کوچکترین مضرب مشترک

[nafise sadeghi]

کوچکترین مضرب مشترک: (ک.م.م)

کوچکترین مضرب مشترک:
می دانیم عدد صحیح c مضرب مشترک دو عدد صحیح a و b است هر گاه : a|c و b|c
تعریف: عدد طبیعی m را کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح(ناصفر) a و b می گوییم هرگاه شرایط زیر برقرار باشد:
1- http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/013596e242fefcd49c5061e825f3eb1d.png
2-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e29e20fefdb57dfc958c9920918e1885.png
به عبارت دیگر کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح عبارت است از عضو ابتدای مجموعه مضربهای مشترک آن دو عدد.



لازم به ذکر است که کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b را به صورت ک.م.م a و b نیز می خوانند و به صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png نشان میدهیم.
توجه: مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/39eb5e94e7a55ea10d5bf0f26bc6cc0a.png برای هر عدد صحیح a مخالف صفر وجود ندارد زیرا مضارب صفر خود صفر است پس مجموعه مضارب مثبت آن تهی است پس ک.م.م aو0 وجود ندارد.

[nafise sadeghi]

قضیه: ک.م.م دو عدد صحیح ناصفر a و b حتما وجود دارد.

برهان: می خواهیم نشان دهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png حتما وجود دارد بنابراین مجموعه مضارب مشترک a و b یعنی S را در نظر میگیریم : http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e059611a8da74681c99c61725bc112f7.png
ادعا می کنیم S ناتهی است چون:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/12f67d00e7133d72a05a2acc29879168.png و چون به وضوح S زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی است بر طبق اصل خوشترتیبی می توان گفت S دارای عضو مینیمم است یعنی کوچکترین عضوی در S چون m وجود دارد که:
1-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f17968facd031e383aaa6151bcf6e1f3.png
2-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3d80afe0f158420cc2b0ccb4bb7ddae8.png
و این بیانگر ان است که m کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b است و حتما وجود دارد.


مثال: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9d9761f238be73d517447e7bd86088a8.png را بیابید:

پاسخ:
1- مجموعه مضارب مثبت 8= http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6985667a83e56d3a83aee9948ceb2d0c.png
2- مجموعه مضارب مثبت 10=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/257caa01b1ab1df22d3904596ef600f8.png
مشاهده می شود کوچکترین عضو مشترک از مجموعه مضارب مشترک 8 و 10 برایر 40 است پسhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f28a7d0eba2880ad684dd655203ffa1b.png

[nafise sadeghi]

توجه: روش دیگری برای یافتن ک.م.م دو عدد وجود دارد که کاربردی تر است به این ترتیب که اگر a و b دو عدد طبیعی بزرگتر از یک باشند که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0fd79112c82dcac7e3bab07da3043fba.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5d23896dbd8bfefbf9a5d5919260dcf0.png

تجزیه این دو عدد به عوامل اول باشد آنگاه ک.م.م این دو عدد برابر است با:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e67a265282913de1853e13ed09dbecc7.png

که در آن: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2397cc99eab2964145357a1be1a51bdd.png
به عبارت ساده تر برای یافتن ک.م.م دو عدد از این روش ابتدا دو عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم سپس ک.م.م این دو عدد برابر است با حاصلضرب عوامل اول مشترک و غیر مشترک با بزرگترین توان.

[nafise sadeghi]

خواص: در اینجا به بیان برخی از خواص مهم ک.م.م می پردازیم و بعضی از آنها را نیز اثبات می کنیم:



1- http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e927a356da11b3e53748d04d607ee18d.png
برهان:
1-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7980bb5d463809100d044a4a8e310d27.png
2- اگر c عضو اعداد طبیعی وجود داشته باشد که a|c و b|c آنگاه b||c|
پس می توان گفت |b| ک.م.م a و b است.



2- http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2cc0c9cf180fd7bd5f9b2775b995b4d6.png


3- http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/09451f9f4ff053396b1758f143fd1453.png


4-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c33fce1b40c70aa2c4229475f15e2d4f.png


5-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/50596434054cba7ca3d8db8d8df534a2.png

[nafise sadeghi]

برهان:
فرض می کنیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/438ab654313466f6e492a0d5ba6a0ab5.png و نشان می دهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7421ebe6cd43885f607524efc7e757f6.png برابر ک.م.م دو عدد
a و b است. پس باید نشان دهیم:

1-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4704f8a8b8cf2164f3292bbec8053119.png
برهان:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/10cb294334501911d5e7f92cedaeb42c.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6831cb902e63de5f01206c1a8cee4cdb.png
لازم به توضیح است که a و b هردو بر d بخش پذیرند.

2-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8822a1491897e98d56e797ce532bb6b4.png
برهان:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/461fe4726bea14133677984783c87bb6.png
حال طرفین را بر d تقسیم می کنیم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2f840b9a395acc0391606719f8fc529c.png
از طرفی:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/203beef348402684596e763237ea4cd9.png
به این ترتیب: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/12f30ece33c266dbd7317f786616e0ee.png
پس: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6b61eb77dd50e62ec98d96e33e54e253.png

به این ترتیب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7421ebe6cd43885f607524efc7e757f6.png برابر است با ک.م.م a و b پس:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/02697fb9d0cd7d24611181b5163b3a09.png

[nafise sadeghi]

نتیجه: اگر a و b نسبت به هم اول باشند: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f5ad7fca673ca069db0bc605ff1b20b.png
نتیجه: می توان ثابت کرد که اگر a و b دو عدد طبیعی باشند وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/438ab654313466f6e492a0d5ba6a0ab5.pngاعدادی چون'a' ,b متباین نسبت به هم وجود دارند که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/008a5913d7519651c63735e9a3ba1611.png
حال اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d79607daf43c448e4fb332831fb4c7ee.png اعداد طبیعیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/784715d5112c92d7aff237154711960b.png که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/06af0ce8228dc7da5f942bb5e1076432.png وجود دارند که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7332d4e044f8436434b71ad0a39044b9.png و در نتیجه:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ac5f12cbaf38280f96daeb6014411a0f.png

این نتیجه بسیار کاربردی بوده و در حل بسیاری از مسایل کمک می کند.

مثال: اگر برای دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4c5907eaeb920a801c719d7dfea0f894.png آنگاه a و b را بیابید.

پاسخ: بر طبق نتیجه فوق می دانیم اعداد متباین نسبت به هم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2529a56e61383b83ce5c067d434f6a49.png وجود دارند که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b2b66806acf2ebd1f0f3df51cbb07512.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ac5f12cbaf38280f96daeb6014411a0f.png

پس:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c24b3619f810f5662d7b8512ce855bbb.png

چون: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/06af0ce8228dc7da5f942bb5e1076432.png بنابراین: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f95b98da525139b35113332b6aef92e0.png
در نتیجه: a=2,b=144 یا a=16,b=18


توجه: برای دو عدد صحیح a و b ناصفر داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/520da43c7cee8aa551872806a528984e.png


6- http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71402a1017da22f8a51d8ca3c700a4b2.png

[nafise sadeghi]

برهان:
اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/438ab654313466f6e492a0d5ba6a0ab5.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9788bbe8f70a017286ddced576b289dd.png بنابراین:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9d8173b5a4c1d365ee5389f48570d37.png



7-اگر a و b اعداد صحیحی با شند که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d79607daf43c448e4fb332831fb4c7ee.png آنگاه برای هر n طبیعی:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/01c6b91b30e49e11369453d10929421e.png
برهان:
اگر فرض کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/438ab654313466f6e492a0d5ba6a0ab5.png آنگاه می دانیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/148180b876a2b7968a6bc20dc69c1886.png بنابراین:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3be8c71f7ae677a1d5922b17c8dbf120.png



8- برای هر a و b صحیح و مخالف صفر: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1c87bf227a1619a54e6a5f243d5a3628.png
برهان:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/75c2fd019c93c422d53628e54eac9686.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e58220a192d0db28f11ca63e195f8817.png
بنا بر فرض: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/63e6629299d10b23764976e1198aadfb.png
بنابراین نتیجه می شود: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e07e1aa528dae64159b366e6811ea0e9.png و لذا a|b. به طریق مشابه b|a ، پس |b|=|a|
حال فرض می کنیم که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4e7b76310cb740893ce367680086131d.png و نشان می دهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0bf718cfea61be85387ab86adfd911c5.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8d5329d6bc631cc4760cb825d65ba3da.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/22b08006521642db7d3bed1311d5f818.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e759046c4949478571cc1f224c509a7b.png