتس
irantrack

[Only Math]

مسافتي كه توپ مي پيمايد

انيميشني كه كاربردي از سري هندسي را در حل مساله اي فيزيكي نشان مي دهد ...

منبع: irantrack