همنهشتی و تئوری اعداد

[nafise sadeghi]

اگر m یک عدد طبیعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B7%D8%A8%DB% 8C%D8%B9%DB%8C) و a وb دو عدد صحیح (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B5%D8%AD%DB% 8C%D8%AD) باشند، و m بتواند اختلاف بین a و b را بشمارد، آنگاه می‌گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m.

تعریف

اگر a و b اعدادی صحیح و m عددی طبیعی باشد گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m هرگاه (m|(b-a و می‌نویسیم (به پیمانه m)http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c5377d672578d03a7b0aa850dcd6f88b.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fa1309cce7256f8d338815f61e382155.png .



رابطه همنهشتی یک رایطه هم‌ارزی است پس این رابطه می‌تواند مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) اعداد صحیح را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید.
ویژگی‌های همنهشتی


اگر b≡a به پیمانه m آنگاه به ازای عدد صحیح c داریم: a+c ≡ b+c به پیمانه m .
اگر b و a باهم همنهشت و (d=(a,b و c≡d به پیمانه m آنگاه ac≡bc به پیمانه m.
اگر b≡a به پیمانه m ، آنگاه به ازای n های طبیعی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fd01c4eef199262c5afab0555d88a010.pngبه پیمانه m.
به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همنهشتند به پیمانه m.
اگر b≡a به پیمانه m و c عدد صحیح (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B5%D8%AD%DB% 8C%D8%AD)ی باشد، آنگاه ac≡bc به پیمانه m.
قضایای مربوط به همنهشتی


اگر ac≡bc به پیمانه m و m,c)=d) آنگاهa≡b به پیمانه m/d.
لم مربوط به همنهشتی:


اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه a≡b به پیمانه d.
اگر ac≡bc به پیمانه m و m,c)=1) آنگاه a≡b به پیمانه m.
اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه m.
مثال


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d03e20737e4336b90ca5d9786d7e80aa.png.
مجموعه اعدادی را بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بخش پذیر باشد.
جواب:
طبق الگوریتم تقسیم (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88%D8%B1%DB%8 C%D8%AA%D9%85+%D8%AA%D9%82%D8%B3%DB%8C%D9%85) داریم a=2q+r , 0≤r<2 ؛ یعنی a=2q یا a=2q+1.

پس کلاس هم‌ارزی 0 یا اعداد بخش‌پذیر بر 2 عبارت است از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ab71994700852502440c77d7c7735b3a.png

به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2، همواره بر 2 بخش پذیر است.

و همچنین کلاس هم‌ارزی 1عبارت است از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2c92a8824ab4fcd9fb76200b64b83484.png

به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2 نیز همواره بر 2 بخش پذیر است