nafise sadeghi
28th November 2008, 10:53 PM
در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AF%D9%86%D8%A8%D8%A7%D9%84%D9%8 7%E2%80%8C%D9%87%D8%A7).به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.
...+5+4+3+2+1
سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AC%D8%A8%D8%B1) محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A2%D9%86%D8%A7%D9%84%DB%8C%D8%B 2) کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ea81aee59173829e409f4b65445afb69.png
سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3270286dbd7b37fa6070656871ff458c.png
این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c28865cbe6847794f2e88ef07aa3086d.png
a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.اگر 1>k باشد این سری همگرا خواهد بود.
در صورتی که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/483c0f6bd4d8df6951d5d155e27e5698.png به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
سزی توانی
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.
هر سری تابعی به شکل http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fb528ab46a8c4b7ab25eefe290ecf3da.png
را یک سری توانی بر حسب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5d29d29a0d84de761a465ea043f2cb07.png میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/24701cbce0674f031ca0be774888c648.png
...+5+4+3+2+1
سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AC%D8%A8%D8%B1) محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A2%D9%86%D8%A7%D9%84%DB%8C%D8%B 2) کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ea81aee59173829e409f4b65445afb69.png
سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3270286dbd7b37fa6070656871ff458c.png
این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c28865cbe6847794f2e88ef07aa3086d.png
a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.اگر 1>k باشد این سری همگرا خواهد بود.
در صورتی که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/483c0f6bd4d8df6951d5d155e27e5698.png به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
سزی توانی
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.
هر سری تابعی به شکل http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fb528ab46a8c4b7ab25eefe290ecf3da.png
را یک سری توانی بر حسب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5d29d29a0d84de761a465ea043f2cb07.png میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/24701cbce0674f031ca0be774888c648.png