ماتريس

[nafise sadeghi]

ماتریس

ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل از اعداد مختلط (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF+%D9% 85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7) به طوری که عناصر این آرایه را درایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطر i ام و ستون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d642fb4453ded7440133cccb810b48c3.png ام را با نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/310ac0825073dc689574f16c814f7943.png نشان می‌دهیم.
ماتریسی که دارای m سطر و n ستون باشد را ماتریس از مرتبه m, در n می‌نامیم.( http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png )

نکته

هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8b3e5f04778af57a4ef175f53b1ee7d.png آنگاه ماتریس را مربع از مرتبه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png می‌نامیم.
یک ماتریس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png را بصورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png نمایش می‌دهیم.

تاریخچه

مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانند مربعهای جادویی و مربعهای لاتین ، به تاریخ قبل از میلاد نسبت داده شده است. معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای از جبر خطی در نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستم معادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد. لایب نیتس به عنوان یکی از پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد.

در ادامه کرامر روش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساس دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد. این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است. در مقابل اولین استفاده ضمنی از ماتریسها توسط لاگرانژ (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%8 6%DA%98) برای تعیین ماکزیمم و مینیمم توابع چند مقداری مورد استفاده قرار گرفت. در ادامه گاوس روش حذفی خود را برای حل مسائل کمترین مربعات که کاربردهای بسیار وسیعی در علوم سماوی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D9%84%D9%85+%D8%B3%D8%AA%D8% A7%D8%B1%D9%87+%D8%B4%D9%86%D8%A7%D8%B3%DB%8C) و ژئودوزی دارد را معرفی کرد.

روابط بین ماتریس‌ها

تساوی دو ماتریس

دو ماتریس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/89b4dcb417cc583e353fe28cec0791b7.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a13eba56dd3da61b694094b5996356dd.png مساوی اند اگر و فقط اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/84adb545d02bcf600563b8cd5c1393d6.png(هم مرتبه باشند) وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3de5b64a16f526a67ebeb93a24c1c542.png

جمع دو ماتریس

اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/95650151fe49a6fbd75a51c00847126e.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/67899dfae7732ac28ac66033e9a8a70d.png

قرینه ماتریس

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/029ca4415207599de5c5bb3632341cc2.png آنگاه قرینه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/40b23775a791ef14356dc747dc9abeb1.png


ضرب اسکالر در ماتریس

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d54c801b9b4adcc32bac63c381fde3c2.png یک اسکالر باشد آنگاهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/688a5697cd99c7035a82c956a6ed5516.png
در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود. در این نوع ضرب تمامی عناصر ماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال:

و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد:


cA)ij = c(A)ij)

[nafise sadeghi]

ضرب ماتریس‌ها

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a3957439f46ea28a260f6b7c436eb01c.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/27770d1c5f64bf2b8bbb467ea6733d9b.png آنگاه ضرب دو ماتریس را با علامت AB نمایش داده و بصورت زیر تعریف خواهیم کرد:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cbbf1a0ee1750c4f766b8b97ee4cf5bc.png


در این نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند. بطور مشابه ضرب دو ماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد. ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضرب شونده برابر باشند. بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند به صورت زیر بیان می‌شود:

برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y ام ماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریس ضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم. به صورت ریاضی حاصلضرب دو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود:


A × B)ij = (A)i1(B)1j + (A)i2(B)2j + ... + (A)in(B)nj)

بطور ساده‌تر می‌توان ماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را به صورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت.

انواع ماتریس

ماتریس صفر

ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفر نامیده و ماتریس صفر از مرتبه mضربدرn را با نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9de235f59d96d5da4152d7ab2529834b.png نمایش می‌دهیم و داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/51db8aa9df6d81516d623e69f5f80603.png

ماتریس همانی

ماتریس مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1aed0abd872f3845732237cfd25c94e3.png از مرتبه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png را همانی گوییم هرگاهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/312d7fcb46c7d34f6f7e2e602ceaff9e.png وبه ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/04f3a49883de0f92b870eed40ffd5f07.png داشته باشیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0ff1f81eecc84094b5857264e47b65d5.png

ماتریس اسکالر

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d54c801b9b4adcc32bac63c381fde3c2.png یک اسکالر و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1aed0abd872f3845732237cfd25c94e3.png ماتریس همانی از مرتبهn باشد آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f607713d33ea8c59c849465a50027279.png را ماتریس اسکالر می‌نامیم.

ماتریس وارون پذیر

ماتریس مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/58cb45825bf6cf8124e22db86d82c7e3.png را وارون پذیر می‌نامیم هرگاه ماتریس مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/682488f36eb7e479f5121a18c2d51990.png یافت شود به طوری که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b760ecf89f382be60c5b6d3af1a15d3c.png .دراین صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3c87ba493fd840ce39c5283a94d765bc.png را وارون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png می‌نامیم.

ماتریس قطری

ماتریس مربعی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png را قطری نامیم هرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند.

[nafise sadeghi]

چند خاصیت از ماتریس ها

اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7a46dda61faaa9b2dc7ec9a31ae29cb8.png سه ماتریس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bfcce837b39513a3510eafb289e6621e.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/164fa0f1b82aa813d252fd5511865ad3.png دو اسکالر باشند آنگاه:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e2f827188b9603d3097a1c2bd3e23ebe.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/47a1c0c83c9581da1478ad289eca628c.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2b9455d4b4d82a0865690f84ca2f279e.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/26c3a6c7b2000627e6395632da14b9ae.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/69d716fb6769ae326206575b836d38e6.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c05aeb02ce36c876f7ca5275ddaf7c65.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f73231544f239a4ff6ee484ac268580c.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8f39016fd5e423f489c87b84564890a.png


اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ef70e8eb0d72d9b66e675f45cdc32e47.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ca1f2b74c554d1c9a30d734397abf854.png

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6bb194c220292fe006e7b982e85e2790.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1df64194413a5a962bf41611c7b7ee77.png

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c777d570db0063134ff050a8436df571.png انگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/158bc1c1a47f4202d0f395d39bc06517.png

در حالت کلی ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bbcd1bcda75cc3f5e5f8df443b6d5af6.png تعریف شده باشند و این در حالتی ممکن است کهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/63e46ed826a0d10037570841cefc61d1.png دو مربع هم مرتبه باشند.)