جبر

[hoora]

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی است.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/1/1c/jabrvalmoghabele.jpg

تاریخچه

تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.

کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر یا‌ Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.
درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید.

اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.

نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) ، نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند.

کارل فریدریش گاوس (Carl Friedrich Gauss ‌ ) ، ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی د رتوسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد.

پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت.
از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد.


کلاس‌بندی

جبر مقدماتی:در این شاخه از جبر ، ویژگیهای اعمال چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می‌شود.علائمی تعریف می‌شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌گردد و روش هایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جبر مجرد:در این شاخه ساختارهای جبری از قبیل گروهها، حلقه ها و میدان هاتعریف می‌شوند و در مورد خصوصیات آنها بحث می شود.این شاخه از جبر که حوزه پژوهش بسیاری از ریاضی‌دانان معاصر خود به شاخه‌های مختلفی تقسیم می‌شود:

جبر جابجایی
جبر ناجابجایی

جبر خطی: به بررسی فضاهای برداری و نگاشت‌های خطی بین این فضاها می‌پردازد و کاربردهای فراوان در شاخه‌های مختلف علم دارد.

[hoora]

جبر مقدماتی

جبر مقدماتی عملیات پایه‌ای بر روی چهار عمل اصلی را در بر می‌گیرد. پس از تعریف علائمی که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌شوند، روش‌هایی برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جبر مقدماتی گونهٔ بنیادی و نسبتاً پایه‌ای جبر است که به دانش‌آموزانی که احتمالاً آگاهی کمی دارند و یا هیچ آگاهی قانونمندی فراتر از حساب در ریاضیات ندارند، آموخته می‌شود. در حالی که در حساب تنها اعداد و اعمال حسابی آن‌ها (مانند +, −, ×, ÷) انجام می‌پذیرد، در جبر همچنین از نشانه‌هایی (چون x و y یا a و b) برای نشان دادن اعداد استفاده می‌شود، که متغیر نامیده می‌شوند.

[hoora]

جبر مجرد

جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد.

اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی» یا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند.

جبر مجرد مقدماتی،اشیاء و اعمال ریاضی را،فارغ از ماهیت آنها بررسی می‌کند. اعداد، توابع، ماتریسها،از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... از اعمال آن به شمار می‌آیند.دسته بندی گروهها و حلقه ها از موضوعات اساسی این شاخه به حساب می‌آیند.برخی شاخه های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می‌کنند.

جبر مقدماتی به همراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخه ی اصلی دستگاه جبر را تشکیل می‌دهند.

[hoora]

قضیه باقیمانده چینی

قضیه باقی مانده چینی(Chinese remainder theorem) قضیه‌ای در زمینه نظریه اعداد است و تعمیم آن در جبر نظری بیان می‌شود.




http://4tmu.ir/forum/Themes/Outline/images/icons/assist.gifاین عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 957 در 663 و 90KB بوده است.http://shup.com/Shup/202956/QCH1.PNG

http://4tmu.ir/forum/Themes/Outline/images/icons/assist.gifاین عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 898 در 953 و 109KB بوده است.http://shup.com/Shup/202959/QCH2.PNG

نمونه

پرسشی برای بدست آوردن عدد صحیح x که در دستگاه زیر صدق کند را در نظر بگیرید.

http://shup.com/Shup/202962/QCH3.PNG

با استفاده از الگوریتم اقلیدس برای ۳و ۴×۵ = ۲۰ داریم (۱۳-) × ۳ + ۲ × ۲۰ = ۱، یعنی e۱ = ۴۰ و برای ۴ و ۳×۵ = ۱۵ بدست می‌آوریم
(۱۱-) × ۴ + ۳ × ۱۵ = ۱ یعنی e۲ = ۴۵. در نهایت برای ۵ و ۳×۴ = ۱۲ الگوریتم اقلیدس نتیجه می‌دهد۵ × ۵ + (۲-) × ۱۲ = ۱ به این معنا که ''e۳ = −۲۴ است. پس یکی از جوابها برای x عدد ۲ × ۴۰ + ۳ × ۴۵ + ۱ × (۲۴-) = ۱۹۱ است. تمام اعداد صحیح دیگر که به پیمانه
۳ × ۴ × ۵ = ۶۰ با ۱۹۱ همنهشتند هم جواب هستند. یعنی همه آنها با ۱۱ به پمانه ۶۰ همنهشتند.

نکته: ممکن است اعداد بدست آمده با الگوریتم اقلیدس برای eiها متفاوت باشد، اما در جواب نهایی همه مشترکند.


کاربرد

از این قضیه در الگوریتم RSA برای رسیدن به جواب در زمان کمتر استفاده می‌شود.

برای انجام محاسبات بر روی اعداد بسیار بزرگ از این قضیه استفاده می‌شود. اعداد که نسبت به هم اولند به عنوان ni انتخاب می‌شوند و اعداد بزرگ برای محاسبه به صورت زوج مرتب از ai ها در می‌آیند و پس از انجام محاسبات بر روی ai ها نتیجه به صورت خود عدد درمی‌آید.


اثبات قضیه

يک طرف قضيه با روشي که براي بدست آوردن جواب ارائه شد اثبات شد. اثبات يکتايي اين جواب هم با استفاده از برهان خلف ثابت مي‌شود:

فرض مي‌کنيم که دو جواب صحيح مثبت x و y کوچکتر از N براي دستگاه وجود دارد. بعد ثابت مي کنيم که هر کدام از ni ها تفاضل اين دو عدد را مي شمارد. نتيجه مي شود که N هم تفاضل اين دو عدد را مي شمارد که اين خلاف فرض ما است که دو عدد x و y را بين صفر و N در نظر گرفتيم.

[hoora]

با اجازه مدیران تو این تاپیک به معرفی کتاب های تخصصی در مبحث جبر پرداخته میشه تا هم یه دایرکتوری کامل از کتاب های جبری تهیه بشه و هم دوستانی که میخوان به سراغ جبر بیان بتونن انتخاب راحت تری داشته باشن.

نام کتاب : اساس جبر مجرد
نام لاتین : Fundamentals of abstract algebra
مولف (مولفان) : دی.اس.مالک - جان.ان.مردسون - ام.ک.سن
مترجم (مترجمان) : دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم - سید محمد داورپناه
ناشر : دانشگاه امام رضا - آستان قدس
تعداد صفحات : 796 صفحه.

درباره کتاب :
کتاب مالک یکی از تازه ترین کتاب های انتشار یافته در زمینه جبر است، نثر کتاب خالی از هرگونه تکلف می باشد. برای هر مورد مطرح شده در کتاب مثال های متوعی مطرح شده است تا جایی که در بعضی از قسمت ها تعداد مثال ها از حجم اولیه موضوع بیشتر است. بعد از پایان هر فصل تمرین های متنوعی آورده شده و پاسخ تمرین های مشکل (به صورت یک راه حل کوتاه) در آخر کتاب آورده شده است و برای هر فصل، ریز زندگی یکی از دانشمندان جبر آورده شده است. این کتاب، یک کتاب بسیار عالی و خودآموز برای دانشجو بوده و تمام سرفصل های جبر (جبر 1، جبر 2، جبر 3) دوره لیسانس را پوشش میدهد اما برای تدریس جز به جز مناسب نیست.
.................................................. .................................
نام کتاب : آشنایی با جبر مجرد
نام لاتین : Introduction to Abstract Algebra
مولف : دبلیو.کیت نیکلسون
مترجم : دکتر علی اکبر عالم زاده
ناشر : سیمای دانش
تعداد صفحات : 1014 صفحه.

درباره کتاب :
بدون شک کتاب نیکلسون یکی از تکس های مشهور درسی دانشگاههای ایران در کنار هانگرفورد و هرشتاین است. مهم ترین ویژگی این کتاب آموزش دادن از پایه و بالارفتن تدریجی سطح مطالب کتاب است. این کتاب دارای تمرین های بسیار زیادی (قریب به 1500 تمرین) برای راه انداختن قدرت تفکر جبری فرد می باشد که در نوع خود کم نظیر است. متن کتاب به صورت حرفه ای و جبریستانه (کسی که در جبر مهارت دارد، از سری کلمات من در آوردی ) ترجمه شده است. برهان قضایا در بعضی موارد به صورتی آورده شده اند که فرض شده است شما آشنایی نسبی با مفاهیم اولیه دارید و البته بسیاری از تعاریف و موارد موردنیاز در فصل صفر (مقدمات) آورده شده است. این کتاب می تواند جبر دوره لیسانس (جبر 1، جبر 2، جبر 3) را پوشش دهد. این کتاب برای غیر جبریست ها نیز می تواند جالب باشد زیرا کاربردهایی از جبر مجرد مانند رمزنگاری، رمزهای دوری و BCH را در خود جای داده است. برای تمرین های مشکل در آخر کتاب راه حل هایی ذکر شده است. در در پایان هر فصل نیز یادداشت های تاریخی و شرح حالها را نیز مشاهده خواهیم نمود. در مجموع این کتاب می تواند برای فردی که تازه به جبر روی آورده است همراهی مناسب باشد.
.................................................. ....................................

[azarbara]

با سلام دوستانی که مایلند چیزای بیشتری درباره جبر بدونن اگه به وبلاگ mathematic87.blogfa.com یه سر بزنن مطمئنا پشیمون نخواهند شد
شاد باشید