فلسفه مکانیک آماری

[*مینا*]

http://www.aftab.ir/articles/science_education/basis_science/images/5a04b125f99ccbbe2b437b573f79dc74.jpg


به زودی دریافته شد که مفهوم بنیادی، مفهوم تعادل است. اگر سیستم‌ها به حال خود رها شوند مقادیر پارامترهای خود را آن قدر تغییر می‌دهند تا به این حالت یعنی حالت تعادل برسند و دیگر تغییری مشاهده نمی‌شود. به علاوه، آشکار گردید که این میل خودبخودی به تعادل، فرآیندی است که از لحاظ زمانی نامتقارن است. مثلاً، دماهای نایکنواخت آن قدر تغییر می‌کنند تا یکنواخت شوند. همین فرآیند «یکنواخت‌سازی» در مورد چگالی‌ها نیز روی می‌دهد.
مکانیک آماری نخستین نظریه‌ی فیزیکی بنیادی بود که مفاهیم آماری و تبیین احتمالاتی در آن نقشی بنیادی ایفا کردند. این رشته فرصتی ارزنده در اختیار فیلسوفان قرار داد تا آراء خود را در باره‌ی معنای احکام احتمالاتی و نقش احتمال در تبیین، با آن چه در صورت ورود احتمالات به یک نظریه‌ی فیزیکی بنیادی در عمل روی می‌دهد مقایسه کنند. تبیینی که مکانیک کوانتومی از عدم تقارن در زمان فرآیندهای فیزیکی ارائه می‌کند نیز در تلاش فیلسوف برای فهم عدم تقارن‌ها در علیت و زمان نقش مهمی ایفا می‌کند.
۱) طرح تاریخی
از قرن هفدهم به بعد دریافته شد که سیستم‌های مادی را اغلب می‌توان با پارامترهای معدودی توصیف کرد که به این یا آن طریق ساده‌ی قانون‌مانند به هم مرتبطند. این پارامترها به ویژگی‌های هندسی، دینامیکی و گرمایی ماده مربوط می‌شدند. نمونه‌ی این گونه قوانین، قانون گازهای ایده‌آل بود که حاصل‌ضرب فشار و حجم گاز را به دمای گاز مربوط می‌ساخت.
به زودی دریافته شد که مفهوم بنیادی، مفهوم تعادل است. اگر سیستم‌ها به حال خود رها شوند مقادیر پارامترهای خود را آن قدر تغییر می‌دهند تا به این حالت یعنی حالت تعادل برسند و دیگر تغییری مشاهده نمی‌شود. به علاوه، آشکار گردید که این میل خودبخودی به تعادل، فرآیندی است که از لحاظ زمانی نامتقارن است. مثلاً، دماهای نایکنواخت آن قدر تغییر می‌کنند تا یکنواخت شوند. همین فرآیند «یکنواخت‌سازی» در مورد چگالی‌ها نیز روی می‌دهد.
مطالعات عمیق اس. کارنو (S. Carnot) در مورد امکانِ گرفتن کار فیزیکی از موتورها به واسطه‌ی اختلاف دمای میان دیگ جوش و کندانسور موجب گردید که آر. کلاسیوس (R. Clausius) یکی از پارامترهای مهمِ توصیف‌کننده‌ی سیستم مادی، یعنی انتروپی آن را مطرح سازد. وجود این مجموعه‌ی ساده‌ی پارامترها را برای توضیح ماده و قواعد قانون‌مانندی که آن‌ها را به هم مرتبط می‌ساختند، چگونه باید توضیح می‌دادند؟ این که محتوی گرمای جسم، شکلی از انرژی است که می‌توان به کار مکانیکی تبدیل کرد همان گونه که کار مکانیکی را می‌توان به گرما تبدیل کرد، یک اصل بنیادی بود. عدم توانایی سیستم منزوی به رفتن به حالتی منظم‌تر، به پایین آوردن انتروپی خود، اصل دیگری بود. اما چرا این‌ اصول درست بودند؟
یک رویکرد، رویکرد پی. دوئم (P. Duhem) و ای. ماخ (E. Mach) و انرژی‌گرایان (energeticists)، تأکید بر این امر بود که این اصول، قوانین پدیدارشناختی مستقلی هستند که به بنیان دیگری در اصول فیزیکی دیگر نیازی ندارند. رویکرد بدیل طرح این دعوی بود که انرژی‌ای که به شکل محتوی گرما در جسم ذخیره می‌شود، انرژی حرکت ذرات تشکیل‌دهنده، پنهان و میکروسکوپی جسم است؛ این رویکرد تأکید داشت که قوانین ذکر شده یعنی اصول ترمودینامیک را باید بر اساس وضع شیء ماکروسکوپی، اجزاء آن و قوانین دینامیکی بنیادیِ حاکم بر حرکت این اجزاء توضیح داد. این نظریه‌ی جنبشی گرما است.
کارهای اولیه‌ای که دابلیو. هیرپث (W. Herepath) و جِی واترستون (J. Waterston) بر روی نظریه‌ی جنبشی انجام دادند اساساً نادیده گرفته شد، اما کار ا. کرونیگ (A. Krönig) نظریه‌ی جنبشی را به موضوعی زنده در فیزیک تبدیل کرد. جِی. سی ماکسول (J. C. Maxwell) با استنتاج قانونی برای توزیع سرعت مولکول‌های گاز به هنگام تعادل از چند اصل ساده، موجب پیشرفتی چشمگیر گردید. هم ماکسول و هم ال. بولتزمن (L. Boltzmann) کار را پیشتر بردند و به شیوه‌های مختلف، اما مرتبط، معادله‌ای برای نزدیک شدن گاز به حالت تعادل به دست آوردند. پس از آن می‌شد نشان داد که توزیع حالت تعادل، که قبلاً ماکسول یافته بود، جواب ایستای این معادله است.
این کارِ نخستین با انتقاداتی روبرو شد. اچ. پوانکاره (H. Poincaré) قضیه‌ای برگشتی را برای سیستم‌های دینامیکی مقید اثبات کرده بود که به نظر می‌رسید با میل یکنواخت به حالت تعادل که در ترمودینامیک مطرح بود در تناقض باشد. قضیه‌ی پوانکاره نشان می‌دهد که هر سیستمی که طوری مقید باشد که انرژی در آن پایستار باشد، لزوماً و در طول زمان نامتناهی، به دفعات نامتناهی به حالت‌هایی باز می‌گردد که به طور دلخواه به حالت دینامیکی اولیه‌ای که سیستم از آن آغاز شده بود، نزدیک است. جِی. لوشمیت (J. Loschmidt) ادعا می‌کرد که برگشت‌ناپذیری زمان در ترمودینامیک با تقارن تحت وارونگی زمانِی در دینامیک کلاسیک که فرض می‌شد بر حرکت اجزاء مولکولی شیء حاکم است، ناسازگار است.
ماکسول و بولتزمن، تا حدی به دلیل نیاز به پاسخ به این انتقادات، به تدریج مفاهیم صراحتاً احتمالاتی را در نظریه وارد کردند. هر دو دریافتند که مقادیر تعادل برای کمیت‌ها را می‌توان با تحمیل توزیع تعادل بر حالت‌های دینامیکی میکروسکوپی سازگار با قیدهایی که بر روی سیستم گذاشته شده‌ و برابر قرار دادن مقادیر مشاهده‌شده‌ی ماکروسکوپی با میانگین‌هایی که روی این کمیت‌ها گرفته شده‌ و با استفاده از توزیع احتمال با حالت‌های میکروسکوپی قابل تعریفند، محاسبه کرد. اما توجیه فیزیکی این روش چه بود؟
در عین حال هر دو ادعا می‌کردند که تحول به سوی حالت تعادل را هم که در نظریه‌ی عدم تعادل خواسته می‌شود می‌توان به طور احتمالاتی فهمید. ماکسول، با مطرح ساختن مفهوم «شیطانکی» که می‌توانست در حالت‌های میکروسکوپی سیستم دستکاری کند، ادعا کرد که قانون افزایش انتروپیک تنها به طور احتمالاتی معتبر است. بولتزمن روایتی احتمالاتی از معادله‌ی خود ارائه کرد که نزدیک شدن به حالت تعادل را توصیف می‌کرد. اما اگر خوب دقت نکنیم باز هم ممکن است تصویر بولتزمن با انتقادات مبتنی بر برگشت و برگشت‌پذیری به شیوه‌ی احتمالاتی روبرو باشد.
بولتزمن در اواخر عمر خود با ارائه‌ی تفسیری از نظریه که زمان در آن متقارن است به انتقادات پاسخ داد. سیستم‌ها تقریباً همیشه به طور احتمالاتی به حالت تعادل نزدیک بودند. اما می‌شد انتظار اغتشاش‌های گذار به حالت‌های عدم تعادل را داشت. سیستم در هر زمان که در حالت عدم تعادل قرار می‌گرفت به احتمال بسیار هم بعد و هم قبل از آن، حالت سیستم به تعادل نزدیک‌ بود. پس چرا ما در جهانی زندگی می‌کنیم که به حالت تعادل نزدیک نیست؟ شاید فضا و زمان در جهان بسیار گسترده است و ما در بخش «کوچکِ» اغتشاشی و غیرتعادلی آن زندگی می‌کنیم. ما فقط در چنین بخش «نامحتملی» از جهان می‌توانیم باشیم، زیرا فقط در چنین ناحیه‌ای موجودات دارای حس وجود دارند. چرا مشاهده می‌کنیم که انتروپی در راستای آینده افزایش می‌یابد اما نه در راستای گذشته؟ پاسخ این بود که درست همان گونه که مراد ما را از سوی پایینِ فضا راستای موضعی گرانش تعریف می‌کند، آن راستای موضعی در زمان که در آن انتروپی افزایش می‌یابد آن چه را ما راستای آینده‌ی زمان تلقی می‌کنیم، تعیین می‌کند. پی. و تی. اهرنفست (P. and T. Ehrenfest) نیز در اثر مهمی (که در کتابشناسی ذکر شده است)، روایتی از معادله‌ی بولتزمن برای نزدیک شدن به حالت تعادل ارائه کردند که از ایرادات برگشتی دوری می‌کرد. در این روایت تصور می‌شد که جواب معادله نه «تحول بسیار محتمل» سیستم که زنجیره‌ای از حالت‌ها را توصیف می‌کند که در زمان‌های مختلف در مجموعه‌ای از سیستم‌ها غالبند و همه با شرایط غیرتعادلی یکسانی آغاز شده‌اند. هر چند هر سیستم منفرد تقریباً به شرایط اولیه‌ی خود باز می‌گشت، اما باز هم این «منحنی تمرکز» (concentration curve) می‌توانست تغییری یکنواخت به سوی حالت تعادل از شرط عدم تعادل اولیه‌ را نشان دهد.
بسیاری از مباحث فلسفی در مکانیک آماری حول مفهوم احتمال به شکلی که در این نظریه پدیدار می‌گردد، متمرکز هستند. این احتمال‌ها را چگونه باید درک کرد؟ انتخاب یک توزیع احتمال را به جای توزیع دیگر، چه امری توجیه می‌کند؟ از این احتمال‌ها در پیش‌بینی در درون نظریه چگونه باید استفاده کرد؟ برای ارائه‌ی تبیین‌هایی برای پدیده‌های مشاهده شده چگونه باید از آن‌ها استفاده کرد؟ و خود توزیع‌های احتمال چگونه تبیین می‌شدند؟ یعنی، ماهیت آن جهان فیزیکی که موجب میشود احتمال‌های صحیح نقش موفقی را که در نظریه دارند ایفا کنند، کدام است؟
۲) آراء فیلسوفان در باره‌ی احتمال و تبیین آماری
فیلسوفانی که به تفسیر احتمال مشغولند معمولاً با این پرسش سر و کار دارند:
احتمال با چند قاعده‌ی صوری مشخص می‌شود که جمع‌‌پذیری احتمال‌ها برای مجموعه‌های مستقل امکان‌ها، محوری‌ترین آن‌ها است. اما نظریه‌ی صوری را باید نظریه‌ی چه چیزی تلقی کنیم؟
برخی از تفسیرها «عین‌گرایانه» هستند و احتمال‌ را شاید فراوانی‌ برآمدها یا حدود آرمانی‌شده‌ی چنین فراوانی‌هایی یا شاید اندازه‌ی «تمایل» یا «گرایش» برآمدها در وضعیت‌های آزمایشی مشخص‌شده تلقی می‌کنند. تفسیرهای دیگر «ذهن‌گرایانه»‌اند و احتمال‌ را اندازه‌ی «درجه‌ی باور» می‌دانند که شاید گواه آن رفتار در وضعیت‌های مخاطره‌آمیز و انتخاب قرعه‌های در دسترس از میان برآمدها باشد. در تفسیری دیگری احتمال‌ را اندازه‌ی نوعی «استلزامِ تا حدی منطقی» در میان گزاره‌ها می‌دانند.
هر چند تفسیرهای ذهن‌گرایانه (یا منطقی) هم برای احتمال در مکانیک آماری پیشنهاد شده است (مثلاً از سوی ای. جینز (E. Jaynes)) اما اغلب مفسران به تفسیر عین‌گرایانه از احتمال تمایل دارند. اما این هم پرسش‌های مهمی را در این باره بی‌پاسخ می‌گذارد که احتمال‌های مفروض کدام ویژگی «عینی» نظریه هستند؟ و طبیعت برای آن که چنین احتمال‌هایی را در رفتار خود نشان دهد چه تدبیری می‌کند؟
فیلسوفانی که با تبیین آماری سر و کار دارند معمولاً به کاربردهای روزمره‌ی احتمال در تبیین یا کاربرد تبیین‌های احتمالاتی در رشته‌هایی مانند علوم اجتماعی توجه دارند. گاهی گفته شده است که تبیین احتمالاتی برآمد یعنی نشان دادن این که احتمال آن هست که برآمد با توجه با حقایق زمینه‌ای جهان روی داده است. در موارد دیگری گفته شده است که تبیین احتمالاتی برآمد، ایجاد حقایقی است که احتمال آن برآمد را نسبت به وضعیتی که آن حقایق نادیده گرفته می‌شوند، بالا می‌برد. دیگران می‌گویند تبیین احتمالاتی نشان دادن این است که رویداد، برآمد علّی ویژگی‌ای از جهان بوده است که خود آن ویژگی با گرایش علّی احتمالاتی مشخص می‌گردد.
الگوهای تبیینی مکانیک آماری عدم تعادل، تحول ویژگی‌های ماکروسکوپی ماده را در الگوی احتمال‌ها روی تحول‌های میکروسکوپی ممکن قرار می‌دهند. در این جا انواع تبیین‌ ارائه شده در مدل‌های فلسفی سنتی قرار می‌گیرند. پرسش‌های بی‌پاسخ اصلی به زمینه‌های تبیینی که در فراسوی احتمال‌ها قرار دارند، مربوط می‌شوند. در نظریه‌ی تعادل، همان گونه که خواهیم دید، الگوی تبیینی آماری دارای ماهیت نسبتاً متفاوتی است.
۳) نظریه‌ی تعادل
روش استانده‌ برای محاسبه‌ی ویژگی‌های سیستمی که از نظر انرژی منزوی و در حالت تعادل است از سوی ماکسول و بولتزمن پدید آمد و جِی گیبز (J. Gibs) آن را به مثابه‌ی مجموعه‌ی بندادی کوچکی (microcanonical ensemble) توسعه داد. در این جا توزیع احتمال بر روی مجموعه‌ای از حالت‌های میکروسکوپی تحمیل می‌شود که با قیدهای خارجیِ تحمیل‌شده بر روی سیستم سازگارند. با استفاده از این توزیع احتمال، مقادیر متوسط توابع مشخص‌‌شده‌ی شرایط میکروسکوپی گاز (میانگین‌های فاز) محاسبه می‌شوند. این‌ها را با شرایط ماکروسکوپی برابر می‌گیرند. اما تعداد معادلات افزایش می‌یابد: چرا این توزیع احتمال؟ چرا مقادیر متوسط برای شرایط ماکروسکوپی؟ میانگین‌های فاز چه ربطی به ویژگی‌های اندازه‌گیری شده‌ی سیستم ماکروسکوپی دارند؟
بولتزمن مقادیر متوسط را برابر با ویژگی‌های ماکروسکوپیکی تلقی می‌کرد که خود میانگین‌های زمانیِِ مقادیر قابل محاسبه از حالت‌های میکروسکوپی بودند. او می‌خواست میانگین‌های فاز را با این میانگین‌های زمانی برابر بگیرد. وی دریافت که اگر سیستمی که در حالتی میکروسکوپی آغاز شده در نهایت از تمام حالت‌های میکروسکوپی ممکن بگذرد، می‌توان این کار را انجام داد. این را فرضیه‌ی ارگودیک می‌نامیدند. اما بر پایه‌های توپولوژیکی و با اندازه‌گیری نظری می‌توان اثبات کرد که این فرضیه غلط است. ادعای ضعیف‌تر نیز مبنی بر این که سیستم در هر حالتی که آغاز شده باشد به طور دلخواه به هر حالت میکروسکوپی دیگر نزدیک می‌شود، نادرست است و حتی اگر درست باشد کاری را که لازم است انجام نمی‌دهد.
ریاضیات نظریه‌ی ارگودیک از این آراء اولیه سرچشمه گرفت. در چه زمانی می‌توان میانگین فاز را با میانگین زمانی بر روی زمان نامتناهی برابر گرفت؟ جی. بیرکهوف (G. Birkhoff) (با نتایج قبلی جِی. فون نیومان(J. von Neumann)) نشان داد که برای تمام مسیرها شاید به استثنای مسیرهایی با اندازه‌ی صفر (اندازه‌ی استانده‌ی به کار رفته برای تعریف تابع احتمال) چنین است اگر نقاط فاز به طور متریک تجزیه‌ناپذیر باشند، یعنی اگر نتوان آن را به بیش از یک قطعه تقسیم کرد به نحوی که هر قطعه اندازه‌ای بزرگ‌تر از صفر داشته باشد و سیستمی که در یک قطعه آغاز شده است همیشه به سیستمی در همان قطعه متحول شود.
اما آیا مدل واقع‌گرایانه‌ی سیستم هیچ گاه شرط تجزیه‌ناپذیری متریک را برآورده می‌ساخت؟ آن چه برای استنتاج تجزیه‌ناپذیری متریک لازم است ناپایداری کافی مسیرها است به نحوی که مسیرها گروه‌هایی با اندازه‌ی مخالف صفر را تشکیل ندهند که از انحراف کافی بر روی کل ناحیه‌ی فاز ناتوانند. وجود ثابت پنهان، حرکت تجزیه‌ناپذیری متریک را نقض می‌کرد. پس از کار زیاد و دشوار که در نزد یا. سینایی (Ya. Sinai) به اوج خود رسید، نشان داده شد که برخی از مدل‌های «واقع‌گرایانه»ی سیستم‌ها نظیر مدلی که در آن گاز چونان «کره‌هایی سخت در جعبه» تلقی می‌شود با تجزیه‌ناپذیری متریک انطباق دارند. از سوی دیگر، نتیجه‌ی دیگر نظریه‌ی دینامیکی، قضیه‌ی کولموگوروف-آرنولد-موزر (Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM))، نشان می‌دهد که مدل‌های واقع‌گرایانه‌تر (مثلاً مدل مولکول‌هایی که به وسیله‌ی پتانسیل‌های «نرم» اندرکنش انجام می‌دهند) احتمالاً از ارگودیسیتی به معنای اکید آن تبعیت نمی‌کنند. در این موارد، استدلال دقیق‌تر (مبتنی بر درجات آزادی متعدد در سیستم متشکل از تعداد زیادی اجزاء تشکیل‌دهنده) نیز مورد نیاز است.
اگر ارگودیسیتی معتبر باشد چه می‌توان نشان داد؟ می‌توان نشان داد برای تمام مجموعه‌ها به استثنای مجموعه‌ای با اندازه‌ی صفر برای نقاط اولیه، میانگین زمانی کمیت فاز بر روی زمان نامتناهی با میانگین فازی آن برابر خواهد بود. می‌توان نشان داد که برای هر ناحیه‌ی قابل اندازه‌گیری، متوسط زمانی که سیستم در آن ناحیه می‌گذراند با اندازه‌ی آن ناحیه متناسب خواهد بود (که با اندازه‌ی احتمال به کار رفته در مجموعه‌ی بندادی کوچک اندازه‌گیری می‌شود). جواب مسئله‌ای دیگر هم مطرح خواهد شد. بولتزمن می‌دانست که توزیع احتمال استانده با توجه به دینامیک سیستم‌ها تحت تحول زمانی ناوردا است. اما از کجا می‌دانستیم که این تنها اندازه‌ی ناوردا از این دست است؟ با ارگودیسیتی می‌توانیم نشان بدهیم که توزیع احتمال استانده تنها توزیعی است که چنین ناوردا است، دست کم اگر خود را به اندازه‌های احتمالی محدود سازیم که احتمال صفر را به هر مجموعه‌ای نسبت دهند که با اندازه‌‌گیری استانده‌ به آن‌ها اندازه‌ی صفر نسبت داده شده است.
پس نوعی «استنتاج استعلاییِ» (transcendental deduction) احتمال استانده را داریم که در حالت تعادل، به حالت‌های میکروسکوپی نسبت داده شده است. تعادل حالتی است که با زمان تغییر نمی‌کند. بنابراین می‌خواهیم اندازه‌ی احتمالی هم که باید کمیت‌های تعادل را با آن اندازه‌گیری کرد در طول زمان ثابت باشد. اگر فرض کنیم که می‌توان اندازه‌های احتمالی که احتمال مخالف صفر را به مجموعه‌ی حالت‌هایی نسبت می‌دهند که اندازه‌گیری معمولی به آن‌ها [احتمالِ] صفر را نسبت می‌دهد نادیده گرفت، آن گاه می‌توانیم نشان دهیم که احتمال استانده تحت دینامیکی که سیستم‌های منفرد را از این حالت میکروسکوپی به حالتی دیگر می‌برد تنها احتمال ناوردا از این دست است.
اما بسیاری از نکات در مورد «دلیلی» کامل برای مکانیک آماریِ تعادل استانده محل تردید باقی مانده است. این مسئله وجود دارد که ارگودیسیتی در مورد سیستم‌های واقع‌گرایانه درست نیست. اگر، چنان که بولتزمن امیدوار بود، کسی تلاش کند بر مبنای این حقیقت که اندازه‌گیری‌های ماکروسکوپی در مقیاس مولکولی «وقت زیادی» می‌گیرد، از برابر نهادن میانگین‌های فاز با کمیت‌های اندازه‌گیری شده به مثابه‌ی دلیل استفاده کند با مسائل زیادی روبرو می‌شود. این حقیقت که تمام نتایج ارگودیک که به طور ریاضی درست هستند به چشمداشت «مجموعه‌هایی با اندازه‌ی صفر» وابسته‌اند، مسائلی را مطرح می‌سازد. از نظر فیزیکی آن چیست که نادیده گرفتن مجموعه‌ای از مسیرها را فقط به دلیل آن که در اندازه‌گیری استانده دارای اندازه‌ی صفر است، درست می‌سازد؟ بالاخره، هنگامی که در واقع ثابت‌های پنهان و عمومی حرکت وجود داشته باشند، این نادیده‌انگاری به پیش‌بینی‌هایی می‌انجامد که به طرزی فاجعه‌بار نادرست هستند. در اثبات این که اندازه‌ی استانده به طور منحصر بفرد ناوردا است، چرا حق داریم اندازه‌های احتمالی را نادیده بگیریم که احتمال‌های مخالف صفر را به مجموعه‌ی شرایطی نسبت می‌دهند که در اندازه‌گیری استانده به آن‌ها احتمال صفر نسبت داده شده است؟ بالاخره، در ابتدای کار، استفاده از همین اندازه‌گیری استانده بود که تلاش می‌کردیم آن را توجیه کنیم.
در هر حال، نظریه‌ی تعادل به مثابه‌ی رشته‌ی علمی مستقل گمراه‌ کننده است. دست آخر، آن چه ما می‌خواهیم بررسی تعادل در زمینه‌ی عدم تعادل است. ما مایلیم، با تلقی تعادل به مثابه‌ی «نقطه‌ی پایان» این تحول دینامیکی، بفهمیم چگونه و چرا سیستم‌ها از حالت ماکروسکوپیکی که در آغاز ثابت بوده متحول می‌شوند. بنابراین اگر خواهان درک کامل‌تری از این امر باشیم که این نظریه‌ی احتمالاتی در فیزیک چگونه کار می‌کند، باید رو به تبیین عمومی عدم تعادل بیاوریم.
۴) نظریه‌ی عدم تعادل
بولتزمن معادله‌ای به نام خود برای تحول توزیع سرعت ذرات از حالت عدم تعادل اولیه برای گازهای رقیق ارائه کرد. معادلات دیگری برای انواع دیگر سیستم‌ها یافته شده است، هر چند تعمیم آن‌ها به گازهای چگال دشوار بوده است. تمام این معادلات را معادلات جنبشی می‌نامند.
آن‌ها را چگونه می‌توان توجیه و تبیین کرد؟ در بحث‌های مربوط به مسئله‌ی برگشت‌ناپذیری که به دنبال کار بولتزمن مطرح شد، توجه بر یک فرض بنیادیِ وی متمرکز بود: فرضیه‌ی مربوط به تعداد برخوردها. در این فرض که در آن تقارن زمانی رعایت نشده بود، فرض گردیده بود که حرکت‌های مولکول‌ها در گاز قبل از برخورد مولکول‌ها به طور آماری ناهم‌بسته است. در استنتاج هر معادله‌ی جنبشی دیگری باید فرض مشابهی کرد. برخی از روش‌های عمومی برای استنتاج این معادلات، رویکرد معادله‌ی اصلی و رویکردی است که بر تقریب فضای فازِ نقاط نشان‌دهنده‌ی میکروحالت‌های سیستم به سلول‌های متناهی و فرض احتمال‌های گذار ثابت از سلولی به سلول دیگر متکی است (فرض مارکوف(Markov)). اما چنین فرضی از دینامیک زیربنایی سیستم به دست نیامده بود و شاید، برای همه‌ی آن‌ها که تا این جا را می‌دانستند، با آن دینامیک ناسازگار بود.
برای کار بدون چنین فرضی و استنتاجِ میلِ به تعادل از دینامیک زیربنایی سیستم تلاش‌هایی صورت گرفته است. از آن جا که آن دینامیک تحت وارونی زمان ناوردا است و معادلات جنبشی نامتقارن زمانی هستند، عدم تقارن زمانی را باید جایی در نظریه‌ی تبیینی قرار داد. یک رویکرد به استنتاج معادلات جنبشی، بر کاری مبتنی است که نظریه‌ی ارگودیک را تعمیم می‌دهد. با اتکا بر ناپایداری مسیرها، نشان می‌دهند که ناحیه‌ای از نقاط فاز که میکروحالت‌های ممکن را برای سیستمی نشان می‌دهد که در شرایط عدم تعادل آماده شده است، اگر قیدها تغییر کنند، سرانجام آن ناحیه به سوی مجموعه‌ای از نقاط فاز متحول خواهد شد که «به طور تقریبی» بر روی کل ناحیه‌ی فضای فازی که قیدهای تغییریافته اجازه می‌دهند گسترده شده است. بر اساس قضیه‌ای بنیادی از دینامیک (قضیه‌ی لیوویل (Liouville\&#۰۳۹;s theorem)) ناحیه‌ی قدیمی نمی‌تواند ناحیه‌ی جدید را «به طور دقیق» پوشش دهد. اما در شیوه‌ی نخست که گیبز توصیف کرده، می‌تواند آن ناحیه را به معنای تقریبی پوشش دهد. برای نشان دادن آن که مجموعه‌ای از نقاط به چنین طریقی گسترده خواهند شد (دست کم در محدوده‌ی زمانی نامتناهی)، تلاش می‌کنند که نشان دهند سیستم دارای ویژگی «کاتورگی» مناسب است. چنین ویژگی‌هایی، به منظور افزایش شدت [کاتورگی]، اختلاط ضعیف، اختلاط، سیستم K بودن یا سیستم برنولی (Bernoulli) را شامل می‌شوند. رویکردهای توپولوژیکی دیگر، در مقایسه با اندازه‌گیری نظری، به این مسئله نیز وجود دارد.
طبق معمول باید نکات احتیاطی زیادی را رعایت کرد. آیا می‌توان واقعاً نشان داد که سیستم دارای این ویژگی کاتوره‌سازی است (مثلاً در پرتوی قضیه‌ی KAM)؟ آیا نتایج حد زمانی نامتناهی به تبیین‌های فیزیکی ارتباطی دارد؟ اگر نتایج، [نتایج] زمان متناهی باشند، آیا آن‌ها نسبیتی شده‌اند یعنی آیا فقط برای جزء‌بندی‌های درست سیستم و نه آن‌هایی که از نظر تجربی مورد علاقه هستند، معتبرند؟
مهم‌تر آن که اختلاط و نوع آن نمی‌تواند کل داستان باشد. تمام نتایج این نظریه متقارن زمانی هستند. برای به دست آوردن نتایج نامتقارن زمانی و نتایجی که در زمان‌های متناهی معتبر باشند و تحول را به شیوه‌ای نشان دهند که معادله‌ی جنبشی بر روی آن زمان‌های متناهی توصیف می‌کند، فرضی هم در این مورد لازم است که احتمال روی ناحیه‌ی نقاطی که به مثابه‌ی نقاط نمایش سیستم در لحظه‌ی اولیه مجاز هستند، چگونه توزیع می‌شود؟ این فرض احتمال باید چگونه به نظر آید و آن را چگونه می‌توان توجیه کرد؟
کریلوف این سؤالات را مطرح و تا حدی بررسی کرد. تلاش برای عقلانی‌سازی این فرض احتمال اولیه از پیشنهاد خود کریلوف مبنی بر این که این نتیجه‌ی اصل «عدم قطعیت» غیر کوانتومی است که از نظر فیزیکی بر نحوه‌ی آماده‌سازی سیستم توسط ما مبتنی است تا این پیشنهاد را در برمی‌گیرد که این نتیجه‌ی سرشت تصادفی بنیادین جهان است به نحوی که در رویکرد گیراردی-ریمینی-وبر (Ghirardi-Rimini-Weber) به فهم اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی توصیف شده است. جایگاه و تبیین فرض احتمال اولیه معمای اصلی مکانیک آماری غیرتعادلی باقی مانده است. غیر از رویکردهای مبتنی بر پدیده‌های اختلاط، رویکردهای دیگری هم به فهم نزدیکی به تعادل وجود دارد. مثلاً اُ. لنفورد (O. Lanford) نشان داده است که برای گاز آرمانی بی‌نهایت رقیق رفتار بسیار محتمل گاز را بر اساس معادله‌ی بولتزمن در فواصل زمانی بسیار کوچک می‌توان نشان داد. در این جا، تفسیر آن معادله از سوی اهرنفست، تفسیری که برای رویکرد اختلاط مناسب است، به نفع ایده‌ی قدیمی‌تر معادله‌ای که تحول بسیار محتمل سیستم را توصیف می‌کند کنار گذاشته می‌شود. این استنتاج دارای این خاصیت است که معادله‌ی بولتزمن را به طور قوی ایجاد می‌کند، اما به بهای آن که فقط در مورد سیستم جداً آرمانی و آن هم فقط برای مدتی بسیار کوتاه به کار رود (هر چند نتیجه ممکن است برای مقیاس‌های زمانی طولانی‌تر درست، هر چند اثبات نشده، باشد). یک بار دیگر توزیع احتمال اولیه‌ای باز هم برای عدم تقارن زمانی لازم است.
۵) برگشت‌ناپذیری
اصول ترمودینامیک جهانی را می‌طلبند که در آن فرآیندهای فیزیکی در زمان پادمتقارن باشند. انتروپی سیستم منزوی‌شده ممکن است به طور خودبخودی رو به آینده، اما نه رو به گذشته، افزایش یابد. اما قوانین دینامیکی حاکم بر حرکت اجزا میکروسکوپی، دست کم در دیدگاه‌های استانده به آن قوانین به مثابه‌ی قوانین معمول دینامیک کلاسیکی یا کوانتومی، ناوردای وارون زمانی هستند. وارد کردن عناصر احتمالاتی به نظریه‌ی بنیادین باز هم به خودی خود توضیح نمی‌دهد که پادتقارن زمانی در کجای تبیین توضیحی قرار می‌گیرد. حتی اگر به پیروی از ماکسول قانون دوم ترمودینامیک را در احکام آن صرفاً احتمالاتی تلقی کنیم، باز هم پادمتقارن زمانی باقی می‌ماند.
در طول تاریخ این رشته، پیشنهادهایی حاکی از این امر مطرح گردیده است که قانون دینامیکی عمیق و بنیادینی خود پادتقارن زمانی را در حرکت اجزا میکروسکوپی وارد می‌کند.
در پیشنهادهای دیگر «تداخلِ» عملاً حذف‌ناپذیر تأثیرات علّی کاتوره‌ای از خارج از سیستم در سیستم، واسطه‌ی تغییر انتروپیک سیستم تلقی می‌شود. مثلاً پنهان داشتن کامل سیستم از تأثیرات ظریف گرانشی از بیرون ناممکن است. موضوع نقش تداخل خارجی در رفتار به ظاهر خودبخودی آن چه به مثابه‌ی سیستم منزوی شده آرمانی شده، بسیار مورد بحث قرار گرفته است. در این جا، وجود سیستم‌های خاص (مانند سیستم‌های اکوی اسپین که در تشدید مغناطیسی هسته‌ای با آن روبرو می‌شویم) در برهان‌ها نقش ایفا می‌کند، زیرا به نظر می رسد این سیستم‌ها وقتی منزوی هستند میل خودبخودی به تعادل نشان می‌دهند با این همه می‌توانند موجب شوند که رفتار ظاهری انتروپیک آن‌ها با تکانه‌ای مناسب از بیرون از سیستم «به عقب حرکت کند». به نظر می‌رسد این امر افزایش انتروپیک را دور از آن نوع دخالت بیرونی که به راستی نظم اولیه‌ی مستتر در سیستم را نابود می‌کند، نمایش می‌دهد. در هر حال دریافتن این نکته دشوار است که چگونه تداخل خارجی کار وارد کردن پادتقارن زمانی را انجام می‌دهد مگر آن که پادتقارن «به طور تعمدی» در ویژه‌سازی تداخل جای گیرد.
نخستین کسی که نوعی جواب «کیهان‌شناختی» را برای این مسئله مطرح پیشنهاد کرد، بولتزمن بود. همان گونه که در بالا اشاره شد، وی جهانی را مطرح ساخت که به طور کلی به تعادل نزدیک است و ناحیه‌های فرعی «کوچکی» از آن با اغتشاش‌هایی از آن حالت دور شده‌اند. در چنین ناحیه‌ی فرعی‌ای ما جهان را دور از حالت تعادل می‌یابیم. با مطرح ساختن فرض‌های آشنای احتمالاتی پادمتقارن زمانی، محتمل می‌شود که در چنین ناحیه‌ای حالت‌هایی با انتروپی پایین را در یک جهت زمانی و حالت‌هایی با انتروپی بالا را در جهت دیگر بیابیم. سپس، حل مسئله را با وارد کردن پیشنهاد دیگر بولتزمن تمام می‌کنیم که مراد ما از جهت آینده‌ی زمان جهتی از زمان است که در آن انتروپی افزایش می‌یابد.
کیهان‌شناسی فعلی شاهد جهانی است کاملاً متفاوت از آن چه بولتزمن فرض کرده‌ بود. تا آن جا که ما می‌توانیم بگوییم، جهان به مثابه‌ی یک کل و با افزایش مشابه در انتروپی در آینده و در همه جا، در حالتی به شدت نامتعادل قرار دارد. اما ساختار کیهان به نحوی که ما می‌شناسیم، راه حل بدیلی را برای مسئله‌ی منشأ پادتقارن زمانی در ترمودینامیک ممکن می‌سازد. به نظر می‌رسد جهان از نظر فضایی در حال انبساط است و مبدأ آن در حدود ده میلیارد سال پیش در تکینگی نخستین یعنی مهبانگ قرار دارد؛ اما به خودی خود پادتقارن زمانی مورد نیاز برای ترمودینامیک را فراهم نمی‌سازد، زیرا فیزیک جهانی در حال انبساط با انتروپی ایستا یا کاهنده را هم می‌پذیرد. در واقع، در برخی مدل‌های کیهان‌شناختی که در آن جهان پس از انبساط منقبض می‌شود، معمولاً هر چند نه همیشه، فرض شده است که حتی در دوره‌ی انقباض انتروپی به افزایش خود ادامه می‌دهد.
منبع پادتقارن انتروپیک در حالت فیزیکی جهان در مهبانگ جستجو می‌شود. معمولاً فرض می‌شود ماده، «درست پس از» مهبانگ در حالت انتروپی بیشینه است- در تعادل گرمایی. اما در این فرض، ساختار «خود فضا» یا، اگر دوست دارید، شیوه‌ی توزیع ماده در فضا و قرار گرفتن آن در معرض کشش عمومی گرانشِ تمام ماده برای تمام ماده‌های دیگر در نظر گرفته نمی‌شود. جهانی که در آن ماده به طور یکنواخت توزیع شده باشد، جهانی با انتروپی پایین است. حالت انتروپی بالا حالتی است که در آن خوشه‌زنی ماده را در ناحیه‌های چگال با فضاهای تهی بسیاری که این نواحی را از هم جدا می‌سازد، می‌بینیم. این انحراف از چشمداشت معمول- یکنواختی فضایی به مثابه‌ی حالت بالاترین انتروپی- ناشی از این حقیقت است که گرانش، بر خلاف نیروهای حاکم بر مثلاً اندرکنش مولکول‌ها در گاز، صرفاً نیرویی کششی است.
پس می‌توان برای مهبانگ حالت اولیه‌ی «انتروپی بسیار پایین»، با یکنواختی فضایی ماده که «مخزن انتروپی» را تأمین می‌کند، را فرض کرد. با انبساط جهان، ماده از حالت توزیع یکنواخت با دمای یکنواخت به حالتی می‌رود که در آن ماده به شدت در ستاره‌های داغ در محیط فضای تهی سرد، خوشه بسته است. در این حالت با جهانی با عدم تعادل شدید گرمایی که می‌شناسیم روبروییم. پس «انتروپی پایین اولیه» حالتی در گذشته خواهد بود که (تا آن جا که ما می‌دانیم) با هیچ نوع تکینگی انطباقی ندارد، چه رسد به انتروپی پایین در آینده. اگر کسی آن حالت انتروپی پایین اولیه را شرط کند، با استفاده از احتمال‌های متقارن زمانی مکانیک آماری، به پیش‌بینی جهانی می‌رسد که انتروپی آن در زمان افزایش یافته است. البته این انتروپی کل جهان نیست که قانون دوم به آن مربوط می‌شود بلکه انتروپی سیستم‌های «کوچکی» است که موقتاً از نظر انرژی از محیط‌های خود منزوی شده‌اند. می‌توان به شیوه‌ای که، قدمت آن به اچ. رایشنباخ (H. Reichenbach) می‌رسد ادعا کرد که افزایش انتروپی جهان به مثابه‌ی یک کل، باز هم با استفاده از فرض‌های معمول احتمالاتی پادتقارن زمانی، به احتمال بالایی منتهی خواهد شد که افزایش انتروپی «سیستم شاخه‌ای» کاتوره‌ای مشابه با افزایش انتروپی جهان و دیگر سیستم‌های شاخه‌ای باشد. اغلب برهان‌هایی که در نوشته‌های مختلف آمده و حاکی از آنند که چنین است، ناقصند، اما با این همه استنتاج منطقی است.
فرض انتروپی پایین اولیه برای مهبانگ مجموعه‌ی پرسش‌های فلسفی مخصوص به خود را مطرح می‌سازد: با توجه به احتمال‌های استانده که در آن انتروپی بالا به شدت محتمل است، ما چگونه می‌توانیم انتروپی پایین و به طور بنیادین «نامنتظرِ» حالت اولیه را توضیح دهیم؟ در واقع، آیا می‌توانیم استدلال احتمالاتی مناسب برای سیستم‌های جهانی را که ما می‌شناسیم به حالت اولیه‌ی جهان به مثابه‌ی یک کل اعمال کنیم؟ موضوعات این جا یادآور منازعات قدیمی در باره‌ی برهان الاهیاتی بر له وجود خدا هستند.
● ترمودینامیک به مکانیک آماری
جای شگفتی نیست که رابطه‌ی نظریه‌ی قدیمی‌تر ترمودینامیک با مکانیک آماری جدید که بر آن مبتنی است، رابطه‌ای است تؤام با نوعی پیچیدگی.
نظریه‌ی قدیمی برای قوانین خود شرایط احتمالاتی نداشت. اما همان گونه که ماکسول به روشنی آگاه بود، اگر نظریه‌ی جدید احتمالاتی جهان را به درستی توصیف می‌کرد، پس این نظریه‌ی قدیمی نمی‌توانست «دقیقاً» درست باشد. یا می‌توان نظریه‌ی ترمودینامیک را به شکل سنتی آن حفظ کرد و رابطه‌ی اصول آن را با نتایج احتمالاتی جدیدتر به دقت توضیح داد، یا می‌توان، همان گونه که به طرق عمیقاً جالبی انجام شده است، «ترمودینامیک آماری» جدیدی را ایجاد کرد که ساختار احتمالاتی را در نظریه‌ی قدیمی وارد می‌کند.
از نظر مفهومی، رابطه‌ی نظریه‌ی قدیمی با نظریه‌ی جدید رابطه‌ای است کاملاً پیچیده. مفاهیم نظریه‌ی قدیمی (حجم، فشار، دما، انتروپی) باید به مفاهیم نظریه‌ی جدید (ساختمان مولکولی، مفاهیم دینامیکی حاکم بر حرکت اجزاء مولکولی، مفاهیم احتمالاتی که یا حالت‌های سیستم منفرد یا توزیع حالت‌ها را روی مجموعه‌های تصوری از سیستم‌های موضوع قیدهای مشترک مشخص می‌سازند) مرتبط ساخت.
یک جمله‌ی نظریه‌ی ترمودینامیک مانند «انتروپی» با مفاهیم بسیار و متنوعی که در تبیین جدیدتر تعریف می‌شوند وابسته است. مثلاً انتروپی بولتزمن وجود دارد که ویژگی سیستم منفرد است و بر اساس توزیع فضایی و اندازه‌ حرکت مولکول‌های آن تعریف می‌شود. از سوی دیگر انتروپی‌های گیبز وجود دارد که می‌توان آن‌‌ها را بر اساس توزیع احتمال روی مجموعه‌ی سیستم‌های گیبزی تعریف کرد. برای مثال انتروپی دقیق گیبز وجود دارد که باز هم بر پیچیدگی کار می‌افزاید و فقط با احتمال مجموعه تعریف می‌شود و در مشخص‌سازی حالت‌های تعادل بسیار مفید است و انتروپی تقریبی گیبز که تعریف آن مستلزم جزء‌بندی فضای فاز در سلول‌های متناهی و توزیع احتمال اصلی است و در مشخص‌سازی میل به تعادل از منظر مجموعه مفهومی مفید است. علاوه بر این مفاهیم که خصلت اندازه‌‌گیری نظری دارند، مفاهیم توپولوژیکی هم وجود دارند که می‌توانند نقش نوعی انتروپی را ایفا کنند.
این پیچیدگی مخالف این ادعا نیست که مکانیک آماری جهان را به طریقی توصیف می‌کند که توضیح می‌دهد چرا ترمودینامیک کارآمد است و چنین عمل می‌کند. اما پیچیدگی روابط درونی میان نظریه‌ها باید فیلسوف را در استفاده از این رابطه به مثابه‌ی تقلیل بین‌نظری ساده‌ای که خوب فهمیده شده محتاط بسازد.
از نظر فلسفی تا حدی جالب است که رابطه‌ی ترمودینامیک با مکانیک آماری شباهتی با ویژگی‌هایی را نشان می‌دهد که در نظریه‌های کارکردگرایانه‌ی رابطه‌ی ذهن- جسم عیان شده است. برای مثال، این حقیقت را در نظر بگیرید که سیستم‌هایی با ساختارهای فیزیکی بسیار متفاوت (مثلاً گازی متشکل از مولکول‌هایی که به وسیله‌ی نیروها اندرکنش انجام می‌دهند از یک سو و تابش که اجزاء تشکیل‌دهنده‌ی آن طول موج‌هایی نور هستند که از نظر انرژی با هم تزویج شده‌اند از سوی دیگر)، می‌توانند در ویژگی‌های ترمودینامیکی سهیم باشند. مثلاً می‌توانند در یک دما باشند. معنای فیزیکی این امر آن است که دو سیستم اگر ابتدا در تعادل باشند و سپس از نظر انرژی تزویج شوند، شرایط تعادل اولیه‌ی خود را حفظ خواهند کرد. شباهت با این ادعا که حالت ذهنی‌ای را که به طور کارکردی تعریف شده باشد (مثلاً باور) می‌توان با انواع زیادی از وسایل فیزیکی مجسم کرد، روشن است.
● جهت زمان
دیدیم که نخستین کسی که گفت برداشت ما از جهت آینده‌ی زمان با جهتی از زمان تعیین می‌شود که در آن انتروپی در بخشی از جهان که ما در آن قرار داریم افزایش می‌یابد، بولتزمن بود. نویسندگان متعددی این پیشنهاد را دنبال کردند و نظریه‌ی «انتروپیک» پادتقارن زمان موضوعی در فلسفه‌ی زمان باقی مانده که مورد نزاع فراوان است.
نخست باید بپرسیم که نظریه واقعاً چه ادعایی دارد. در روایت معقول نظریه چنین ادعایی مطرح نمی‌شود که ما ترتیب زمانی رویدادها را با بررسی انتروپی سیستم‌ها و تلقی آخرین رویداد به مثابه‌ی رویدادی که در آن سیستم انتروپی بالاتری دارد، پیدا می‌کنیم. بلکه ادعای مطروحه آن است که حقایق مربوط به پادتقارن انتروپیک سیستم‌ها در زمان است که «مبنای» پدیده‌هایی است که ما آن‌‌ها را نشان‌دهنده‌ی ماهیت پادتقارنی خود زمان می‌دانیم.
برخی از ویژگی‌هایی که پادتقارن زمانی شهودی آن‌‌ها را ما، شاید، «تشکیل‌دهنده‌ی» ماهیت پادمتقارن زمان می‌دانیم کدام‌اند؟ پادتقارن‌هایی در معرفت وجود دارد؛ ما خاطرات و سوابقی از گذشته، اما نه از آینده، داریم. پادتقارن‌های تعین وجود دارد؛ ما علیت را از گذشته به حال به آینده و نه بر عکس روان می‌بینیم. پادتقارن‌هایی در نگرانی وجود دارد؛ ما ممکن است از گذشته پشیمان باشیم اما با نگرانی در انتظار آینده هستیم. پادتقارن‌هایی هم در «تعیین‌شدگی» واقعیت وجود دارد؛ گاهی ادعا می‌شود که گذشته و حال واقعیتی تعیین‌شده دارند، اما آینده که عرصه‌ی امکان‌های صرف است اصلاً چنین تعیین‌شدگی‌ای ندارد.
نظریه‌ی انتروپیک در پذیرفتنی‌ترین صورت‌بندی آن ادعایی است مبنی بر این که ما می‌توانیم منشأ تمام این پادتقارن‌های شهودی را با رجوع به حقیقت پادتقارن انتروپیک جهان توضیح دهیم.
با نگاه به تمثیلی که بولتزمن به کار برده است می‌توان این امر را بهتر درک کرد: تبیین گرانشی از بالا و پایین. مراد ما از جهت پایین در موقعیت فضایی چیست؟ تمام پدیده‌هایی که ما به واسطه‌ی آن‌ها به طور شهودی جهت رو به پایین را می‌شناسیم (مثلاً مانند جهتی که سنگ سقوط می‌کند) بر اساس جهت فضایی نیروی گرانشی موضعی تبیین می‌شوند. حتی آگاهی بلاواسطه‌ی ما را از این که کدام جهت پایین است می‌توان بر اساس اثر گرانش بر روی مایع درون کانال‌های نیمه‌دایره‌ای در گوش داخلی مهره‌داران (semi-circular canals) توضیح داد. اصلاً برای ما تعجب‌آور نیست که «پایین» در استرالیا در جهت عکس «پایین» در شیکاگو قرار دارد. از این هم تعجب نمی‌کنیم که به ما گفته شود در فضا، دور از شیء گرانشی بزرگی مانند زمین، چیزی به نام تمایز بالا - پایین و جهتی از فضا که جهت رو به پایین باشد، وجود ندارد.
نظریه‌پرداز انتروپیک هم ادعا می‌کند که ویژگی‌های انتروپیک پادتقارن‌های شهودی فوق‌الذکر، این را که در نواحی‌ای از جهان که در آن‌‌ها پادتقارن انتروپی در زمان در جهت عکس قرار دارد جهت گذشته - آینده‌ی زمان متضاد خواهد بود و در ناحیه‌ای از جهان بدون پادتقارن انتروپی هیچ جهتی از زمان گذشته یا آینده به شمار نمی‌آید، توضیح می‌دهد.
مسئله‌ی بزرگی که باقی می‌ماند تلاش برای نشان دادن این است که پادتقارن انتروپیک آن قدر تبیینی هست که برای تبیین پادتقارن‌های دیگر کافی باشد همان گونه که پادتقارن گرانشی می‌تواند تمایز بالا و پایین را تبیین کند. به رغم نوشته‌های جالب بسیار در این زمینه، مسئله حل‌نشده باقی مانده است.

http://www.aftab.ir/images/article/break.gifمترجم: ابوالفضل - حقیری قزوینی
منبع: سایت - باشگاه اندیشه - به نقل از دائره‌المعارف استانفورد
کتاب‌شناسی
بحث جامعی از این مباحث در اسکلار ۱۹۹۳ آمده است. رایشنباخ ۱۹۵۶ از نظر اهمیت تاریخی جالب است. بحثی قابل فهم و روزآمد از موضوعات بنیادی در آلبرت ۲۰۰۰ آمده است. بحث فلسفی بیشتر در گوتمن ۱۹۹۹ آمده است. در پرایس ۱۹۹۹، دفاع جانانه‌ای از رویکرد انتروپی پایین به پادتقارن زمانی صورت گرفته است. در براش ۱۹۶۵، ترجمه‌ی انگلیسی بسیاری از مقالات اساسی اصلی آمده است. براش ۱۹۷۶ بحثی تاریخی از تحول این نظریه ارائه می‌کند. دو اثر بنیادی که دارای اهمیت بسیار هستند عبارت‌اند از گیبز ۱۹۶۰ و اهرنفست و اهرنفست ۱۹۵۹.
• Albert, D., ۲۰۰۰, Time and Chance, Cambridge MA, Harvard University Press.
• Brush, S., ed., ۱۹۶۵, Kinetic Theory, Oxford, Pergamon Press.
• Brush, S., ۱۹۷۶, The Kind of Motion That We Call Heat, Amsterdam, North-Holland.
• Ehrenfest, P. and T., ۱۹۵۹, The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Ithaca NY, Cornell University Press.
• Gibbs, J., ۱۹۶۰, Elementary Principles in Statistical Mechanics, New York, Dover.
• Guttman, Y., ۱۹۹۹, The Concept of Probability in Statistical Physics, Cambridge, Cambridge University Press.
• Price, H., ۱۹۹۶, Time\&#۰۳۹;s Arrow and the Archimedean Point, Oxford, Oxford University Press.
• Reichenbach, H., ۱۹۵۶, The Direction of Time, Berkeley, University of California Press.
• Sklar, L., ۱۹۹۳, Physics and Chance: Philosophical Issues in the Foundations of Statistical Mechanics, Cambridge, Cambridge University Press.

باشگاه اندیشه ( www.bashgah.net (http://njavan.com/forum/redirector.php?url=http%3A%2F%2Fwww.bashgah.net) )