حلقه

[nafise sadeghi]

حلقه

هرگاه R یک مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) ناتهی باشد ، گوییم مجموعه R تحت دو عمل جمع و ضرب یک حلقه است ، هر گاه:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f959ace3ad76cb0a395560b97eb0c399.pngیک گروه جابجایی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87+%D8%AC%D8% A7%D8%A8%D8%AC%D8%A7%DB%8C%DB%8C)باشد
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ca4e9b80bc3a7571dc9658479e5c3f35.png یک نیمگروه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D9%85%D9%84+%D8%AF%D9%88%D8% AA%D8%A7%DB%8C%DB%8C) باشد.
خاصیت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از چپ و راست در R برقرار باشد.
حلقه جابجایی

هرگاه حلقه R تحت عمل ضرب دارای خاصیت جابجایی باشد ، گوییم R یک حلقه جابجایی(آبلی ) است.

مقسوم علیه صفر

هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png یک حلقه باشد ، عنصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c618380f41d716a321f686434cb196c1.png را یک مقسوم علیه صفر نامند ، هرگاه عضوی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/13448e87a08f9fd6e25f87af95e5d9ab.png در حلقه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png وجود داشته باشد ، بطوریکهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/450719598431204ae34b6027ffeabcf2.png.
در این تعریف اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/458bf33bd12fee9d707aa783ec5f5e64.png، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/228e3eeba15cdb0d41b35645991ca153.png را مقسوم علیه چپ صفر می‌نامد و اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1d47a248ac18bf62279eca831f0d4adc.png ،آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/228e3eeba15cdb0d41b35645991ca153.png را مقسوم علیه راست صفر می‌نامند.

واحد حلقه

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.pngیک حلقه باشد،گوییم عنصری چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/726d1e25014de347f01113aa2859ab15.png،یک حلقه(واحد حلقه) است،هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d4516511ba45ca96d9f4edad6e987d77.png تحت عمل ضرب، عضو همانی باشد. یعنی:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f27d2bc225a4807f25d06d5e629a2c2f.png

اگر حلقه ای دارای عنصر واحد باشد، گوییم حلقه یکدار است و این یک را با نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/78305508edbbcf81db0052720d36a7d0.png نشان می‌دهیم.

حلقه بدیهی

حلقه ای که فقط شامل عنصر صفر باشد، حلقه بدیهی نامیده می‌شود.

نکته

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png ، حلقه بدیهی باشد، یعنی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/552b7fec9bf2cb78ce9d4f6baa9f0e78.png، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6249603029198999021915fa5d0da1d7.png.

[nafise sadeghi]

قضیه

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png یک حلقه و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6ba79cc4411de6991652b76e88cfb51f.png باشند ،آنگاه گزاره های زیر برقرارند:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6705593733b94a1031ebe78734856831.png 1



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/81aa60cc02bc8fe2a2a3381e461d541f.png 2



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2dee53e7c808a3edd6c9cbe513cdd068.png 3



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c552587e4b12855c89a515c5767d20da.png 4



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c8fdc828a5732f4d5d976e077548a365.png 5


عنصر یکال

هر گاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png یک حلقه یکدار باشد، عنصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3f034a1ea8ff4a3b0162397c334ab089.png را عنصر یکال می‌نامیم ، هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png دارای وارون ضربی باشد .یعنی:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9b67575571720b4a4ba55cd2a7a23b3.png


نکته


در حلقه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8be8408324bc94a067e7c40997d8b7c8.png، عنصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4137b8cbe28d0b61ce44b64209c85b0c.png یکال است، هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/13dab39df783803eaf5f88588c3b1d98.png.
عنصر یک هر حلقه منحصر بفرد است، اما یکال حلقه ، یکتا نیست.
اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png یک حلقه مخالف صفرو http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.png یکدار نیز باشد، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4c4412d7b1eae9fc95479f3f471848db.png.
هر گاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9a8bf09abb1952e857088ff6eaaf785.pngحلقه یکدار و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8f240fc937b3ef50ea38bce36e354ac3.pngعنصر یکال باشد، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/198c78845b2ac9f33c2007465c564be1.png مقسوم علیه صفر نیست.
دانش نامه رشد