اتحاد

[nafise sadeghi]

مقدمه و معرفی

در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساویhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a92f4cf6ce2278b1ff0f5aa811b74085.png برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساویhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2ef5788fb42ccfef74c9e0384c09bf5b.png فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم.
به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شدهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a92f4cf6ce2278b1ff0f5aa811b74085.png دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود.
به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است.
عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2b7602fdf404d600f4cec3b83237f982.pnghttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0159cfe9e4f144bf5986a0523c285fd9.png



اتحادهای مهم جبری

در میان اتحادهای جبری، برخی از اتحادها بسیار مهم و کاربردی می باشند و در حل معادلات، محاسبات جبری، تجزیه عبارت جبری و... بسیار کاربرد دارند. از این رو دانستن و به کاربردن آنها از اهمیت خاصی برخوردار است. در این قسمت به بررسی این اتحادهای مهم می پردازیم.

اتحاد مربع مجموع دو جمله


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b5ff0d4f1bcdcde4fb4eb5d1a9b203ab.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d2e724163df82d879ed690d98cf8be22.png




اتحاد مربع تفاضل دو جمله


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/58a371ec1d1fe5374246c25a07696490.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/77fc2d67a87a100b94c23f883b877aa1.png




اتحاد مکعب مجموع دو جمله


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0e226ab34d445e0a1417cd67303465e5.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e1b634a62801b05cda611e1d277e04a1.png

[nafise sadeghi]

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

در دو اتحاد قبل مشاهدی کردید که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان های دو و سه رسیدند. حال این اتحاد برای توانهای طبیعی n هم قابل تعمیم است و به آن اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن می گویند.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a7241bd4b7b3ca2125528a3e9d4dea57.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3e6673f36933ecd8d34794c2b79d32e9.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e853aa93bd659b3cf6dd3cf60c8e10d1.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0ff7d0ec2a5b56cc017d7c31dc613971.png




اتحاد مربع سه جمله


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e986ad526d5a5cf8d296c593cd990758.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/660ea24ae2e95c5fb7cf0a14702f0820.png




تعمیم اتحاد مربع چند جمله


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/394bd2b7b62b3668064b09e9e2b02101.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0bec85dde57e9ff3208fb171d6e796d3.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e86a890f889dafb67d8206c6f81916de.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cfe264a8ab8d5226be531c20b7d5243e.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/39eb652dd1c5edcc7ca97c10097de410.png




اتحاد مزدوج


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/55b42d6378b4664a2730799296971dcc.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0b22e5fd012f2ec339d70b0595d4be9e.png


لازم به توضیح است اگر داشته باشیم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول یعنی a+b می گویند.

[nafise sadeghi]

اتحاد جمله مشترک


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/10041b78c6ce3e93425a7dd43c17eb32.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5138f2e79add9e8de8d0b33ae1570c62.png




تعمیم اتحاد جمله مشترک


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/894a25854f6ef9fe7c5922ce35445c34.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/07ad071a6518b4a68ae2a5f6a084f996.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/95d65706af3b9cd3ee04b8b2a03c8725.png


این روال به همین ترتیب برای حالات دیگر هم برقرار است.
مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2388e7fe3b1055b2f6186628ffc76896.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/489c228c345129fae786ddf6ddec51b2.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/40b9bed059825dfbeecc19b3b91fe964.png




اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/17e1d86061b19f88eb4c2a4ce6bd60c8.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/34eadd19e0f12371b0c0bf2b341fe5f0.png




تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/95f32bee77e572e70e7a4d5b224314ec.png

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e4ab757460f3f25981be1c2511c78f7e.png


لازم به توضیح است که این اتحاد فقط برای حالتی برقرار ست که توان n عدد طبیعی فرد باشد.
مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bdb34c2b25478f9069c9ca72578a9aa7.png




اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cd67516e212292957f36d5c2e43680b5.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/61aef3c40158e16f0669c8d7bfe9822d.png

[nafise sadeghi]

تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d38a72e34afc003701b06bf92109ce52.png

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b13dd5ef511f005ac6e192a9c7364b8d.png


لازم به توضیح است این این اتحاد برای هر عدد طبیعی n برقرار است.
مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/92bf665575d45eb081a746fd362f366c.png




اتحاد اویلر


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3e1a00cfc167c758351259eb9707d4ce.png


برهان:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/aa125a3b6509330b8c571a899fc19f43.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a0fe051afd46992c9891511e74752233.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/522e585e4d7a23c335fc4090b430a835.png


صورتی دیگر از اتحاد اویلر:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/51483b010c1c9b86d2046c93dc42a3fe.png


برهان:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f83f2f5005bfba6a1f99ca730a1dd292.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ae1c66f27547daf12ae686f7b0a94c52.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c85bc64272d3fc717fec6f0147625364.png


نتایج اتحاد اویلر:

اگر a+b+c=0 آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/eac0c283ed5fc65c9e0545094427608d.png
اگر a=b=c آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/eac0c283ed5fc65c9e0545094427608d.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f321c7e7bb02e9cb58747667f46c57c5.png

همچنین اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/339c7b7ca84414f82e6a99424093cbb0.png باشد آنگاه داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b7b240321af169eb14642a445efa1276.png




اتحاد لاگرانژ


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/95b4d76ff876a5330c99d0e5576dc308.png

مثال:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b85db7c4fb02e0124154662ff5b64a60.png






علاوه بر اتحاد های جبری ذکر شده هر عبارت دیگر که برای هر مقدار از دامنه برقرار باشد را نیز می توان به عنوان اتحاد دانست. به عنوان مثال از مهمترین این اتحاد ها، اتحاد های مثلثاتی می باشند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%d8%a7%d8%aa%d8%ad%d8%a7%d8%af&SSOReturnPage=Check&Rand=0