عدد موتزکین

[Only Math]

عدد موتزکین n ام (که به افتخار تئودور موتزکین) نامگذاری شده است عبارت است از تعداد راه هایی که میتوان n نقطه را روی دایره به هم وصل کرد بدون آنکه تقاطعی به وجود بیاید.

مثلاً برای n=4 داریم:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/MotzkinChords4.svg/300px-MotzkinChords4.svg.png (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/MotzkinChords4.svg/300px-MotzkinChords4.svg.png)

این اعداد کاربردهای گوناگونی در هندسه ، ترکیبات و نظریه اعداد دارند.
در اینجا دنباله چند عدد موتزکین مشاهده می کنید:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829

برای n=5 داریم:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/MotzkinChords5.svg/428px-MotzkinChords5.svg.png (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/MotzkinChords5.svg/428px-MotzkinChords5.svg.png)

عدد موتزکین اول عدد موتزکینی است که اول نیز باشد مانند : 2, 127, 15511, 953467954114363

فرمول بازگشتی زیر نیز برای این اعداد برقرار است:

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/MotzkinNumber/NumberedEquation4.gif (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/MotzkinNumber/NumberedEquation4.gif)