Only Math
13th November 2010, 09:41 AM
ثابتی كه گاهی اوقات زیر آبی مي رود
در سال 1949 يك ریاضی دان هندی به نام «كاپركار» ویژگی جالبی را در اعداد کشف و در مقاله ای در همان سال منتشر كرد. او کشف خود را این طور توضیح داده بود : يك عدد چند رقمی انتخاب كنيد (مثلا 8952)،ارقام آن را يك بار به صورت نزولی مرتب كنيد (9852) و يك بار هم به صورت صعودی (2589)، تا« بزرگترین » و «كوچكترين» عدد با همان ارقام حاصل آيد. تفاضل این دو عدد را بدست آورید(7263) و با این عدد نیز همان كاري را بكنيد كه با عدد انتخابی خود كرديد. يعني ارقام آن را به صورت نزولی و بعد به صورت صعودی مرتب كنيد (7632 و 2376) و تفاضل آنها را بدست آورید و این كار را چند مرتبه دیگر تکرار هم كنيد. با كمال تعجب خواهید دید كه همیشه به يك عدد ثابت خواهید رسید. اگر رقم انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد، عدد ثابتی كه همواره در عاقبت به آن مي رسید 6174 خواهد بود. این عدد را «ثابت كاپركار براي چهار رقمی ها» مي گویند. این آزمایش را با يك عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید كه براي هر عدد n رقمی يك «ثابت كاپركار» ویژه وجود دارد كه تغيير ناپذیر است. از آن تاریخ تا کنون، و به ویژه در سالهای اخیر و با استفاده از رایانه، تحقیقات زيادي روي این یافته شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا معلوم شده كه دقیقاً 63 عدد سه رقمی هستند (مثل 212، 787و غیره)كه این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی مي شوند، در حالي كه سایر اعداد سه رقمی ظرف حداکثر 6 چرخه به عدد 495 (ثابت كاپركار براي سه رقمی ها) میرسند. همچنین معلوم شده است كه دقیقاً 77 عدد چهار رقمی هستند(مثل 4544 و 5556 و غیره) كه این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی می شوند درحالی كه بقیه اعداد چهار رقمی ظرف حداکثر هشت چرخه به عدد 6174 (ثابت كاپركار براي چهار رقمی ها) میرسند. به راستی چرا این اتفاقات روي میدهند و چگونه این همه نظم و آن همه بي نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بي نظمی ها خود نظمی نهفته نیست كه هنوز بر ما پوشیده است؟ شگفتی ها و زیبايی های ریاضیات پایانی ندارند. تحقیقات رياضيدانان و جستجو گران دائما پرده از روي آنها بر مي دارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار مي كند، رازهايي كه همواره در طی قرون براي بشر جذاب و تحسین برانگیز بوده اند.
منبع: مجلۀ دانشمند
در سال 1949 يك ریاضی دان هندی به نام «كاپركار» ویژگی جالبی را در اعداد کشف و در مقاله ای در همان سال منتشر كرد. او کشف خود را این طور توضیح داده بود : يك عدد چند رقمی انتخاب كنيد (مثلا 8952)،ارقام آن را يك بار به صورت نزولی مرتب كنيد (9852) و يك بار هم به صورت صعودی (2589)، تا« بزرگترین » و «كوچكترين» عدد با همان ارقام حاصل آيد. تفاضل این دو عدد را بدست آورید(7263) و با این عدد نیز همان كاري را بكنيد كه با عدد انتخابی خود كرديد. يعني ارقام آن را به صورت نزولی و بعد به صورت صعودی مرتب كنيد (7632 و 2376) و تفاضل آنها را بدست آورید و این كار را چند مرتبه دیگر تکرار هم كنيد. با كمال تعجب خواهید دید كه همیشه به يك عدد ثابت خواهید رسید. اگر رقم انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد، عدد ثابتی كه همواره در عاقبت به آن مي رسید 6174 خواهد بود. این عدد را «ثابت كاپركار براي چهار رقمی ها» مي گویند. این آزمایش را با يك عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید كه براي هر عدد n رقمی يك «ثابت كاپركار» ویژه وجود دارد كه تغيير ناپذیر است. از آن تاریخ تا کنون، و به ویژه در سالهای اخیر و با استفاده از رایانه، تحقیقات زيادي روي این یافته شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا معلوم شده كه دقیقاً 63 عدد سه رقمی هستند (مثل 212، 787و غیره)كه این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی مي شوند، در حالي كه سایر اعداد سه رقمی ظرف حداکثر 6 چرخه به عدد 495 (ثابت كاپركار براي سه رقمی ها) میرسند. همچنین معلوم شده است كه دقیقاً 77 عدد چهار رقمی هستند(مثل 4544 و 5556 و غیره) كه این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی می شوند درحالی كه بقیه اعداد چهار رقمی ظرف حداکثر هشت چرخه به عدد 6174 (ثابت كاپركار براي چهار رقمی ها) میرسند. به راستی چرا این اتفاقات روي میدهند و چگونه این همه نظم و آن همه بي نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بي نظمی ها خود نظمی نهفته نیست كه هنوز بر ما پوشیده است؟ شگفتی ها و زیبايی های ریاضیات پایانی ندارند. تحقیقات رياضيدانان و جستجو گران دائما پرده از روي آنها بر مي دارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار مي كند، رازهايي كه همواره در طی قرون براي بشر جذاب و تحسین برانگیز بوده اند.
منبع: مجلۀ دانشمند