اصل خوش ترتيبي

[nafise sadeghi]

اصل خوشترتیبی بیان می کند هر زیر مجموعه ناتهی از مجموعه اعداد طبیعی دارای عضو ابتدا یا کوچکترین عضو است.
به عبارت دیگر:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc7d7ed9bc6328879e197ef6883be824.png
یا به عبارت دیگر وجود دارد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/de5053d02bea808c0a16d0de0902d8fb.png به گونه ای که: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d46ef13d88e0bce1a6dec1170cbe7e0d.png

با استفاده از اصل خوشترتیبی نتایج زیر حاصل می شود که می توان آنها را تعمیمی بر این اصل دانست

[nafise sadeghi]

- هر زیر مجموعه ناتهی و از پایین کراندار از مجموعه اعداد صحیح دارای عضو مینیمم(کوچکترین عضو یا عضو ابتدا)
است.


برهان:

فرض می کنیم مجموعه S زیر مجموعه ای ناتهی از مجموعه اعداد صحیح و از پایین کراندار باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d54c801b9b4adcc32bac63c381fde3c2.png یک کران پایین آن باشد یعنی:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/72d75413d57e343e2147f2173b77948d.png
مجموعه T را به این صورت تعریف می کنیم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f0d70ff45a25e9593c4632e3889a9564.png
چون S ناتهی است پس T ناتهی است و بوضوح http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/697a6d04abde27e069996610562997cd.png نتیجه اینکه T زیرمجموعه ای ناتهی از مجموعه اعداد طبیعی است و لذا بنا بر اصل خوشترتیبی T دارای عضو مینیممی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/38abb0a33e68edc5aabd65039f0bc02d.png است.

حال چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/85de52bd04899338cfad784483cc1794.png پس با توجه به تعریف مجموعه T داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/62f2b88a2f9d565d14e0dcdd357554bd.png

اکنون ادعا می کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d46ef13d88e0bce1a6dec1170cbe7e0d.png چرا که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2a42c81bdc8a574f6b2d732bbbbe15f8.png
و
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1b00ddb3a8efd3d6465a764c64f54597.png

پس:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/804c734bc744e1bda8392744bcb0135e.png

به این ترتیب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/de5053d02bea808c0a16d0de0902d8fb.png مینیمم S است چون کوچکتر یا مساوی هر عضو دلخواه از S است.

به این ترتیب نشان دادیم S دارای عضو ابتدا یا مینیمم است و حکم ثابت می شود.

[nafise sadeghi]

مجموعه ناتهی از بالا کراندار از مجموعه اعداد صحیح دارای عضو ماکزیمم است.


برهان:

فرض می کنیم مجموعه S زیر مجموعه ای ناتهی و از بالا کرانداری از مجموعه اعدا صحیح باشد. نشان میدهیم S دارای عضو ماکزیمم است یعنی: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/57d96ae802f442b25811124fa606e631.png
مجموعه T را به این صورت تعریف می کنیم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3eb256f2290ff6c0975893ae684b1cf0.png
در این صورت چون مجموعه S ناتهی است T نیز ناتهی است و چون S از بالا کراندار است لذا T از پایین کراندار است.
همچنین T زیرمجموعه ای از اعداد صحیح است. پس بنا بر مطلب قبل T زیرمجموعه ای ناتهی و از پایین کرانداری از مجموعه اعدا صحیح است و لذا دارای عضو مینیمم است.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3150ec57a3932f9e33037aed5aecfe67.png
و چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/85de52bd04899338cfad784483cc1794.png با توجه به تعریف مجموعه T میتوان نتیجه گرفت:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c4b3eb704afd4206fbab5885d554a693.png
حال ادعا می کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/de5053d02bea808c0a16d0de0902d8fb.png عضو ماکزیمم مجموعه S است چون:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e5eb00a03ecce576a0f8868d73ee8a38.png و چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/38abb0a33e68edc5aabd65039f0bc02d.png مینیمم عضو مجموعه T است پس:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/370d1112eb81ae8feef96cea704eeb6a.png و این نشان می دهد برای هر عضو دلخواه s از مجموعه S عضو http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/de5053d02bea808c0a16d0de0902d8fb.png بزرگتر یا مساوی s است پس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/de5053d02bea808c0a16d0de0902d8fb.png ماکزیمم عضو مجموعه S است.
به این ترتیب نشان دادیم مجموعه S دارای عضو ماکزیمم است و حکم ثابت می شود.


دانش نامه رشد