استقرا

[nafise sadeghi]

استقرا

مقدمه

برای درک مفهوم استقرا به مراحل اثبات یکی از برابری‌های ساده در ریاضیات توجه کنید:
مجموع اعداد طبیعی زیر را در نظر بگیرید:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7230ada22c22673fa3d66c5915c86fe6.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e9748b2a0db7cbfbf8f76ff46fbfd80b.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7a9517ca70b7f9463bee31a160e58323.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/97ad97a35ad8a9b6cc68130d68e30775.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5af05ac2f1997c1c7ca552ff87006768.png

اگر به طور که بخواهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/73866474be62ba03a705dd526d449b0c.png را بدست بیاوریم یک راه این است که الگویی از مجموع اعداد بالا بدست آورده و سعی در اثبات آن نمائیم.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ad1de43e57a3a89d803c9be569176c4c.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/780196aa7bf75ed21d8ed54f617db9ec.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/db5746063a04b8c8923694eafca883ba.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7e4ab9e218f2e61110d69e6aaacd08cb.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/29b0dc6cc1787d1278dc760aefbd280d.png

و به این ترتیب الگوی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/28a797222ec9ca210ac916ebd8a1b418.png را برای مجموعة فوق در نظر می‌گیریم.
این الگو در حقیقت یک گزاره بر روی اعداد طبیعی می‌باشد که می‌توان آن را با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc5c636f4e17a62e5cc82b83f1dbd4fd.pngبه معنی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b5239a92b43fa489a826ca88f241f452.png نمایش داد.
اگر چه اثبات این الگو به طور مستقیم و بدون کمک به استقرا به سادگی ممکن می‌باشد ولی در حل مسائل ریاضی به دفعات به حدس‌هایی برمی‌خوریم که اثبات آنها می‌تواند مشکل باشد در ایدة استقرا یکی از زیباترین ایده‌های موجود برای کمک به ما می‌باشد.
برای آنکه بیشتر آمادگی ذهنی برای درک استقرا پیدا کنیم به همان مثال مجموع اعداد 1 تا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngمی‌روی� �، و می‌خواهیم گزارة http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc5c636f4e17a62e5cc82b83f1dbd4fd.pngرا که گزاره‌ای دربارة عدد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png می‌باشد ثابت کنیم.
در ایدة استقرا که جلوتر به تعریف دقیق آن می‌پردازیم نخست باید برای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngهای کوچک درستی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc5c636f4e17a62e5cc82b83f1dbd4fd.pngرا نشان دهیم مانند:

[nafise sadeghi]

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/45f2a1c1d1885b98bece0bfe5d292d40.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/08ecb13c1bb7e45252db8019c207c3f1.png

حال می‌دانیم لااقل برای تعدادی از ابتدای اعداد طبیعی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc5c636f4e17a62e5cc82b83f1dbd4fd.pngدرست است. اکنون با فرض آنکه برایhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9ea085a86c1c91afe2c2d314a5be3489.pngحکم درست باشد، درستیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/691911e1c9234e8d99a26c904998c1da.pngرا نتیجه می‌گیریم (دقت کنید درستی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9ea085a86c1c91afe2c2d314a5be3489.png را فرض می‌کنیم.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/84db3afec781c5e0b928554635196cbf.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/599c6f39f7029b66c4d7e3fcfd33f3b1.png
خوب حال شما بگوئید ما برای چند عدد طبیعی کوچکترین درستیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc5c636f4e17a62e5cc82b83f1dbd4fd.pngرا ثابت کرده و با فرض درستی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9ea085a86c1c91afe2c2d314a5be3489.png درستی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/691911e1c9234e8d99a26c904998c1da.pngرا ثابت کردیم، با این حساب آیا می‌توان گفت کهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fc5c636f4e17a62e5cc82b83f1dbd4fd.png برای تمامی اعداد طبیعی برقرار است؟ !
به موضوع بالا فکر کنید چون اگر چه بعداً توضیح داده می‌شود ولی اگر اکنون آن را برای خود تجزیه و تحلیل کنید برای درک مطالب آینده راحت‌تر خواهید بود

[nafise sadeghi]

چند نماد پرکاربرد

نماد مجموع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/37f251ae07c1e1a351c766f13baed1d9.png: از این جا به بعد با مجموع پشت سرهم دنباله‌ای از اعداد سروکار خواهیم داشت. برای نشان دادن مجموع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1376a20723cb151c0bfc4756289cc4a8.pngاز نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e73eab2d04d5037b54cb16718e521f3a.png استفاده می‌کنیم، و این نماد یعنی تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d642fb4453ded7440133cccb810b48c3.png از حداقل مقدار 1 شروع شده و تا حداکثر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngمی‌رود و حاصل تمام مقادیر با هم جمع می‌شود. به طور کلی چند نمونه پرکاربرد:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5785b3b9d7044f2e08fcdb5a6f7eee2c.png به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1376a20723cb151c0bfc4756289cc4a8.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5424ba7238c9b5a21e56ca96962cd064.png به جایhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4dca06a8660640a1e12ba0ec9713bdab.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6fa7ea919c219dc17f8a39623395121c.png به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5cb2b118291b8c09c0f8766bfe8e1722.png
و به همین ترتیب …
و به طور کلی
از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/092bf17e7716a2f9bf10c542048ea998.png به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9b1e56494749915b51c9788f4f7fe7f9.png
استفاده می‌شود.
دقت کنید در نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cf89c3852c5a8e7bcf8f7d64a20eecfc.png که آن را سیگما بخوانید سه قسمت مهم وجود دارد که در شکل قبل نشان داده شده است.

قضیه .

می‌توان سیگمای مجموع دو تابع یعنی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/23d6275572000b695ce768edda9f08de.png را به صورت مجموع دو سیگما هر یک از توابع یعنی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1ee1e799e0e051b33478f62e96ba73b4.png نوشت.

قضیه .

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6ac9c829a54205bf0f583e9bfee3d01f.png که k عددی ثابت است.
دو قضیه بالا به راحتی قابل اثبات بوده و از اثبات آنها صرف‌نظر می‌کنیم.

نماد حاصل‌ضرب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/23271acf1fd95ddb3a74e4fd4f9394d2.png

به طریق مشابه برای حاصل‌ضرب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ee8ddc4270300cb4c8231a66f309b845.png داریم:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8d96bf791212643bf2eef17c1651c7a5.png