hoora
5th March 2010, 07:20 PM
حدس کولاتز یکی از حدس های حل نشده در ریاضیات است.این حدس به افتخار لوتار کولاتز (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%84%D9%88%D8%AA%D8%A7%D8%B1_%DA %A9%D9%88%D9%84%D8%A7%D8%AA%D8%B2&action=edit&redlink=1)،که این موضوع را در سال1937 (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=1937&action=edit&redlink=1) مطرح کرد، حدس کولاتز نام گرفت. این حدس همچنین به عنوان حدس 3n+1 (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AD%D8%AF%D8%B3_3n%2B1&action=edit&redlink=1) نیز شناخته می شود.این گونه حدس ها می پرسد که آیا یک رشته ی خاص از اعداد، صرف نظر از این که چه عددی را به عنوان عدد اولیه انتخاب می کنیم، همیشه به یک صورت تمام می شود.
بیان مشکل
عملیات زیر را در مجموعه اعداد صحیح مثبت اخیاری در نظر بگیرید
اگر عدد زوج (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%B2%D9%88%D8%AC&action=edit&redlink=1) بود، آن را بر 2 تقسیم کن.
اگر عدد فرد (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%81%D8%B1%D8%AF&action=edit&redlink=1) بود، آن را سه برابر کن و به علاوه 1.
برای مثال، اگر عملیات روی 3 انجام شود، نتیجه 10 است و اگر روی 24 اجرا شود نتیجه 10 است. اگر بخواهیم این عملیات را به صورت تابعی ریاضی (http://fa.wikipedia.org/wiki/رÛاضÛ) نشان دهیم به صودت زیر خواهد بود:
http://tbn2.google.com/images?q=tbn:2H5KITzPvikRuM:http://upload.wikimedia.org/math/1/1/4/1146200fb895cbd8fb7a3c96639b49b2.png (http://images.google.com/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/math/1/1/4/1146200fb895cbd8fb7a3c96639b49b2.png&imgrefurl=http://fa.wikipedia.org/wiki/%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3_%25DA%25A9%25D9%258 8%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D8%25B2&usg=__Xdz4uzlaB6lWjdxzOa8VJ8arkkw=&h=84&w=84&sz=1&hl=fa&start=3&um=1&tbnid=2H5KITzPvikRuM:&tbnh=76&tbnw=76&prev=/images%3Fq%3D%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3%2B%25D A%25A9%25D9%2588%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D 8%25B2%26hl%3Dfa%26lr%3D%26sa%3DN%26um%3D1) http://upload.wikimedia.org/math/1/9/3/193ede6190449aabf93fd06f2c834fc2.png (http://images.google.com/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/math/1/9/3/193ede6190449aabf93fd06f2c834fc2.png&imgrefurl=http://fa.wikipedia.org/wiki/%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3_%25DA%25A9%25D9%258 8%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D8%25B2&usg=__srckBk04CqOe3sRI6sjSaMCDuvY=&h=60&w=345&sz=2&hl=fa&start=4&um=1&tbnid=Api6lcbqS7M0VM:&tbnh=21&tbnw=120&prev=/images%3Fq%3D%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3%2B%25D A%25A9%25D9%2588%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D 8%25B2%26hl%3Dfa%26lr%3D%26sa%3DN%26um%3D1)
هم اکنون با اجرا کردن این عملیات بر روی یک دنباله (http://fa.wikipedia.org/wiki/دÙباÙÙ) از اعداد به طور متوالی با هر عدد صحیح (http://fa.wikipedia.org/wiki/عدد_صØÛØ) مثبت، و گرفتن نتیجه به عنوان ورودی مرحله بعد: در حالی که:
حدس کولاتز به صورت زیر است:
این روند به صورت اتفاقی به عدد 1 می رسد، صرف نظر از این که چه عددی به عنوان عدد اولیه انتخاب شده.
کوچکترین i که به ازای آن روند فوق ادامه می یابد زمان کلی ایست n نام دارد.این حدس ادعا دارد که هر عدد n یک زمان کلی ایست خوش تعریف دارد.اگر به ازای یک N خاص، عدد i به صورت بیان شده وجود نداشته باشد می گوییم N یک زمان کلی ایست نامحدود دارد و حدس غلط است. اگر حدس غلط باشد می تواند فقط به این دلیل باشد که یک عدد شروعی وجود دارد که به دنباله خاتمه ای می دهد که 1 شامل آن دنباله نیست.یک چنین دنباله ای ممکن است وارد چرخه ای شود که از 1 مستثنی باشد یا این که بدون محدودیت ادامه یابد.تا به حال چنین دنباله ای پیدا نشده است.
مثالها
برای نمونه، شروع از n=6،دنباله به صورت:
6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
شروع از n=11، دنباله بیشتر طول می کشد تا به 1 برسد:
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
اگر مقدار عدد شروع n=27 باشد، یک دنباله 111 قدمی به وجود می آید که قبل از رسیدن به 1 از 9000 تجاوز می کند:
{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }
http://www.uc-njavan.ir/images/rkt9ry5qi7icjae0hyqj.png
بیان مشکل
عملیات زیر را در مجموعه اعداد صحیح مثبت اخیاری در نظر بگیرید
اگر عدد زوج (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%B2%D9%88%D8%AC&action=edit&redlink=1) بود، آن را بر 2 تقسیم کن.
اگر عدد فرد (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%81%D8%B1%D8%AF&action=edit&redlink=1) بود، آن را سه برابر کن و به علاوه 1.
برای مثال، اگر عملیات روی 3 انجام شود، نتیجه 10 است و اگر روی 24 اجرا شود نتیجه 10 است. اگر بخواهیم این عملیات را به صورت تابعی ریاضی (http://fa.wikipedia.org/wiki/رÛاضÛ) نشان دهیم به صودت زیر خواهد بود:
http://tbn2.google.com/images?q=tbn:2H5KITzPvikRuM:http://upload.wikimedia.org/math/1/1/4/1146200fb895cbd8fb7a3c96639b49b2.png (http://images.google.com/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/math/1/1/4/1146200fb895cbd8fb7a3c96639b49b2.png&imgrefurl=http://fa.wikipedia.org/wiki/%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3_%25DA%25A9%25D9%258 8%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D8%25B2&usg=__Xdz4uzlaB6lWjdxzOa8VJ8arkkw=&h=84&w=84&sz=1&hl=fa&start=3&um=1&tbnid=2H5KITzPvikRuM:&tbnh=76&tbnw=76&prev=/images%3Fq%3D%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3%2B%25D A%25A9%25D9%2588%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D 8%25B2%26hl%3Dfa%26lr%3D%26sa%3DN%26um%3D1) http://upload.wikimedia.org/math/1/9/3/193ede6190449aabf93fd06f2c834fc2.png (http://images.google.com/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/math/1/9/3/193ede6190449aabf93fd06f2c834fc2.png&imgrefurl=http://fa.wikipedia.org/wiki/%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3_%25DA%25A9%25D9%258 8%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D8%25B2&usg=__srckBk04CqOe3sRI6sjSaMCDuvY=&h=60&w=345&sz=2&hl=fa&start=4&um=1&tbnid=Api6lcbqS7M0VM:&tbnh=21&tbnw=120&prev=/images%3Fq%3D%25D8%25AD%25D8%25AF%25D8%25B3%2B%25D A%25A9%25D9%2588%25D9%2584%25D8%25A7%25D8%25AA%25D 8%25B2%26hl%3Dfa%26lr%3D%26sa%3DN%26um%3D1)
هم اکنون با اجرا کردن این عملیات بر روی یک دنباله (http://fa.wikipedia.org/wiki/دÙباÙÙ) از اعداد به طور متوالی با هر عدد صحیح (http://fa.wikipedia.org/wiki/عدد_صØÛØ) مثبت، و گرفتن نتیجه به عنوان ورودی مرحله بعد: در حالی که:
حدس کولاتز به صورت زیر است:
این روند به صورت اتفاقی به عدد 1 می رسد، صرف نظر از این که چه عددی به عنوان عدد اولیه انتخاب شده.
کوچکترین i که به ازای آن روند فوق ادامه می یابد زمان کلی ایست n نام دارد.این حدس ادعا دارد که هر عدد n یک زمان کلی ایست خوش تعریف دارد.اگر به ازای یک N خاص، عدد i به صورت بیان شده وجود نداشته باشد می گوییم N یک زمان کلی ایست نامحدود دارد و حدس غلط است. اگر حدس غلط باشد می تواند فقط به این دلیل باشد که یک عدد شروعی وجود دارد که به دنباله خاتمه ای می دهد که 1 شامل آن دنباله نیست.یک چنین دنباله ای ممکن است وارد چرخه ای شود که از 1 مستثنی باشد یا این که بدون محدودیت ادامه یابد.تا به حال چنین دنباله ای پیدا نشده است.
مثالها
برای نمونه، شروع از n=6،دنباله به صورت:
6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
شروع از n=11، دنباله بیشتر طول می کشد تا به 1 برسد:
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
اگر مقدار عدد شروع n=27 باشد، یک دنباله 111 قدمی به وجود می آید که قبل از رسیدن به 1 از 9000 تجاوز می کند:
{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }
http://www.uc-njavan.ir/images/rkt9ry5qi7icjae0hyqj.png