سري فوريه

[صبا محمدي]

سری فوریه، روشی در ریاضیات (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA) می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع متناوبی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7% D9%88%D8%A8) به صورت جمعی از توابع سینوس (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%88%D8%B3) و کسینوس (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%88%D8%B3) می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86) فرانسوی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%D9%87)، ژوزف فوریه (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%88%D8%B2%D9%81_%D9%81%D9%88%D8%B1%DB%8C% D9%87) ثبت شده است.
اگر http://upload.wikimedia.org/math/b/d/9/bd91e763bbdaf805f4d4ebcf0d39b855.png یک تابع متناوب با تناوب T باشد (یا به عبارتی: f(t + T) = f(t)) آنگاه، این تابع به صورت زیر می‌تواند نوشته شود:
http://upload.wikimedia.org/math/0/b/8/0b872ac313b09fd2dd9e7491dffdc703.png
در اینجا داریم:

http://upload.wikimedia.org/math/3/0/a/30a143b5c0193a755a7e4a6ff8e7bfc0.png هارمونیک (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%87%D8%A7%D8%B1%D9%85%D9%88%D9% 86%DB%8C%DA%A9&action=edit&redlink=1) nام سری فوریه (به رادیان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%A7%D9%86))
http://upload.wikimedia.org/math/0/6/f/06f8f85fa28fc2dd9ae351e83744a701.png ضرایب فرد (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B2%D9%88%D8%AC_ %D9%88_%D9%81%D8%B1%D8%AF) فوریه
http://upload.wikimedia.org/math/6/7/4/674b60104d83de29192bf75b57e1158d.png ضرایب زوج (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B2%D9%88%D8%AC_ %D9%88_%D9%81%D8%B1%D8%AF) فوریه
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

http://upload.wikimedia.org/math/d/c/c/dccc351100ed03e0e5017730fd109bf5.png
و در اینجا:

http://upload.wikimedia.org/math/8/a/a/8aafb7fb7acd48cd88c241eae624d26a.png .


<H2> جستار وابسته

تبدیل فوریه (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A8%D8%AF%DB%8C%D9%84_%D9%81%D9%88%D8%B1% DB%8C%D9%87) در صورتی زوج را بخواهد از cos استفاده کرده یعنی فقط a0 و an را محاسبه می کنیم در صورتی فرد را بخواهد از sin استفاده کرده یعنی فقط bn را محاسبه می کنیم به زوج و فرد نیم حوضه نیز گفته می شود .
</H2>.

[صبا محمدي]

سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FourierSeries/Inline1.gif در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships (http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html)) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis (http://mathworld.wolfram.com/HarmonicAnalysis.html)) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد، یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد. نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.
به ویژه از آن جایی که با توجه به اصل انطباق (برهم نهی) مجموع پاسخ های یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی همگن خطی خود راه حل معادله ی اولیه محسوب می شوند، چنانچه بک چنین معادله ای را بتوان برای یک خم سینوسی یکتا حل کرد، آنگاه راه حل یک تابع دلخواه را می توان فورا با استفاده از توصیف تابع اولیه در قالب یک سری فوریه بدست آورد که متعاقبا این رویه منجر به فهم راه حل هر یک از مولفه های منتسب به خم سینوسی می گردد. این تکنیک حتی در برخی موارد خاص که سری فوریه محصور به یک شکل محدود و بسته است، به راه حل های تحلیلی نیز می انجامد.
هر مجموعه ای از توابعی که یک دستگاه متعامد (راست گوشه) کامل (complete orthogonal system (http://mathworld.wolfram.com/CompleteOrthogonalSystem.html)) را تشکیل می دهند، یک سری فوریه ی تعمیم یافته (generalized Fourier series (http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFourierSeries.html)) متناظر دارند که شبیه به سری فوریه است. مثلاْ استفاده از تعامد ریشه های تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind (http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html)) به اصطلاح یک سری بسل ـ فوریه (Bessel function of the first kind (http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html)) را بدست می دهد