فضای برداری

[nafise sadeghi]

فضای برداری

یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از:
1.میدان (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86) f از اسکالرها
2.یک مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) v از اشیا به نام بردار (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1)
3.یک عمل جمع برداری برروی v به طوری که به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/abc85e1c9793f1d8b59ccd03eb57db1f.png متعلق به v آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/88b5c8334d56a8415972578f970407ba.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png وجود داشته باشد و
الف.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a4a42068a6c80273017e6a39343a7634.png

ب.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0c2b2cb756b0c64467cfd8a124f683f8.png

ج.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c0451f36839c087c16c4f8ecc409d2dd.png

(که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/880caa62652e08589bce2e0a1cee5923.png منحصر به فرد است.)
د.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2efcb524c96a738c20d56563d5d502f2.png

4.عمل ضرب موسوم به ضرب اسکالر به طوری که به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d8c978dfdb35a939f6e93bc82060c0e.png متعلق به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/712aca2c23db5611207713f4db69867c.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87d813ecbc5fbb035711b36bc22962fe.png متعلق به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3c69315a2932e5d952084bb665bf3743.png عضوی از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png باشد وداشته باشیم:
الف.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/34b410163c55845bfe03057e648c3380.png

ب.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8661cb0cbf9938e2b5469fe8cfc16a4b.png

ج.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f88c449287b0b9d917e16a091d48dd04.png

د.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1237934c2d62bb7f8b13de32530e1224.png

در این صورت گوییم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png یک فضای برداری روی میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/712aca2c23db5611207713f4db69867c.png است

[nafise sadeghi]

قضیه (1)

فرض کنیم v یک فضای برداری بر روی میدان f باشد در این صورت:
1.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1ed9f911a1f4fa07d39ab49a9145395d.png

2.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce33d06e1032a527d6afcd95a0745ca1.png

3.اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fb98866f9b0df7b34a1bd667d7cfecb7.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/536ae37630dadd6eb3f26fc33be94d34.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f81b212d0ceaf8cc57b4f6e40e734048.png
4.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f5528f9d14fd1afbc2faebe5ac6ea38.png

5.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c6513eda92ed55470bf2602e59efc469.png

(که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f5348d9e69be5c47d6cc2b18f716e93c.png منحصر به فرد است.)

زیر فضا

فرض کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png یک فضای برداری بر روی میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/712aca2c23db5611207713f4db69867c.png باشد در این صورت اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4afbfb34e3aea6a8acfea9ae932d414b.png همراه با دو عمل جمع برداری روی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png و ضرب اسکالر تشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fcf8b3ead7f97b5874d1c4d1b977fb72.png زیرفضای برداری http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png است.

لم

برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود:
1.بسته بودن نسبت به جمع برداری
2.وجود بردار صفر در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fcf8b3ead7f97b5874d1c4d1b977fb72.png
3.وجود قرینه هر بردار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fcf8b3ead7f97b5874d1c4d1b977fb72.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fcf8b3ead7f97b5874d1c4d1b977fb72.png
4.بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر

قضیه (2)

یک زیر مجموعه غیرتهی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fcf8b3ead7f97b5874d1c4d1b977fb72.png از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f2719d9b9f11fa01aa609b86ac35690.png زیرفضاست اگر و فقط:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d8a7cf7ab8b8edc27ae10d2e8eb0f793.png

[صبا محمدي]

قضیه : اگر T : V ® W یک تبدیل خطی یک به یک و پوشا باشد ، آنگاه T-1 : V ® W نیز یک تبدیل خطی است.
برهان : چون T پوشاست داریم

lw1 +w2 = TT-1(lw1 +w2)

از طرفی چون T تبدیل خطی

lw1 +w2 = lTT-1 w1 + TT-1 w2 =T(lT-1 w1 + T-1 w2)
بنابراین
TT-1(lw1 +w2) = T(lT-1 w1 + T-1 w2)
چون T یک به یک است
T-1(lw1 +w2) = lT-1 w1 + T-1 w2
یعنی T-1 تبدیل خطی است .

[صبا محمدي]

نکته : دو فضای برداری ، یکریخت نامیده می شوند ، هرگاه یک تبدیل خطی یک به یک و پوشا بین آن ها موجود باشد . اگر VوW یکریخت باشند می نویسیم V @ W

فرض کنید v1,v2,…,vn و v بردارهایی در V باشند و a1,a2,…, an اسکالر هایی در F باشند و
v = a1v1+a2v2+…+anvn باشد،آنگاه v را ترکیب خطی بردارهای v1,v2,…,vn می گویند .

اگر به ازای هر j ی aj ¹ 0 آنگاه

ajvj = v - a1v1 - …- aj-1vj-1- aj+1vj+1- … - anvn
پس
vj = a-1j v - a-1ja1v1 - …- a-1j aj-1vj-1- a-1j aj+1vj+1- … - a-1j anvn

یعنی vj ترکیب خطی v,v1,v2,…,vj-1 ,vj+1 ,…, vn است .

مثال: بردار (a ,b) در R2 ترکیب خطی بردار های (1 , 0) و (0 , 1) به صورت زیر است


(a ,b) = a(1 ,0 ) + b(0,1)

مثال : آیا(a ,b) ترکیب خطی(2,2 ) و(0 ,1) است؟
(a , b) = a(0 ,1)+b(2 ,2) Þb=a/2 , a = b-a

تعریف: بردار های v1,v2,…,vn را مستقل خطی گوییم هر گاه

" a1v1+a2v2+…+anvn = 0 Þ a1 = … = an = 0
در غیر این صورت این بردار ها را وابسته خطی گوییم .

پس بردارهای v1,v2,…,vn وابسته خطی اند هرگاه اسکالرهایی مانند a1,a2,…, an که همگی آن ها تواما ً صفر نیستند ، موجود باشند که
a1v1+a2v2+…+anvn = 0

تعریف : فرض کنیم V یک فضای برداری باشد و WÍ V . اگرW با همان اعمال V تشکیل یک فضای برداری دهد، آنگاه آن را یک زیر فضای برداری V گویند و می نویسند W£V.

نکته : همیشه{0} و W زیر فضاهای W هستند که ان ها را زیر فضاهای بدیهی می نامند .

قضیه : W£V اگر و تنها اگرW نسبت به اعمال جمع و ضرب اسکالر بسته باشد .

مثال : زیر فضاهای R2 عبارتند از :
{0} و R و خطوط مار بر مبدا

[20zahra]

من سوالم چیز دیگست کسی هست جواب بده؟smilee_new1 (13)