دنیای فراکتال ها

[Only Math]

دانش ریاضی از زیباییهای زیادی برخوردار است که متاسفانه اکثر افراد شناختی در مورد آنها ندارند و به همین دلیل به ریاضیات به عنوان یک درس یا مبحث سخت، خشک و غیر قابل درک نگاه میکنند. این درحالی است که ریاضیات از زیبایی ها و جذابیت های زیادی برخوردار بوده و همواره در طبیعت و دنیای اطراف ما به کار رفته است و شناخت و معرفی این زیباییها میتواند در علاقه مند شدن افراد به دانش ریاضی کمک زیادی بکند و از ریاضیات درسی شیرین و جذاب بسازد.

یکی از این زیباییها دنیای فراکتالها ( برخالها) است. فراکتالها که در شاخه هندسه قرار دارند از جمله مباحثی در ریاضیات هستند که میتواند دنیای ریاضیات را با علوم دیگر پیوند دهد و بسیاری از زیباییهای جهان ما را به تصویر بکشد.

در این تاپیک میخوام شما را با این دنیای جذاب و زیبا آشنا کنم و اگر کسی مطلب یا تصویری از این موضوع در اختیار داره لطفا در این بخش قرار بده تا دوستان دیگر هم بتوانند از آنها بهره مند شوند.

[Only Math]

http://up.iran-ps.com/images/960Fractal1_09_09_87_AT.jpg


واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند.


همه شما حتی اگر از هندسه نیز چیزی ندانید بارها نام آن را شنیده اید. و حتماً می دانید که «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از ریاضیات است، همین سه عنوان در ریاضیات پایه گذار پیشرفت در تمام علوم محسوب می شوند.

شاید همین حس مسئولیتی که ریاضیات به تمام بخش های علوم دارد آن را بسیار جدی و در نظر بسیاری، علمی خشک و در عین حال سخت جلوه داده است. در این میان هندسه نقش بسیار مهمی را حتی در شاخه های ریاضی برعهده دارد.

هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، خود پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است. زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت چشمگیری برای آنها نمی توان درنظر گرفت. با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم.شاید اگر زمانی که حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شدو معلم درس ریاضیات از ما می خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم نمی توانستیم عددی را با چنین ویژگی بیابیم .سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر این (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود. بله این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.


عموم تحصیلکردگان با هندسه اقلیدسی آشنا هستند. زیرا دست کم در طول دوران تحصیل خود به اجبار هم که بوده در کتاب های درسی با این هندسه که اصول آن بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده اند. اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد. در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.


بالاخره در سال ۱۹۹۴، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال۱۸۹۷، عنوان شده بود، شکست و «مندلبرات(۱)» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی گویند. هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر تفسیر و شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف و قابلیت بی نظیر نشان داده است. با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان در زمینه بازگو کردن رفتار توابع و مجموعه های به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.


واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند. اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است. به چنین اشکالی نام «خود متشابه» نیز می دهند.


اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که تعجب آور است. با کمی دقت به اطراف خودتان، می توانید بسیاری از این اشکال را بیابید. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و... همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند.

این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.


این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.

[Only Math]

● تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.


شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.


بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.


برای مثال ، یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است.


اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.


ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.


حال میانه ۳ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده - که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.


چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.


در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.


اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.


اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.


با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد.


اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.


این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.


اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.


اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.


برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.


در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.



همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.


بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.


در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.


در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.


به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.


بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.


به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.


مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.


شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید.


تئوریسین فرکتالها


مندلبورت در کالج نیوتن کمبریج بنوت مندلبورت در سال ۱۹۲۴ در لهستان بدنیا آمد. پدر او دستفروش لباس های دست دوم بود و مادرش پزشکی می کرد. او مبانی ریاضیات را از دو عموی خود فرا گرفت و به همراه خانواده خود در سال ۱۹۳۶ به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجا با کمک یکی دیگر از عموهایش که پروفسور ریاضیات بود اقامت فرانسه را گرفتند.


این مهاجرت باعث شد تا وی بیشتر به ریاضیات علاقمند شود اما جنگ جهانی دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس این را داشت که نتواند به ریاضایات بپردازد. در باره او می گویند :


"جنگ، تنگدستی و نیاز به زندگی او را از مدرسه و تحصیل دور کرد و به همین دلیل بود که او را حد اکثر یک معلم دبیرستانی خودآموز خوب می دانستند."


عدم تحصیل دانشگاهی برای او یک مزیت بود چرا که او دیگر به پدیده های هستی به چشم یک ریاضیدان یا دانشمند آکادمیک نمی نگریست، این طرز آموزش همچنین به وی فرصت داد تا روشهای بسیار جالبی برای استفاده از هندسه در ریاضیات ابداع کند. نبوغ ذاتی او در هندسه باعث شد تا بتواند بسیاری از مسائل ریاضی را با روشهای هندسی حل کند.


او در سال ۱۹۴۴ فرصت آنرا یافت تا در امتحانات پلی تکنیک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و این سرآغاز تحصیلات جدی وی بود. پس از پایان تحصیلات به آمریکا رفت و در انستیتوی مطالعات پیشرفته پرینستون مشغول به فعالیت شد.


پس از ده سال دوباره به پاریس بازگشت و شروع به کار برای مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه نمود. طولی نکشید که ازدواج کرد و دوباره به آمریکا برگشت. و در آنجا با یک شرکت آغاز به همکاری نمود. وی همواره از این موضوع صحبت می کند که دراین شرکت چقدر آزاد است و می تواند روی هر پروژه ای کار کند و فرصتی که این شرکت در اختیار او قرار داده است هیچ دانشگاهی نمی تواند به او بدهد.


تئوری فرکتالها علاوه بر زیبایی خاصی که از دید ریاضی دارد یکی از روشهای بسیار کاربردی در تفسیر و مدلسازی طبیعت می باشد. آشنایی با فرکتالها به هنرمندان اجازه می دهد تا آثار هنری بسیار زیبایی را خلق کنند.

[Only Math]

http://exper.3drecursions.com/apo/its_not_art_1.jpg
در کاربرد محاوره ای ، یک فراکتال ، یک شکل هندسی چندپاره یا ناهموار است که می تواند به بخشهایی تقسیم شود که هر کدام از آنها (حداقل به طور تقریبی) یک کپی کاهش یافته از لحاظ اندازه، از کل شکل می باشد.این اصطلاح در سال 1975 توسط بنوا مندلبرات ابداع شده و از واژه لاتین fractus به معنی شکسته یا گسیخته مشتق شده است.

یک فراکتال به عنوان یک شکل هندسی ، به طور کلی خصوصیات زیر را داراست :




دارای ساختاری ظریف در مقیاسهای کوچک دلخواه است.
بی قاعده تر از آن است که با زبان سنتی هندسه اقلیدسی ، بسادگی توصیف شود.
خود مشابه است(حداقل به طور تقریبی یا تصادفی).
دارای بعد Hausdorff است که بزرگتر از بعد مکانی(توپولوژیک) آن است (گرچه این شرط توسط منحنی های پرکننده فضا مانند منحنی هیلبرت برآورده نمی شود).
دارای یک تعریف ساده و بازگشتی می باشد.
از آنجاییکه فراکتالها در تمام سطوح بزرگنمایی ، مشابه به نظر می رسند ، فرض می شود که بطور نامحدودی پیچیده اند(در اصطلاح غیر رسمی).اشیای طبیعی که تا حدودی به فراکتالها تقریب زده می شوند عبارتند از : ابرها ، رشته کوهها ، صاعقه ، خطوط ساحلی و برفدانه ها.با این حال ، تمام اشیای خودمشابه فراکتال نیستند ؛ برای مثال خط حقیقی (یک حط راست اقلیدسی) ظاهراً خودمشابه است اما سایر مشخصات فراکتال را دارا نیست.


ایجاد فراکتال

سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از :


فراکتالهای زمان-گریز : این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند(مانند صفحه مختلط).مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات ، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.
سیستم توابع تکراری : این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند.مجموعه کانتور ، فرش سیرپینسکی ، منحنی پینو ، برفدانه کخ ، مربع T ، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.
فراکتالهای تصادفی : به جای فرایندهای قطعی ، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.
طبقه بندی فراکتالها




فراکتالها می توانند برحسب خودتشابهیشان نیز طبقه بندی شوند.سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود :

خودتشابهی دقیق (کامل) : قویترین نوع خودتشابهی است؛فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود.فراکتالهای تعریف شده بوسیله سیستم توابع تکراری،اغلب خودتشابهی دقیق را نشان می دهند.
شبه خودتشابهی(نیمه خودتشابهی) : یک حالت ناکامل از خودتشابهی است؛فراکتال در مقیاسهای مختلف ،تقریباً (نه دقیقاً) یکسان ظاهر می شود.فراکتالهای تعریف شده بوسیله روابط بازگشتی،معمولاً شبه خودتشابهند ولی خودتشابه کامل نیستند.
خودتشابهی آماری : ضعیفترین نوع خودتشابهی است؛فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند.بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال،بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند. فراکتالهای تصادفی نمونه هایی از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند ؛ اما خودمشابه کامل یا شبه خودمشابه نیستند.
فراکتالها در طبیعت

فراکتالهای تقریبی، بسادگی در طبیعت یافت می شوند.این اشیا ساختاری خودمشابه در یک امتداد؛ اما در بازه مقیاس محدودی را نشان می دهند.مثالها عبارتند از: ابرها،برفدانه ها،کریستالها،رشته کوهها،صاعقه،شبکه رودخانه ها،گل کلم یا براکلی(نوعی کلم) وسیستم گردش خون (رگهای خونی) و رگهای ریوی.
درختان و سرخسها،فراکتالهای طبیعی هستند و می توانند بر روی یک کامپیوتر و با استفاده از یک الگوریتم بازگشتی مدلسازی شوند.این طبیعت بازگشتی در این مثالها مشهود است-یک شاخه از یک درخت یا ساقه یک سرخس،نسخه المثنایی از کل است؛هرچند نه یکسان اما در طبیعت همانند آن.


فراکتالها در هنر

الگوی فراکتالها در نقاشیهای هنرمند آمریکایی؛جکسون پولاک یافت شده است.در حالیکه به نظر می رسد نقاشیهای پولاک مرکب از قطرات نامنظم و آشفته است،تحلیل کامپیوتری،الگوی فراکتالها را در کار او یافته است.
فراکتالها در هنر و معماری آفریقایی نیز رایج است.خانه های مدور در دایره هایی از دایره ها ظاهر می شوند؛خانه های مستطیلی در مستطیلهایی از مستطیلها و مانند آنها.چنین الگوهای مقیاس بندی،در منسوجات،مجسمه سازی و پیکرتراشی آفریقایی نیز دیده می شود.


کاربردها



همانطوریکه تشریح شد،فراکتالهای تصادفی می توانند جهت توصیف بسیاری از اشیای نامنظم دنیای واقعی،بکار روند.سایر کاربردهای فراکتالها عبارتند از:

طبقه بندی اسلایدهای امراض بافتی در پزشکی
آنزیم-آنزیم شناسی
تولید موسیقی نو
تولید شکلهای مختلف هنر
فشرده سازی سیگنال و تصویر
زلزله شناسی
طراحی بازیهای ویدیویی و کامپیوتری
آنتنهای فراکتال
تی شرتهای نئوهیپیها و سایر مدها
تولید الگوهای استتار
ساعت آفتابی دیجیتال
و ...

[Only Math]

نمونه ای از فراکتالها:



http://fc03.deviantart.com/fs13/f/2007/005/a/e/group_id_010507_by_Ultra_Fractal.jpg


(معروف به فراکتال دم اسب آبی)



http://www.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal-09-09-87-AT.jpg
(معروف به فراکتال حلزونی)



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Cauliflower_Fractal_AVM.JPG/200px-Cauliflower_Fractal_AVM.JPG
(معروف به فراکتال گل کلم)

[Only Math]

http://www.fractal.art.pl/big/fractal45-anthara.jpg




http://farm4.static.flickr.com/3215/3140438365_87cc3b51dc_o.jpg





http://1.bp.blogspot.com/_XB8tCVCfNrA/SwEl67sW9mI/AAAAAAAAAcY/a2atSlCiz7A/s1600/fractal-art-alfred-laing-spiral-fantasy.jpg

[Only Math]

فراکتال به طرح‌های خودتکرارشونده‌ای گفته می‌شود که هرگوشه‌ای از آن را هر قدر بزرگ کنیم، باز به همان الگوی کلی خواهیم رسید. تصویرهای زیر به الگوهای طبیعی فراکتالی در حرکت جریان الکتریکی اختصاص دارد.
عکاس خوش‌ذوقی به نام مایک واکر برای تهیه این فراکتال‌های طبیعی، از عکس‌برداری پرسرعت و الگوی حرکت جریان الکتیریکی در مواد اکرلیک استفاده کرده است.




http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/purple-star_9.jpg



http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/tree_5.jpg



http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/rainbow_11.jpg


http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/blue-spiral_8.jpg

[Only Math]

http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/rings_16.jpg


http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/triangle_14.jpg


http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/yin-yang_4.jpg

[Only Math]

http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/blue-circles_7.jpg



http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/butterfly-6.jpg


http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/blue-lightning_1.jpg

[Only Math]

http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/ball-hammer_13.jpg


http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/crazed_12.jpg


http://www.khabaronline.ir/images/2010/1/ball-14.jpg

[Only Math]

http://www.abstractdigitalartgallery.com/artist-live2b-abstract-digital-art-MAGIC_ORB.jpg



http://delzadeh.files.wordpress.com/2008/01/e3m1clufg-q5aiuqboe8afu0nc.jpg
http://www.flatrock.org.nz/topics/science/assets/fractal.jpg

[Only Math]

در کنار تمامی این فراکتالهای پیچیده و جذاب انواع دیگری از فراکتالها وجود دارند که به راحتی میتوان انها را ساخت. به نمونه های زیر توجه کنید:


یکی از مشهورترین فراکتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام «‌فون‌کخ» در سال 1904 ابداع شد. در این فراکتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر می‌گیریم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم؛ سپس به جای پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جایگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراکتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبیه است.


نمونه 1:

http://www.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal0-09-09-87-AT.jpg


روش ساخت فراکتال« دانه برفی کخ» که کوچک ترین جزء آن مثلث متساوی‌الاضلاع است

http://www.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal3-09-09-87-AT.jpg


نمونه بزرگ شده فراکتال دانه برفی کخ



نمونه 2 :



http://img.tebyan.net/big/1386/10/20071225104002302_05.gif



چند نمونه دیگه :
http://www.harmonytalk.com/wp-content/uploads/2010/06/fractal1_1000.gif

[Only Math]

اینم دو فراکتال ساده دیگه که خودمون ساختیم :

http://uc-njavan.ir/images/q74ej2toi529h0l8y40.jpg

http://uc-njavan.ir/images/b3al45zs8dvqd0dcedep.jpg

[sarina_]

http://www.abstractdigitalartgallery.com/psion005-abstract-digital-art-fractal-Geo_matrix_II.jpg

http://www.abstractdigitalartgallery.com/kazugfx-abstract-digital-art-fractal-Lifeforce.jpg

http://www.fractal.art.pl/big/fractal45-anthara.jpg

http://delzadeh.files.wordpress.com/2008/01/e3m1clufg-q5aiuqboe8afu0nc.jpg

http://www.abstractdigitalartgallery.com/psion005-abstract-digital-art-fractal-The_Treasure_Within.jpg

http://www.bergoiata.org/fe/fractal3/Fractal%20-%20Ascen.jpg

http://saatha.persiangig.com/feraktal/Apophysis.jpg

http://farm4.static.flickr.com/3240/3140494477_cb98476278_o.jpg

[sarina_]

http://aftab.cc/shop/img/p/113-161-large.jpg

http://www.khabaronline.ir/images/2009/12/mandelbulb_5a.jpg

http://farm4.static.flickr.com/3087/3141265708_489bd93731_o.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Flocke.PNG/300px-Flocke.PNG

http://sites.google.com/site/hoomanyar/Img214004734.jpg

[ستاره ی قطبی]

http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro30.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro31.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro32.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro33.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro34.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro35.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro36.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro37.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro38.gif
Featured on the cover of the HPC (High Performance Computing) magazine, 3 August 2001.

[ستاره ی قطبی]

http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro40.gif

http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro41.gif

http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro42.gif

http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro43.gif
Hopalong or "The Chaos Game
"

http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro46.gif
http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/fractals/fracintro/fracintro45.gif
This gives a series of (x,y) points all which lie on the result of an infinite IFS. Although it still takes an infinite number of terms in this series to form the result the appearance can be readily appreciated after a modest number of terms (10000 say).

[؛ شادی ؛]

http://www.coolmath.com/fractals/images/fractal3.gif

«فراکتال‌ها» (شکل‌های تکرار شده)* همه جا هستند!


در بین گیاهان، میوه‌ها، کوه‌ها، ساختمان‌ها و... می‌توان نمونه‌هایی از آنها را یافت. به عکس‌های زیر نگاه کنید. به سختی می‌توان باور کرد این تصویرهای زیبا، که توسط برنامه‌های پیشرفته کامپیوتری کشیده شده‌اند، یکی از مبحث‌های مهم و جالب در علم ریاضیات باشد. البته شاید در نگاه اول نتوانید متوجه ویژگی مشترک آنها شوید و به ارتباطشان با دنیای واقعی پی‌ببرید، اما اگر با

تعریف آنها آشنا شوید، چه بسا خودتان هم بتوانید مدل تازه‌ای از فراکتال‌ها ارائه کنید!

«فراکتال» به شکل هندسی‌ای گفته می‌شود که آرایشی تکرارشونده دارد؛ یعنی اگر آن را چند تکه کنیم، هر قسمت تکراری از قسمت دیگر است. به بیان دیگر هر جزء آن نماینده‌ای از کل است.




http://images.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal-09-09-87-AT.jpg
نمونه‌هایی از فراکتال‌هایی که توسط کامپیوتر کشیده شده‌اند و پیدا کردن کوچک ترین جزء و روش تکرار آنها، کار راحتی نیست



http://images.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal1-09-09-87-AT.jpg



واژه فراکتال از کلمه یونانی به معنی «تکه‌تکه» یا «شکسته شده» گرفته شده و اولین بار در سال 1975 میلادی توسط دانشمندی به نام «مندلبورت» به کار برده شده است. اهمیت فراکتال‌ها در علم ریاضی به این خاطر است که بسیاری از وضعیت‌هایی که هندسه اقلیدسی از توضیح آنها ناتوان است را می‌توان به کمک آنها توجیه کرد. همین دلیل باعث گستردگی و کاربرد فراوان فراکتال‌ها در سایر علوم مثل فیزیک، شیمی، نجوم، زمین‌شناسی و حتی هنر و معماری شده است!


برای درک بهتر موضوع بد نیست چند فراکتال ساده و معروف را بررسی کنیم و با چگونگی ساخت آنها آشنا شویم.


یکی از مشهورترین فراکتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام «‌فون‌کخ» در سال 1904 ابداع شد. در این فراکتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر می‌گیریم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم؛ سپس به جای پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جایگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراکتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبیه است.




http://images.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal0-09-09-87-AT.jpg
روش ساخت فراکتال« دانه برفی کخ» که کوچک ترین جزء آن مثلث متساوی‌الاضلاع است




http://images.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal3-09-09-87-AT.jpg

نمونه بزرگ شده فراکتال دانه برفی کخ




فراکتال دیگر به «اژدهای هرتر‌های‌وی» معروف است و بر خلاف اسم عجیبش روش ساخت ساده‌ای دارد! این شکل از یک تکه خط راست و تکرار و چسباندن آنها با زاویه
90 درجه به یکدیگر تشکیل شده است.




http://images.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal00-09-09-87-AT.jpg


جدول ساخت اژدهای «هرترهای وی »، به نحوه تکرار و بزرگ شدن شکل دقت کنید


اگر به جدول چگونگی ساخت این فراکتال دقت کنید، می‌بینید که هر خانه از تکرار خانه قبلی پدید آمده است. البته باید گفت که در بسیاری از فراکتال‌ها روند بزرگ‌شدن، از دستورهای ریاضی ویژه‌ای پیروی می‌کند که هر یک در طبقه‌بندی جداگانه‌ای قرار دارند.

یکی از ویژگی‌های مهم و در عین حال پیچیده فراکتال‌ها این است که بُعد کسری یا اعشاری دارند. همان‌طور که می‌دانید نقطه بُعد ندارد و خط یک بُعد و صفحه دو بُعد و حجم‌ها سه بُعد دارند.


اما در هندسه فراکتال‌ها صحبت از شکل‌هایی می‌شود که بُعدهای کسری دارند. مثلاَ اگر صفحه‌ای از کاغذ (با ضخامت نزدیک به صفر) را مچاله کنیم، حجمی به دست می‌آید که بُعد اعشاری دارد.




http://images.hamshahrionline.ir/images/upload/news/pose/8709/Fractal2-09-09-87-AT.jpg

نوعی کلم بروکلی که نمونه‌ای از فراکتال طبیعی تلقی می‌شود


همان‌طور که در ابتدا گفته شد، نمونه‌های زیبایی از فراکتال‌ها در طبیعت وجود دارد که می‌توانید به سراغشان بروید و نحوه ساخت آنها را از نزدیک بررسی کنید. کلم بروکلی، برگ سرخس، ریشه درخت‌ها، دانه‌های برف و... از این قبیل هستند.



* معادل فارسی فراکتال، «برخال» است که تکرار شوندگی یکی از ویژگی‌های آن است.

http://hamshahrionline.ir/details/69796

[؛ شادی ؛]

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی مستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.





http://www.coolmath.com/fractals/images/fractal6.gif




با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.



http://www.coolmath.com/fractals/images/fractal7.gif




جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.






http://www.fractal.art.pl/big/fractal45-anthara.jpg


در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.
میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هاییحاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.


وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب صص ۱۶۶-

[؛ شادی ؛]

همه جا فراکتال!
هندسه فراکتالي ديدگاه شما به طبيعت و محيط پيرامونتان را به طور کلي تغيير خواهد داد. گاليله مي‌گويد خداوند جهان را به زبان رياضي آفريده است. مندبرات در قرن جديد، اين مفهوم را به خوبي به ما نشان داده است.
اشكال فراكتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...
همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.
هندسه فراکتالي او، همه ديدگاه ما نسبت به ابرها، جنگلها، کهکشانها، برگ‌ها، پرها، گلها، صخره‌ها، کوهها، جريان آب، فرش‌ها و آجرها را تغيير مي‌دهد و شما متوجه مي‌شويد که اين پديده‌ها متفاوت هستند. هندسه مندبرات، به ما کمک خواهد کرد که با ديدگاه علمي جديدي به اين پديده‌ها نگاه کنيم و لبه ابرها، مرز درختان جنگل و افق، حرکات پر پرنده وقتي در هوا پواز مي‌کند را با نظم علمي جديدي ببينيم. ما در جهاني زندگي مي‌کنيم که قوانين حاکم بر پديده‌هايش، منشأ وحدت خاصي دارند که موجب مي‌شود اشکال کوچک از خره‌ها گرفته تا اشکال بزرگي مانند کهکشانها را با يک هندسه توضيح دهيم . طبيعت ما کاملا فراکتالي است.

چکیده

مفهوم فراکتال یکی از جذابترین مفاهیم هندسه امروز است.

فراکتال ها شکل هایی دارند که از جزییات مشابهی در اندازه های مختلف بر خوردارند. این بدان معناست که وقتی شما به قطعه کوچکی با شکل فراکتال نگاه میکنید، نسخه های کوچکی از همان شکل بزرگ فراکتال را ملاحظه میکنید انواع بسیار مختلفی از فراکتال ها وجود دارند و در قلب فراکتالها ریاضیات وجود دارد .


این بدان معنا نیست که انسان باید ریاضیات را برای ایجاد فراکتال ها درک کند . اگر چه هنر فراکتال ها از ریاضیات سر چشمه گرفته ولی در اسارت آن نمی باشد؛ ریاضیات و معادلات ابزار هایی در دستان هنرمندان هستند، ابزاری برای بیان شخصیت و احساس خود. تعدادی از کارهایی که ما انجام می دهیم ممکن است ارزش نا معلومی در مبحث ریاضیات داشته باشد.


خیلی از مردم جذب شکلهای زیبای عجیبی می شوند که به عنوان فراکتال شناخته شده اند. با گسترش ماورای درک معمولی از ریاضی به عنوان مجموعه ای از فرمولها ، هندسه ی فراکتالی هنر را با ریاضی می آمیزد که نشان دهند که معادلات بیشتر از مجموعه ای از اعداد هستند. با هندسه فراکتالی می توانیم بیشتر مدلهایی را که در طبیعت می بینیم به تصویر بکشیم مثل زیبا ترین خطوط ساحلی. فراکتال ها برای نشان دادن فرسایش خاک و آنالیز کردن الگوهای زلزله شناسی استفاده می شوند.

اما بیشتر از کاربرد های احتمالی برای توصیف الگوهای طبیعی ، به وسیله ی زیبایی تصویری فراکتالها می توانند به دانش آموزان کمک کنند که تفکر دانش آموزان که ریاضیات خشک و غیر قابل دسترسی ست عوض کند ممکن است کشف ریاضی در کلاس را تشویق کند .
تصاویر زیبایی طبیعی فراکتال ها در دانش آموزان انگیزه مطالعه سیستم های ارتباطی ، برنامه های شمارشی، پیشرفت الگو ، ریاضی انتگرالی، ایده بی نهایت و موضوعات دیگردر ریاضی و برنامه های درس علمی را ایجاد می کند .

البته کاربرد های دیگری هم برای فراکتال وجود دارد مثل معرفی شباهت ها ، فشردگی ،بی نهایتی ، تقسیم و کسر فراکتال ها ، توازن و بزرگنمایی و کشف الگو ها.



کلمات کلیدی:
Fractal) fractus یا fractura) KochFractal fractional dimension

فراکتال چیست؟
فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از " کل " تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند . این شکل ها اولاً سرتاسر نامنظم اند ، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.



با ملاحظه اشکال موجود د ر طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.


مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.
جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.
وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.
در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.
میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.
( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب )

[؛ شادی ؛]

هندسه ی اقلیدسی –

احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .


این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
فراکتوس به معنی فرکتال از کلمه ی لاتین سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است .

فراکتال نموداریست از یک کاربرد مختلف.این یک کاربرد فراکتالی ست:

f (n) =f (n)*f (n) +c یا f (n)

2+c



این معادله به عنوان قانون که کاربرد متعدد دارد مشهور است. این معادله مخصوص ،فراکتالی را که به عنوان جولین معروف است شکل می دهد.در این معادله "c" برابر است با یک شماره پیچیده که می تواند هر ارزشی داشته باشدو نتیجه نیز یک جولین دیگر خواهد بود."n" نیز به عنوان متغیر به کار می رود.



متغیر ها مخصوص هستند چرا که با c یعنی یک شماره پیچیده یا فرضی در ارتباط هستند. در موقعی که متغیر ها (x,y) هستند در فراکتال هندسی، این شماره به صورت x+iy نشان داده می شود.به عبارت دیگرx ثابت و y عدد متغیر و فرضی ست. می دانید که در فراکتال هندسی ، محور x محور واقعی و محور y محور فرضی می باشد. حالا بر می گردیم به کاربرد فراکتال و متغیر های جدید یعنی (x+iy) را به جای nبه کار ببریم.


حتما می پرسید چگونه این کاربرد آن نمودار های جالب را می سازند.بسیار خوب به جای اینکه نتیجه کاربرد یک خط باشد فقط یک نقطه می شود. که اگر به تعریف نقطه نگاه کنید می تواند بسیار کوچک باشد و این امر نشان می دهد که چگونه می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کنیم و یک فراکتال جدید کلی را به دست آوریم.این نقطه روی n ، یعنی متغیر ها وجود دارد.البته فراکتال ها رنگی هستند.


این رنگها چگونه انتخاب می شوند؟ این نیز مثل همه چیز نسبتاً ساده است. اول نیاز به نقطهای برای رنگ کردن دارید. مثلاً به جای نقطه c نقطه (2+li) را انتخاب می کنیم.به خاطر دارید که c می تواند هر عدد پیچیده ای باشد.

حالا آن را وارد معادله می کنیم:


f (n)=f(2 + li)=
(2 + li)(2 + li)+(l + li)=
2*2 + 2i + 2i + i

2 + l + li =
5 + 5i + -l=………. Remember i^2 = -l
4 + 5i



اینها متغیر های جدید ما هستند. به یاد داشته باشید که اگر یکسری متغیرها را وارد یک کاربرد بکنید نتیجه یک سری از متغیرها می شود. 4 + 5i سری جدید متغیر هاست . هنوز کارمان تمام نشده است. کاری که بالا انجام دادیم نشان دهنده یک تکرار است. ما ادامه می دهیم که هر سری از متغیر اه را در این کاربرد قرار دهیم تا اینکه بتوانیم ثابت کنیم که این نقطه باعث تشکیل نمودار می شود.رنگ به این طریق انتخاب می شود. اگر یک نقطه بعد از یک تکرار تشکیل شود یک رنگ می گیرد ، هر نقطه بعدی که بعد ار یک تکرار شکل تشکیل میدهد همان رنگ را میگیرد.


همه نقاطی که بعد از دوتکرار شکل می گیرد رنگ جدیدی می گیرند. هر نقطه ای که حذف می شود مجبور هستیم که دوباره همه محاسبات را انجام دهیم.اما وقتی که به محدوده پیچیده مندل برات دقیق می شویم می بینیم که c و z جنگ قدرتمندی را انجام داده اند که ببینند آیا z فرار می کند یا نه. در این جنگ مرتباً موضع عوض می شود و تا لبه هر دو پیش می روند، که فقط به طرف صفر بیفتد. این جنگی ست که در تغییر یک میلیونیم یک جز می تواند باعث تفاوت بین همیشه ماندن و به دام افتادن و یا پرتاب شدن به طرف بی نهایت باشد.


ماندل برات و جولیا فراکتال هستند .معنی آن این است که محدوده بین مکان سیاه که ماندل برات است و محل احاطه کننده آن که ماندل برات نیست یک خط ساده یا یک منحنی (یک بعدی) نیست.اما درون یک دایره یا مربع نیز پر نمی شود (دوبعدی). آن قدر پیچیده و دارای جزییات است که بعد فراکتالی خواهد داشت.


وقتیکه بزرگی یک فراکتال را دو برابر می کنید بلندی منحنی و بنا براین محل پوشیده شده فقط دو برابر نمی شود. تمام قسمت های قابل رویت قبلی از منحنی در درازا دو برابر می شود اما نقطه های برجسته جدید منحنی ها قابل رویت می شوند و به درازا می افزایند.


سری ماندل برات ثابت شده که دارای دو بعد فراکتالی می باشد. یعنی اینکه هر بار که بزرگی را دو برابر می کنید در ازای در ازای محدوده چهار برابر می شود. همچنین سری مندل برات می تواند به پیچیدگی یک غراکتال شود. در ازای محدوده سری مندل برات بی نهایت است. می تواند هر طولی که شما بخواهید داشته باشد، اگر آن را با یک قطعه اندازه گیری که به اندازه کافی کوچک باشد اندازه بگیرید.


واضح است که خط بیرونی دور ماندل برات گره کاملی را دور ماندل برات شکل می دهد . این خط که نشان دهنده دو متغیر در آن واحد است، دور لبه های بیرونی به آرامی می گردد و بعد از عقب به خودش وصل می شود.

هیچ نقطه دیگری نیست که شمارش متغیر آن دو باشد به جز روی این خط و همه این نقاط روی این خط به وسیله نقاط دیگری که شمارش آن دو است به هم متصل می شوند. این مورد کمتر واصح است اما برای خطوط دیگر نیز به همین نسبت درست است.اگر روی خطی که ده متغیر را نشان می دهد متمرکز شوید ، می توانید همه راه را روی سری ماندل برات طی کنید و برگردید به جایی که شروع کرده بودید. می توانید این کار را روی خطی که نشان دهنده صد یا هزار متغیر باشد انجام دهید. البته زمان زیادی طول می کشد.



«جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذار پيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.
شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات به تمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و در عين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي در شاخه هاي رياضي برعهده دارد.

هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكال لقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگر در رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشد جاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.

شايد اگر زماني كه حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درس رياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هر ضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگي بيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كه هر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شده اضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علوم بود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.

عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسي آشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده در كتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شده اند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت مي پردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانه اينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.

بالاخره در سال 1994، طلسم يكي از تئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و «مندلبرات(1)» رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي شد كه به آن هندسه بدون اندازه يا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضيات است كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف و قابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشني پيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعه هاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد. در اين هندسه اشكالي مورد بررسي قرار مي گيرند كه بسيار نامنظم به نظر مي رسند. اما اگر با دقت به شكل نگاه كنيم متوجه مي شويم كه تكه هاي كوچك آن كم و بيش شبيه به كل شكل هستند به عبارتي جزء در اين اشكال، نماينده اي از كل است. به چنين اشكالي نام «خود متشابه» نيز مي دهند.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...
همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند. اين موجودات به عنوان اصلي ترين بازيگران هندسه منتج از نظريه آشوب شناخته مي شوند.
اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فردي دارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اما ويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود ما استفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

اگر هنوز از اين موجودات ساده و در عين حال پيچيده هيجان زده نشده ايد، اين نکته را هم بشنويد.اين اجسام نه يک بعدي اند، نه دو بعدي و نه سه بعدي.

. مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.
شما نيز با دقت بيشتر به اطرافتان و يافتن ارتباط هاي ملموس بين رياضي و زندگي مي توانيد از سختي و به اصطلاح خشك بودن رياضي بكاهيد