چند نامساوی هندسی
انگيزهي نوشتن اين مقاله، اهميّتي است كه نامساويها در تمام شاخههاي رياضيات دارند تا جايي كه گاهي از تساويها نيز مهمترند. چون احكام نامساويهاي هندسي را به آساني ميتوان فهميد از اين رو جذابيّت خاصّي دارند در عين حال مقدّمهاي بسيار خوب براي آشنايي با رياضيات جديد و انديشهي خلّاق رياضي هستند. در اين جا شما را با چند نامساوي مهم هندسي و روش به دست آوردن آنها آشنا ميكنيم.
1- نامساوي ميانگينهاي حسابي- هندسي:
تعريف: براي اعداد حقيقي ؛ ميانگين حسابي را به صورت زير تعريف ميكنيم:
تعريف: براي اعداد حقيقي نامنفي ؛ ميانگين هندسي را به صورت زير تعريف ميكنيم:
حكم: براي اعداد حقيقي نامنفي ؛ ميانگين هندسي از ميانگين حسابي؛ نابيشتر است يعني: .
پيش از پرداختن به اثبات اين حكم، ابتدا لم زير را مي آوريم :
لم: اگر x عدد حقيقي نامنفي دلخواهي باشد آنگاه: .
اين لم به كمك قضيه ي مقدار ميانگين اثبات مي شود و در كتب استاندارد حساب ديفرانسيل و انتگرال آمده است .
اثبات حكم: براي ، با جايگذاري در نامساوي لم خواهيم داشت:.و لذا:
علاقه مندی ها (Bookmarks)