nafise sadeghi
28th November 2008, 11:51 PM
در ریاضیات (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A 7%D8%AA)، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A8%DB%8C+%D9%86%D9%87%D8%A7%DB% 8C%D8%AA) می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8+%D8%AF%DB% 8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84+%D9%8 8+%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84) و نیز در آنالیز (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A2%D9%86%D8%A7%D9%84%DB%8C%D8%B 2) ریاضی برای تعریف مشتق (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) و نیز مفهوم پیوستگی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%DA%A F%DB%8C) مورد استفاده قرار می گیرد.
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AF%D8%A7%DB%8C%D8%B1%D9%87) به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B1%D9%86%D8%B3%D8%A7%D9%86%D8%B 3)انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.
نیوتن و لایب نیتس (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%84%D8%A7%DB%8C%D8%A8+%D9%86%DB% 8C%D8%AA%D8%B3)در قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.
یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8+%D8%AF%DB% 8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84+%D9%8 8+%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84)، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:
"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."
اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.
حد تابع در یک نقطه
اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/be8db500f2fdd344b84e1c399f0aff21.png آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/62fbcb9c38ea56e98499bfc20f349726.png
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b34f0c7f273d30d8a618acd0bdf3d021.png
حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6a7c72c1bdc30d1679909eb196fba791.png در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/6d/limits1.gif منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است
تعریف مجرد حد:
فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/be8db500f2fdd344b84e1c399f0aff21.png را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c2b761d93cdcd7a587004e65a23ebc54.pngوجود دارد یک http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c21854617349663a8efb90cb80ddf887.png که برای هر x دلخواه اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0a04c230fafae83304dd2b7bd1a59576.png آنگاه نتیجه بگیریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d96f2e14ea8e055e5bdf5e559adabf6e.png
حد توابع در بی نهایت
حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c2191654dfcba7baf4221f2fc6865b7e.png خواهیم داشت:
f(100) = 1.9802
f(1000) = 1.9980
f(10000) = 1.9998
مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/354fb66af0f3b8e0219fe067c15205f1.png
حد یک دنباله
حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc92cd641e60a4c97f1c6dc821aed52f.png اگر و تنها اگر برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c2b761d93cdcd7a587004e65a23ebc54.png یک عدد طبیعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B7%D8%A8%DB% 8C%D8%B9%DB%8C) مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1abf022c7c9d3c8a9fbb7c1d02642925.png
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/edf6c1da01ad4e06071b028c20676427.png. را به عنوان فاصله بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/886dce01f2cab4c2f66e72916dfc3daf.png و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.
پیوند خارجی
www.wikipedia.com (http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29)
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AF%D8%A7%DB%8C%D8%B1%D9%87) به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B1%D9%86%D8%B3%D8%A7%D9%86%D8%B 3)انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.
نیوتن و لایب نیتس (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%84%D8%A7%DB%8C%D8%A8+%D9%86%DB% 8C%D8%AA%D8%B3)در قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.
یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8+%D8%AF%DB% 8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84+%D9%8 8+%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84)، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:
"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."
اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.
حد تابع در یک نقطه
اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/be8db500f2fdd344b84e1c399f0aff21.png آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/62fbcb9c38ea56e98499bfc20f349726.png
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b34f0c7f273d30d8a618acd0bdf3d021.png
حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6a7c72c1bdc30d1679909eb196fba791.png در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/6d/limits1.gif منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است
تعریف مجرد حد:
فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/be8db500f2fdd344b84e1c399f0aff21.png را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c2b761d93cdcd7a587004e65a23ebc54.pngوجود دارد یک http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c21854617349663a8efb90cb80ddf887.png که برای هر x دلخواه اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0a04c230fafae83304dd2b7bd1a59576.png آنگاه نتیجه بگیریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d96f2e14ea8e055e5bdf5e559adabf6e.png
حد توابع در بی نهایت
حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c2191654dfcba7baf4221f2fc6865b7e.png خواهیم داشت:
f(100) = 1.9802
f(1000) = 1.9980
f(10000) = 1.9998
مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/354fb66af0f3b8e0219fe067c15205f1.png
حد یک دنباله
حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc92cd641e60a4c97f1c6dc821aed52f.png اگر و تنها اگر برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c2b761d93cdcd7a587004e65a23ebc54.png یک عدد طبیعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B7%D8%A8%DB% 8C%D8%B9%DB%8C) مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1abf022c7c9d3c8a9fbb7c1d02642925.png
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/edf6c1da01ad4e06071b028c20676427.png. را به عنوان فاصله بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/886dce01f2cab4c2f66e72916dfc3daf.png و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.
پیوند خارجی
www.wikipedia.com (http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29)