mathematics
23rd September 2010, 07:53 PM
۱- بشر اولیه مجبور بود برای تامین غذای روزمره به شکار و جمع آوری میوه ی درختان بپردازد.با گذشت زمان انسان توانست طبیعت را تا حدی مهار کند و به کشاورزی و دامداری مشغول شود.در واقع از مرحله جمع آوری غذا به مرحله تولید غذا رسید.این مسئله نیاز به شمارش را ایجاد کرد.انسان اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که چه تعداد دام دارد و مثلا محصول مزرعه اش شامل چند میوه است.این مسئله رفته رفته باعث تعریف اعداد طبیعی {۱و۲و۳و...} شد.تا این مرحله اعداد طبیعی تمام نیازهای بشر اولیه را جوابگو بود.
۲- پیشرفت تمدن و بوجود آمدن روستاها باعث شد تا مسئله ی داد و ستد بین مردم مطرح شود.اگر شما ده راس دام داشته باشید و دیگری ۷ راس دام و شما ۴ راس دام خود را به او بفروشید شما چند راس دام خواهید داشت و او چند راس؟ اینجا طبیعتا مسئله جمع و تفریق را مطرح میشد.مسئله ی جمع و تفریق رفته رفته پای صفر و اعداد منفی را به دنیای اعداد باز کرد و اعداد صحیح {...و-۲و-۱و۰و۱و۲و...} تعریف شدند.ظاهراً اعداد صحیح دیگر همه نیازهای محاسباتی بشر را پاسخ میگفت!!!
۳- اگر بخواهیم عدد ۱۰ را ۵ بار با هم جمع کنیم باید ۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ را محاسبه کنیم.برای بشر نخستین محاسبه چنین حجمی از محاسبات٬کار دشواری بود چرا که آنها محاسباتشان را به کمک چیزهایی مثل تکه های سنگ یا ایجاد برش در تکه ای چوب(چوب خط) انجام میدادند.اینجا بود که نمایش ۱۰×۵ بجای۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ مطرح شد و عمل ضرب عینیت یافت.همچنین بحث تقسیم محصول یا غنایم بین افراد یک روستا یا قبیله باعث ایجاد عمل تقسیم شد.بشر اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که برای تقسیم ۲۰ نان بطور مساوی بین ۵ نفر به هر نفر چند نان میرسید.
۴- حال اگر بخواهید ۲۰ نان را بین ۷ نفر بطور مساوی تقسیم کنید چه؟!!! یا فرض کنید بخواهید طول پارچه ای را در حالی حساب کنید که واحد اندازه گیریتان چوبی با طول مشخص است اما طول پارچه نه به اندازه یک طول چوب است نه به اندازه دو طول چوب!!! اینجا کم کم سر و کله ی اعداد گویا {p/q بطوریکه p,q اعداد طبیعی باشند} پیدا شد. وضعیت اعداد گویا کمی نامشخص است یعنی به فرض شما نمیتوانید سریع تشخیص دهید که عدد ۶/۹(نه ششم) بزرگ تر است یا عدد ۵/۸(هشت پنجم) اینجا بود که نماد گذاری جدید اعشاری بوجود آمد. نمایش نه ششم بصورت ۱.۵ و هشت پنجم بصورت ۱.۶ کاملا وضعیت را مشخص میکرد.
۵- حال اگر بخواهید عدد یک سوم را بصورت اعشاری نشان دهید چه اتفاقی می افتد؟یک تقسیم ساده نشان میدهد که عدد اعشاری ۱.۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳ است و این عدد ۳ بینهایت بار تکرار میشود!!! در مورد بیست و دو هفتم مسئله جالبتر است!!! نمایش اعشاری این عدد بصورت ۳.۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵ است و این بار ۱۴۲۸۵۷ بینهایت بار تکرار میشود!!! این گونه اعداد گویا را که دارای نمایش اعشاری بی پایان اما تکراری هستند نامختوم تکراری می نامند و اعداد گویایی که نمایش اعشاریشان با پایان است را مختوم می نامند. به نظر میرسید که بجز اعداد گویا دیگر عدد دیگری وجود نداشته باشد و بشر بتواند تمام محاسباتش را با کمک این اعداد انجام دهد.
۶- سه ضربدر سه برابر ۹ است و شش ضربدر شش برابر ۳۶.اینجا رادیکال تعریف میشود.۳=۹√ و ۶=۳۶√ حال ۲√ برابر چند است؟در واقع فیثاغورث اثبات کرده بود که اگر a و b دو ضلع مثلث قائم الزاویه ای باشند و c وتر آن باشد آنگاه a×a + b×b=c×c حال اگر a و b هر دو برابر یک باشند باید عددی یافت که ضربدر خودش برابر ۲ شود.این مسئله را بطریق دیگری هم میتوان بیان کرد.طول قطر مربعی به ضلع یک را بیابید.مسئله دقیقا هم ارز با محاسه طول وتر مثلث قائم الزاویه ای با دو ضلع یک است!!! محاسبات فیثاغورثیان(شاگردان و پیروان فیثاغورت)نشان داد که نمایش اعشاری ۱.۴۱۴۲۱۳۵۶۲=۲√ نه مختوم است و نه نامختوم تکراری!!! اینجا بود که اعداد گنگ مطرح شدند.بشر بعدها فهمید که محیط دایره ای به قطر ۱ هم عددی گنگ است.این عدد گنگ را عدد پی∏ نامیدند که برابر است با ۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۴ به مجموعه اعداد گویا و گنگ اعداد صحیح میگویند.
۷- به نظر میرسید با کشف اعداد گنگ دیگر عدد دیگری در طبیعت وجود نداشته باشد اما...!!! اگر عدد 1 جواب معادله x-۱=0 ٬عدد 1- جواب معادله x+۱=0 ٬عدد یک دوم جواب معادله 2x-۱=۰ و عدد ۲√ جواب معادله ۰=x.x-۲ باشد٬جواب معادله x.x+۱=۰ برابر چیست؟ ۱-√؟اما رادیکال که برای اعداد منفی تعریف نشده است!!! تعریف نشده؟!!! مگر تعریف را خودمان بوجود نیاورده ایم؟خب حال تعریف جدیدی ارائه میکنیم!!! عدد مختلط i را بگونه ای تعریف میکنیم که i×i=-۱ پس جواب معادله x.x+۱=۰ برابر i است!!! شکل کلی اعداد مختلط بصورت a+bi است و a را بخش حقیقی و b را بخش موهومی مینامند.برخلاف اعداد حقیقی که روی یک خط نمایش داده میشوند اعداد مختلط را روی صفحه نمایش میدهند.یک محور برای بخش حقیقی و یک محور برای بخش موهومی.با تعریف اعداد مختلط همه معادلات چند جمله ای دارای جواب هستند اما باز هم یک سوال مطرح میشود.آیا هنوز هم اعدادی کشف نشده وجود دارند؟ فقط خدا میداند!!!
۲- پیشرفت تمدن و بوجود آمدن روستاها باعث شد تا مسئله ی داد و ستد بین مردم مطرح شود.اگر شما ده راس دام داشته باشید و دیگری ۷ راس دام و شما ۴ راس دام خود را به او بفروشید شما چند راس دام خواهید داشت و او چند راس؟ اینجا طبیعتا مسئله جمع و تفریق را مطرح میشد.مسئله ی جمع و تفریق رفته رفته پای صفر و اعداد منفی را به دنیای اعداد باز کرد و اعداد صحیح {...و-۲و-۱و۰و۱و۲و...} تعریف شدند.ظاهراً اعداد صحیح دیگر همه نیازهای محاسباتی بشر را پاسخ میگفت!!!
۳- اگر بخواهیم عدد ۱۰ را ۵ بار با هم جمع کنیم باید ۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ را محاسبه کنیم.برای بشر نخستین محاسبه چنین حجمی از محاسبات٬کار دشواری بود چرا که آنها محاسباتشان را به کمک چیزهایی مثل تکه های سنگ یا ایجاد برش در تکه ای چوب(چوب خط) انجام میدادند.اینجا بود که نمایش ۱۰×۵ بجای۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ مطرح شد و عمل ضرب عینیت یافت.همچنین بحث تقسیم محصول یا غنایم بین افراد یک روستا یا قبیله باعث ایجاد عمل تقسیم شد.بشر اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که برای تقسیم ۲۰ نان بطور مساوی بین ۵ نفر به هر نفر چند نان میرسید.
۴- حال اگر بخواهید ۲۰ نان را بین ۷ نفر بطور مساوی تقسیم کنید چه؟!!! یا فرض کنید بخواهید طول پارچه ای را در حالی حساب کنید که واحد اندازه گیریتان چوبی با طول مشخص است اما طول پارچه نه به اندازه یک طول چوب است نه به اندازه دو طول چوب!!! اینجا کم کم سر و کله ی اعداد گویا {p/q بطوریکه p,q اعداد طبیعی باشند} پیدا شد. وضعیت اعداد گویا کمی نامشخص است یعنی به فرض شما نمیتوانید سریع تشخیص دهید که عدد ۶/۹(نه ششم) بزرگ تر است یا عدد ۵/۸(هشت پنجم) اینجا بود که نماد گذاری جدید اعشاری بوجود آمد. نمایش نه ششم بصورت ۱.۵ و هشت پنجم بصورت ۱.۶ کاملا وضعیت را مشخص میکرد.
۵- حال اگر بخواهید عدد یک سوم را بصورت اعشاری نشان دهید چه اتفاقی می افتد؟یک تقسیم ساده نشان میدهد که عدد اعشاری ۱.۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳ است و این عدد ۳ بینهایت بار تکرار میشود!!! در مورد بیست و دو هفتم مسئله جالبتر است!!! نمایش اعشاری این عدد بصورت ۳.۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵ است و این بار ۱۴۲۸۵۷ بینهایت بار تکرار میشود!!! این گونه اعداد گویا را که دارای نمایش اعشاری بی پایان اما تکراری هستند نامختوم تکراری می نامند و اعداد گویایی که نمایش اعشاریشان با پایان است را مختوم می نامند. به نظر میرسید که بجز اعداد گویا دیگر عدد دیگری وجود نداشته باشد و بشر بتواند تمام محاسباتش را با کمک این اعداد انجام دهد.
۶- سه ضربدر سه برابر ۹ است و شش ضربدر شش برابر ۳۶.اینجا رادیکال تعریف میشود.۳=۹√ و ۶=۳۶√ حال ۲√ برابر چند است؟در واقع فیثاغورث اثبات کرده بود که اگر a و b دو ضلع مثلث قائم الزاویه ای باشند و c وتر آن باشد آنگاه a×a + b×b=c×c حال اگر a و b هر دو برابر یک باشند باید عددی یافت که ضربدر خودش برابر ۲ شود.این مسئله را بطریق دیگری هم میتوان بیان کرد.طول قطر مربعی به ضلع یک را بیابید.مسئله دقیقا هم ارز با محاسه طول وتر مثلث قائم الزاویه ای با دو ضلع یک است!!! محاسبات فیثاغورثیان(شاگردان و پیروان فیثاغورت)نشان داد که نمایش اعشاری ۱.۴۱۴۲۱۳۵۶۲=۲√ نه مختوم است و نه نامختوم تکراری!!! اینجا بود که اعداد گنگ مطرح شدند.بشر بعدها فهمید که محیط دایره ای به قطر ۱ هم عددی گنگ است.این عدد گنگ را عدد پی∏ نامیدند که برابر است با ۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۴ به مجموعه اعداد گویا و گنگ اعداد صحیح میگویند.
۷- به نظر میرسید با کشف اعداد گنگ دیگر عدد دیگری در طبیعت وجود نداشته باشد اما...!!! اگر عدد 1 جواب معادله x-۱=0 ٬عدد 1- جواب معادله x+۱=0 ٬عدد یک دوم جواب معادله 2x-۱=۰ و عدد ۲√ جواب معادله ۰=x.x-۲ باشد٬جواب معادله x.x+۱=۰ برابر چیست؟ ۱-√؟اما رادیکال که برای اعداد منفی تعریف نشده است!!! تعریف نشده؟!!! مگر تعریف را خودمان بوجود نیاورده ایم؟خب حال تعریف جدیدی ارائه میکنیم!!! عدد مختلط i را بگونه ای تعریف میکنیم که i×i=-۱ پس جواب معادله x.x+۱=۰ برابر i است!!! شکل کلی اعداد مختلط بصورت a+bi است و a را بخش حقیقی و b را بخش موهومی مینامند.برخلاف اعداد حقیقی که روی یک خط نمایش داده میشوند اعداد مختلط را روی صفحه نمایش میدهند.یک محور برای بخش حقیقی و یک محور برای بخش موهومی.با تعریف اعداد مختلط همه معادلات چند جمله ای دارای جواب هستند اما باز هم یک سوال مطرح میشود.آیا هنوز هم اعدادی کشف نشده وجود دارند؟ فقط خدا میداند!!!