قضیه رل

[Only Math]

قضیه مقدار میانگین



در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهمترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند. صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیان لازم را برای براورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و بوسیله آن می‌توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توضیح داد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.

قضیه رل




شواهد هندسی محکمی در دست است که نشان می‌دهد اگر خم همواری محور x را در دونقطه قطع کند، نقطه‌ای روی خم بین آن دونقطه وجود دارد که در آن مماس بر آن نقطه موازی محور x است. قضیه 300 ساله میشل رل این اطمینان را به ما می‌دهد.

قضیه رل: اگر تابع f در بازه بستهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.pngپیوسته و در بازه بازhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png مشتق‌پذیر باشد، و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/63e9482466b4f62cbb9f0dc533602df5.pngآنگاه نقطه ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4eaeeeea7e398e28b4f5879bed6e11d6.png موجود هست به طوری که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce641b9a627793cd4e35cdea8aee869a.png




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/4/42/Rolle1.jpg

برهان:


بنابر فرض چون f بر بازهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته است بنابر قضیه اکسترمم مطلق، f مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق خود را در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png اختیار می‌کند. حال دو حالت تشخیص می دهیم:

اگر a,b به عنوان نقطه اکسترمم مطلق تابع f باشند (یعنی یکی از a یا b نقطه ماکزیمم مطلق و دیگری مینیمم مطلق باشد) چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/63e9482466b4f62cbb9f0dc533602df5.png پس تابع f تابع ثابت0=(f(x است و لذا برای هر نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4eaeeeea7e398e28b4f5879bed6e11d6.pngداریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/caee22e3bd307973ef5243fe7c607244.png
اگر a,b هیچ کدام نقطه اکسترمم مطلق نباشند، پس نقطه ماکزیمم و مینیمم مطلق f در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png قرار دارد یعنی نقطه ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4eaeeeea7e398e28b4f5879bed6e11d6.png است که به ازای آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9518557c5531deeef034ad16fc6d45e.png اکسترمم مطلق باشد اما با توجه به تعریف، c یک نقطه اکسترمم نسبی نیز می باشد
(یعنی (f(c اکسترمم نسبی است) و چون بنا به فرض f در c مشتق پذیر است و c اکسترمم نسبی است پس: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce641b9a627793cd4e35cdea8aee869a.pngو به این ترتیب در هر حالت نقطه c مورد نظر وجود دارد و به این ترتیب برهان قضیه کامل می‌شود.


قضیه زیر صورتی کلی‌تر از قضیه فوق را نشان می‌دهد و در واقع بیان می کند در قضیه رُل لزومی ندارد که f در a و b صفر شود و همین قدر که f در دو نقطه a و b یک مقدار ثابت را اختیار کند کافی است.

[Only Math]

قضیه: هرگاه تابع f بر بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته بوده و در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png مشتق‌پذیر باشد، و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3351a23bc0451317b22d4af3314c5cec.png، آنگاه نقطه‌ای چون
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4eaeeeea7e398e28b4f5879bed6e11d6.png وجود دارد که:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce641b9a627793cd4e35cdea8aee869a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/b/b5/Rolle2.jpg

برهان:
قضیه در حالت k=0 همان قضیه رل خواهد بود که در بالا ذکر شد. در غیر این صورت تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/df5e8d52b18e72b39f0953f2a64cbc7c.png در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته و در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png مشق پذیر است و نیز داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2cf79b940a4f67bec970fd7e7a0645fa.png



و لذا تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0840a5e804bda6f0bb5fb19bc26da1b7.png شرایط قضیه رل را داراست بنابراین نقطه‌ای چونhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/677fe51420bf4624fdae247fdbd0d822.png موجود است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5626fe6336dd7c12089b026d9745b0d4.png و حکم برقرار است.

توجه داشته باشید که شرط پیوستگی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%DA%A F%DB%8C) و مشتق‌پذیر بودن در قضیه رل بسیار اساسی و اگر یکی از این دو شرط برقرار نباشد در مورد تابع مورد بوسیله اوین قضیه هیچ گونه اظهار نظری نمی توان کرد.

[Only Math]

کاربرد قضیه رل




استفاده مهمی که رل از قضیه خود کرد این بود که نشان داد اگر f تابعی باشد که شرایط قضیه رل را داشته باشد آنگاه بین هر دو ریشه آن یک ریشه برای مشتق f وجود دارد. پس قضیه زیر را داریم:

قضیه: اگر f در بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته و در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png مشتق‌پذیر باشد آنگاه بین هر دوریشه f در این بازه(در صورت وجود) یک ریشه برای مشتق f وجود دارد.
برهان



فرض می‌کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f211c029be1ec89358c50b4a19eab24d.png دو ریشه متمایز f در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png باشند.بی‌آنکه به کلیت اثبات خللی وارد شود فرض می‌کنیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f0e9a33256b5c5de7d945f064f211425.pngچون f در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته است و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8cc186fd7d26132f4857f6b1e8e7120c.png پس f در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8c5b4fb8c374beafe117d37c667ff185.pngپیوسته و در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ec0f9d7b12aaebbee2cfb6eeb92dde89.pngمشتق‌پ� �یر است و نیز بنا به فرض داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2fe7b8eb5f25baae90b2574dd77dd5d0.png پس بنابر قضیه رل نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3059ae4e9282bb4107b0c10c6aa4ebf6.png موجود است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce641b9a627793cd4e35cdea8aee869a.png ولذا حکم ثابت می‌شود.

مثال: نشان دهید هر چندجمله ای از درجه سه حداکثر سه ریشه دارد.
پاسخ: اثبات به برهان خلف (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A8%D8%B1%D9%87%D8%A7%D9%86+%D8% AE%D9%84%D9%81) است. فرض می‌کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3f6b87072d6d4139bb495e5b16093865.png تابعی چند جمله‌ای از درجه سه باشد که دارای بیش از سه ریشه است مثلاً دارای حداقل 4 ریشه باشد(فرض خلف) و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a1a3f92afc8a2d98a416da0c541648f4.png چهار ریشه آن باشند. در این صورت f در هریک از بازه‌های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/dab9fd2791cd303f5085a01b5ecae079.png شرایط قضیه رل را دارد پس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/94224df40cc128ac86b2cf9d7b623c64.pngدر هریک از این بازه‌ها دارای یک ریشه خواهد بود که این نشان می‌دهد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/652611a3995489a9cfe8d72637c5e248.png دارای حداقل سه ریشه است که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

[Only Math]

قضیه مقدار میانگین


حال با دانستن قضیه رل می‌توانیم قدم بعدی را برای بیان قضیه مقدار میانگین برداریم. در حقیقت این قضیه صورتی کلی‌تر ازقضیه رُل را به ما نشان می‌دهد. فرض کنید تابع f که در بالا در مورد آن صحبت کردیم در نقاط a و b ابتدا و انتهای بازه مقادیر مختلفی را اختیار کند. در این صورت دیگر نمی‌توان با قاطعیت گفت که f در نقطه‌ای میانی بازه a و b دارای مماس افقی است اما می‌شود گفت که منحنی f در نقطه‌ای میانی مماسی موازی با وتر واصل بین دو نقطه a و b دارد. این مطلب اساس قضیه مقدار میانگین است.

قضیه مقدار میانگین: هرگاه f تابعی پیوسته در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png و مشتق‌پذیر در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png باشد، آنگاه نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4eaeeeea7e398e28b4f5879bed6e11d6.png موجود است که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7b9466eede8bfc4f33467ee3eb4fd6d7.png




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/3/31/mean1.jpg

برهان:
تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cd1794a0fae9a3299ff23be77cdc1fe1.png را در نظر می‌گیریم که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5892faffac1261ff1735b7b64c137ec2.pngعددی ثابت است. تابعhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0840a5e804bda6f0bb5fb19bc26da1b7.png در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پوسته و در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0252d5f58967927d4ff5baa1b72cd498.png مشتق‌پذیر است. حال http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5892faffac1261ff1735b7b64c137ec2.pngرا به گونه ای تعریف می‌کنیم که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/122b2ce35dc452e28c704fd3874bac5a.pngدر این صورت باید داشته باشیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a3c0783822fac600cd000452c14a5873.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/241c90adb614339cfb87f577bb5ea918.png

پس تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7e687e7992e77863f5a37de99756f197.pngتابعی است که در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png در شرایط قضیه رل صدق می کند پس نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4eaeeeea7e398e28b4f5879bed6e11d6.png موجود است که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7ecaf53dd2e10b83e8f95325f6cdba35.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e3bbed4781398aca67dc83e55532988e.png

و برهان قضیه کامل می شود.
در واقع در اثبات قضیه مقدار میانگین سعی شد تابعی ساخته شود که از آن با استفاده از قضیه رُل بتوانیم به نتیجه مورد نظر برسیم.

[Only Math]

قضیه مقدار میانگین به صورت نمو

فرض کنید f در بازه ای شامل http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/eb08b095e98dbeee998474c0ff01b551.pngمشتق پذیر باشد. در این صورت، نمو f در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5701679479873de9b94ce2727aea9a79.pngرا می‌توان به شکل:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5916a34308de9f92954f23c1e3abb7a5.png

نوشت که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a9699d647420d9be28a7e94afb0c452e.png
برهان:
f بر بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/abc9d3104c1db518d39d73a9977e6940.pngپیوسته و در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/436820822f9eab35697b8d1f406052e8.png مشتق‌پذیر است پس بنابر قضیه مقدار میانگین نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/337448c2ce9f6b2a7ba06ee050f19819.pngوجود دارد که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0fde60fe1b6301c30e43a5cc4be21cc2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a4705cd8d28628d95d0b1db001d50154.png

از طرفی داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9f4eccf18d46fa1f846810f528fb2efe.png

پس قرار می دهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/40e5b78a1a8fc229a14f529b0e19988d.pngو به این ترتیب:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9f38bc4fbe195cd708cdb8ffa2551bc2.png

حال با قرار دادن c در رابطه خواهیم داشت:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6dd6f4049e485465d8afad4653be3c00.png

و لذا حکم ثابت می‌شود.

به عنوان مثال اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2e595d026d5b8fdbaddca5326d9ac363.png خواهیم داشت:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4f25578db8a03df4a973392b1b04e6fb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d5e361517d1d4fe442c29c163788cc33.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d8c978dfdb35a939f6e93bc82060c0e.pngمناسب برابر است با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/30652d6bfe4a9363448a5734cb93a966.pngچون در این صورت داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/464097f1def915642780d59164ab587f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93af464cf8c8f9a4410a5c53e42e9123.png

چه کسی قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد؟

ژوزف لویی لاگرانژ (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%8 6%DA%98) (1736-1813) در سال 1787، در آن هنگام که می کوشید بدون استفاده از مفهوم حد (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%AF)، حساب دیفرانسیل و انتگرال (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8+%D8%AF%DB% 8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84+%D9%8 8+%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84) را مورد مطالعه قرار دهد، برای نخستین بار این قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد. به همین سسب گاهی به این قضیه قضیه لاگرانژ نیز می گویند.این قضیه مهم را در آثار آمپر (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A2%D9%85%D9%BE%D8%B1) (1775-1836) هم می‌توان یافت. هر چند هرت آمپر به خاطر تحقیقاتی است که در الکتریسیته انجام داد، ولی تحقیقات اولیه وی در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال بود و او به نقد و تصحیح ایده‌های لاگرانژ در مبادی حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخت. ولی کوشی بود که در کتاب درسی معروف خود به نام «درس‌های آنالیز» در 1821 و «خلاصه درسهایی در باره حساب بینهایت کوچک‌ها» در سال 1823 تعمیم قضیه مقدار میانگین را به چاپ رسانید، و بدین ترتیب آن را معروف ساخت. در ادامه به قضیه مطرح شده توسط کوشی یعنی قضیه کوشی می پردازیم.

[Only Math]

کاربرد قضیه مقدار میانگین



از قضیه مقدار میانگین در اثبات بسیاری از نامساوی‌ها و قضایای مهم، و نیز آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن توابع استفاده می شود. در اینجا به چند مورد از این کاربردها اشاره می کنیم.

ثابت کنید اگر تابع f در بازه I مشتق‌پذیر باشد و برای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b16d7c546cfc6802e5c36172e102f39f.pngداشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8643bb939ec77e27f9f7ee6ece841ab1.pngآنگاه به تابع f تابعی ثابت است.
برهان:


فرض می‌کنیم c نقطه‌ای ولخواه و از این پس ثابت از بازه I باشد. پس برای هر x در بازه I بنابر قضیه مقدار میانگین داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4e1ad2d985a66c40e869bf56ae27adaf.png

که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5892faffac1261ff1735b7b64c137ec2.pngبین c و x قرار دارد و چون x متعلق به I دلخواه اختیار شده بود نتیجه می‌شود برای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b16d7c546cfc6802e5c36172e102f39f.png مقدار تابع همواره ثابت است.