*مینا*
9th February 2010, 09:19 PM
http://www.aftab.ir/articles/science_education/basis_science/images/e864b0a2252ae6a5a892d490ff9683cd.jpg
همانطور که میدانیم ریاضیات و فیزیک رابطه تنگاتنگی با هم دارند ، برای اینکه مقوله ریاضیات برای انسان ، از شمارش موجودات هستی شروع شده و سیستم شمارش اعداد به تعداد انگشتان دو دست بوده است ( یعنی مبنای دهدهی ) ، در واقع راهبرد انسان در ریاضیات مقایسه تعداد اشیا با تعداد انگشتان دو دست است یعنی یک حرفه دستی که امروزه مکانیزه و ماشینی شده است . امروزه دو شاخه ریاضیات و فیزیک جزء علوم پایه محسوب میشوند و متاسفانه چون از هم جدا شده و هرکدام به صورت حرفه‌ای و انحصاری دنبال میشوند ، در پاره‌ای از موارد مشاهده میشود که این دو علم فاصله‌ای از هم گرفته و در بعضی از موارد سر ناسازگاری با هم گذاشته و تناقض‌هایی مابین آن دو دیده میشود . در این مبحث سعی می‌کنیم که این دو شاخه جدا شده را پیوندی تازه زنیم و این دو را با هم آشتی قهر ناپذیر داده ، همراه و هم سو کنیم و به وسیله این دو ، کلیه پدیده‌های موجود در عالم را توجیه نماییم ، البته تا حد توان و مقدوراتمان .
ریاضیات مختص فیزیک ، ریاضیاتی انحصاری میباشد که صرفا در خدمت فیزیک بوده و نمی‌تواند از قواعد فیزیکی عدول کند . و به قول دکارت " بعد از تحقیق بسیار دریافتم که در علم ریاضیات ، شما با مسایل مربوط به ترتیب و مقدار درگیر هستید و برای شما هیچ فرقی ندارد که این مقدار مربوط به ستارگان باشد یا هر شکل دیگری . بنابراین باید علمی وجود داشته باشد که هر پرسشی مربوط به ترتیب و مقدار را پاسخ گوید ، بدون توجه به آنکه راجع به ترتیب یا مقدار چه چیزی صحبت می‌کند . من این علم را ریاضیات عام می‌نامم ."
● دستگاه‌های شمار !
▪ شمارش : اگر هر دست ما به‌جای ۵ انگشت ۴ انگشت داشت ، چه چیزهایی در زندگی روزمره‌مان تغییر می‌کرد ؟
ما به‌طور معمول برای شمردن ، دسته‌های ده‌تایی درست می‌کنیم . ابتدا با ۱۰ تا یکی - ۱ بسته ده‌تایی ، با ۱۰ بسته ده‌تایی - یک بسته صدتایی و با ۱۰ صدتایی یک بسته هزارتایی درست می‌کنیم و به همین ترتیب ، دسته‌بندی ده‌تایی را ادامه می‌دهیم . نماد ۲۱۵ نشان می‌دهد که ۲۱۵ شیء را می‌توانیم در ۲ بسته صدتایی ، ۱ بسته ده‌تایی و پنج یکی قرار دهیم . سیستم شمارش اعداد بر مبنای ۱۰ به دستگاه شمار هندو - عربی شهرت یافته است . گرچه مفید بودن انگشتان در نمایش اعداد به توسعه وسیعی از سیستمی از اعداد که بر مبنای ده قرار دارد منجر شده است ، لیکن عدد ده به هیچ وجه تنها پایه به کار رفته برای سیستم اعداد نمی‌باشد . سیستم شمارش بابلی‌ها ترکیبی از مبناهای ده و شصت را مورد استفاده قرار می‌داد که نشانه‌های آن امروزه در واحد اندازه‌گیری زمان و زاویه یعنی ۶۰ ثانیه و ۶۰ دقیقه مشهود است ، در گذشته‌های دور عددهای نجومی در مبنای ۶۰ نوشته می‌شد . امروزه در الکترونیک دیجیتال از مبنای دودویی بیشتر استفاده میشود . در طول تاریخ ثبت شده است که پیشرفت جامعه‌های متمدن با توسعه سیستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( کتابت و کتاب نویسی ) همراه بوده که چنین به‌نظر می رسد که همگی ریشه در وحی کتب آسمانی و تاریخ ادیان داشته است .
نشانه‌هایی از سیستم‌هایی از اعداد بر پایه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت ، و بیست در میان سرخ پوستان آمریکای شمالی پیدا شده است . بعضی شواهد از سیستم اعداد بر پایه دوازده را میتوان در مثال اینکه هر فوت دوازده اینچ است یا هر شیلینگ انگلیسی دوازده پنس و یا اینکه هر سال دوازده ماه است و یا شبانه روز دو تا ۱۲ ساعت است و ... ، ملاحظه کرد . اما در جوامع امروزی به‌نظر میرسد که سیستم اعداد بر پایه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزایای ذاتی ، بلکه به نظر میرسد که به سبب وجود ده انگشت دو دست میباشد . عمل‌های حساب دهدهی برای ما به‌خوبی آشنا هستند . دانش آموز دبستانی جدول‌های جمع و ضرب را برای ۹ عدد اصلی و صفر به همراه بعضی قواعد برای نگهداشتن یک رقم از یک عمل به عمل بعد یاد می‌گیرد و سرانجام با این قواعد یاد می‌گیرد که عمل‌های حسابی را روی هر دسته پایان داری از اعداد دهدهی انجام دهد . در سیستم‌های اعداد دیگر ، دسته قواعد مشابه برای حساب وجود دارد . بخش زیر این قواعد را برای سیستم دوجینی ( دوازده تایی ) توصیف می‌کند .
● سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی
ما آنچنان به شمارش در سیستم دهدهی عادت کرده‌ایم که وقتی می خواهیم از سیستم اعداد متفاوتی استفاده کنیم ، کاملا مشکل است که بسیاری از عادت‌های فکر کردن را نادیده بگیریم . برای اینکه بعضی از این اشکالات تذکر داده شوند ، ما در باره سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی بحث می‌کنیم .
در این سیستم علامتهای زیر را به عنوان نشانه‌های اساسی به کار می‌بریم .
۱ , ۲ , ۳ , ۴ , ۵ , ۶ ,۷ , ۸ , ۹ , D , E
حرف D به جای عدد دهدهی ۱۰ و حرف E به‌جای عدد دهدهی ۱۱ میباشد . گیریم برای جلوگیری از اشتباه کردن آنها را با نامهای دهدهی dec و el بنامیم . عدد بعد از el یک دوجین است که در این طرز نمایش به صورت ۱۰ نوشته خواهد شد . عدد بعدی ، که همان عدد سیزده دهدهی است ، به صورت ۱۱ نوشته میشود . از برخی لحاظ بهتر بود که به‌جای علامتهای ۱ تا ۹ نیز نشانه‌های کاملا جدیدی برای علامتهای اساسی سیستم دوجینی انتخاب می‌گردید . زیرا کاربرد علامتهای دهدهی قواعد دهدهی را پیشنهاد می‌کنند که در سیستم دوجینی صادق نیستند .
برای مثال ، به‌جای قاعده جمع دهدهی شش به اضافه پنج مساوی یازده ، باید شش به اضافه پنج مساوی el قرار گیرد .
۶+۵=(یازده دهدهی)=E
قاعده دهدهی شش به اضافه هفت مساوی سیزده ، باید بوسیله شش به اضافه هفت مساوی یک دوجین و یک تعویض گردد ، یا
۶+۷=۱۱دوجینی
پس باید دقت شود که دوباره به طرز تفکر قواعد دهدهی برنگردیم . برای علامتهای اساسی حساب دوجینی یک جدول جمع جدید همچنین یک جدول ضرب جدید باید آموخته شود . برای مثال پنج ضربدر هشت مساوی چهل دهدهی یا سه دوجین و چهار است ، یا
۵*۸=۴۰=۳*۱۲+۴=۳۴دوجینی
برای نوشتن اعداد دوجینی به هر اندازه ، سیستم « ارزش محل » را به کار می‌بریم ، یعنی برای تعیین مقدار هر رقم محل آنرا نسبت به ممیز دوجینی ( نه ممیز دهدهی ) در نظر می‌گیریم ، هر محل سمت راست یا سمت چپ ممیز دوجینی از لحاظ مقدار از محل مجاور خود به اندازه یک ضریب دوجین متفاوت می باشد . به طور مثال :
▪ ۱۷۱دهدهی=۳+۲۴+۱۴۴=۳+(۱۲*۲)+(۱۲ *۱۲*۱)=۱۲۳دوجینی
▪ ۱.۶۱۸۰۵۵۵۵۵۵۵دهدهی=(۱۲/۱۲/۵)+(۱۲/۷)+۱=۱.۷۵دوجینی
سیستم دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از این حقیقت ناشی می شود که تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر میباشد . دوازده بر یک ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذیر است .
بنابراین بسیاری از محاسبات دستی در سیستم دوجینی تا حدودی ساده‌تر از سیستم دهدهی هستند ، بعضی از کسرهای معمولی که در مبنای دهدهی به صورت عددهای کسری متناوب در می‌آیند در مبنای دوجینی چنین نیستند . برای نمونه کسر ۳/۱ که همان ۱۲/۴ میباشد در مبنای دوجینی به صورت ۰.۴ است . بعضی از کسرهای ساده در مبنای دوجینی به صورت زیر می باشند .
۱) دوجینی ۰.۲ = دهدهی ۱۲/۲=۶/۱
۲) دوجینی ۰.۳ = دهدهی ۱۲/۳=۴/۱
۳) دوجینی ۰.۴ = دهدهی ۱۲/۴=۳/۱
۴) دوجینی ۰.۶ = دهدهی ۱۲/۶=۲/۱
با وجود راحتی ، مبنای دوجینی احتمالا هرگز برای محاسبات دستی پذیرفته نخواهد شد . ولی لازم است بدانیم ، که سیستم شمارش در عالم و هستی ما بر پایه مبنای دوجینی یا دوازده‌تایی استوار گردیده است که در مباحث بعدی به این موضوع بسیار مهم خواهیم پرداخت . در واقع مبنای شمارش اعداد در ریاضیات مختص فیزیک نیز ، سیستم دوازده‌تایی یا همان سیستم شمارش دوجینی در نظر گرفته میشود .
چنین به‌نظر میرسد ، موجودات هوشمند منجمله انسان و UFO و USO که توانایی انجام دادن عملیات و محاسبات ریاضی را دارند به‌طور ذاتی از سیستم‌های شمارش بر مبنای ده‌تایی و دوازده‌تایی بهره میجویند.
http://www.aftab.ir/images/article/break.gif http://iranelmi.blogfa.com (http://njavan.com/forum/redirector.php?url=http%3A%2F%2Firanelmi.blogfa.co m)
همانطور که میدانیم ریاضیات و فیزیک رابطه تنگاتنگی با هم دارند ، برای اینکه مقوله ریاضیات برای انسان ، از شمارش موجودات هستی شروع شده و سیستم شمارش اعداد به تعداد انگشتان دو دست بوده است ( یعنی مبنای دهدهی ) ، در واقع راهبرد انسان در ریاضیات مقایسه تعداد اشیا با تعداد انگشتان دو دست است یعنی یک حرفه دستی که امروزه مکانیزه و ماشینی شده است . امروزه دو شاخه ریاضیات و فیزیک جزء علوم پایه محسوب میشوند و متاسفانه چون از هم جدا شده و هرکدام به صورت حرفه‌ای و انحصاری دنبال میشوند ، در پاره‌ای از موارد مشاهده میشود که این دو علم فاصله‌ای از هم گرفته و در بعضی از موارد سر ناسازگاری با هم گذاشته و تناقض‌هایی مابین آن دو دیده میشود . در این مبحث سعی می‌کنیم که این دو شاخه جدا شده را پیوندی تازه زنیم و این دو را با هم آشتی قهر ناپذیر داده ، همراه و هم سو کنیم و به وسیله این دو ، کلیه پدیده‌های موجود در عالم را توجیه نماییم ، البته تا حد توان و مقدوراتمان .
ریاضیات مختص فیزیک ، ریاضیاتی انحصاری میباشد که صرفا در خدمت فیزیک بوده و نمی‌تواند از قواعد فیزیکی عدول کند . و به قول دکارت " بعد از تحقیق بسیار دریافتم که در علم ریاضیات ، شما با مسایل مربوط به ترتیب و مقدار درگیر هستید و برای شما هیچ فرقی ندارد که این مقدار مربوط به ستارگان باشد یا هر شکل دیگری . بنابراین باید علمی وجود داشته باشد که هر پرسشی مربوط به ترتیب و مقدار را پاسخ گوید ، بدون توجه به آنکه راجع به ترتیب یا مقدار چه چیزی صحبت می‌کند . من این علم را ریاضیات عام می‌نامم ."
● دستگاه‌های شمار !
▪ شمارش : اگر هر دست ما به‌جای ۵ انگشت ۴ انگشت داشت ، چه چیزهایی در زندگی روزمره‌مان تغییر می‌کرد ؟
ما به‌طور معمول برای شمردن ، دسته‌های ده‌تایی درست می‌کنیم . ابتدا با ۱۰ تا یکی - ۱ بسته ده‌تایی ، با ۱۰ بسته ده‌تایی - یک بسته صدتایی و با ۱۰ صدتایی یک بسته هزارتایی درست می‌کنیم و به همین ترتیب ، دسته‌بندی ده‌تایی را ادامه می‌دهیم . نماد ۲۱۵ نشان می‌دهد که ۲۱۵ شیء را می‌توانیم در ۲ بسته صدتایی ، ۱ بسته ده‌تایی و پنج یکی قرار دهیم . سیستم شمارش اعداد بر مبنای ۱۰ به دستگاه شمار هندو - عربی شهرت یافته است . گرچه مفید بودن انگشتان در نمایش اعداد به توسعه وسیعی از سیستمی از اعداد که بر مبنای ده قرار دارد منجر شده است ، لیکن عدد ده به هیچ وجه تنها پایه به کار رفته برای سیستم اعداد نمی‌باشد . سیستم شمارش بابلی‌ها ترکیبی از مبناهای ده و شصت را مورد استفاده قرار می‌داد که نشانه‌های آن امروزه در واحد اندازه‌گیری زمان و زاویه یعنی ۶۰ ثانیه و ۶۰ دقیقه مشهود است ، در گذشته‌های دور عددهای نجومی در مبنای ۶۰ نوشته می‌شد . امروزه در الکترونیک دیجیتال از مبنای دودویی بیشتر استفاده میشود . در طول تاریخ ثبت شده است که پیشرفت جامعه‌های متمدن با توسعه سیستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( کتابت و کتاب نویسی ) همراه بوده که چنین به‌نظر می رسد که همگی ریشه در وحی کتب آسمانی و تاریخ ادیان داشته است .
نشانه‌هایی از سیستم‌هایی از اعداد بر پایه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت ، و بیست در میان سرخ پوستان آمریکای شمالی پیدا شده است . بعضی شواهد از سیستم اعداد بر پایه دوازده را میتوان در مثال اینکه هر فوت دوازده اینچ است یا هر شیلینگ انگلیسی دوازده پنس و یا اینکه هر سال دوازده ماه است و یا شبانه روز دو تا ۱۲ ساعت است و ... ، ملاحظه کرد . اما در جوامع امروزی به‌نظر میرسد که سیستم اعداد بر پایه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزایای ذاتی ، بلکه به نظر میرسد که به سبب وجود ده انگشت دو دست میباشد . عمل‌های حساب دهدهی برای ما به‌خوبی آشنا هستند . دانش آموز دبستانی جدول‌های جمع و ضرب را برای ۹ عدد اصلی و صفر به همراه بعضی قواعد برای نگهداشتن یک رقم از یک عمل به عمل بعد یاد می‌گیرد و سرانجام با این قواعد یاد می‌گیرد که عمل‌های حسابی را روی هر دسته پایان داری از اعداد دهدهی انجام دهد . در سیستم‌های اعداد دیگر ، دسته قواعد مشابه برای حساب وجود دارد . بخش زیر این قواعد را برای سیستم دوجینی ( دوازده تایی ) توصیف می‌کند .
● سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی
ما آنچنان به شمارش در سیستم دهدهی عادت کرده‌ایم که وقتی می خواهیم از سیستم اعداد متفاوتی استفاده کنیم ، کاملا مشکل است که بسیاری از عادت‌های فکر کردن را نادیده بگیریم . برای اینکه بعضی از این اشکالات تذکر داده شوند ، ما در باره سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی بحث می‌کنیم .
در این سیستم علامتهای زیر را به عنوان نشانه‌های اساسی به کار می‌بریم .
۱ , ۲ , ۳ , ۴ , ۵ , ۶ ,۷ , ۸ , ۹ , D , E
حرف D به جای عدد دهدهی ۱۰ و حرف E به‌جای عدد دهدهی ۱۱ میباشد . گیریم برای جلوگیری از اشتباه کردن آنها را با نامهای دهدهی dec و el بنامیم . عدد بعد از el یک دوجین است که در این طرز نمایش به صورت ۱۰ نوشته خواهد شد . عدد بعدی ، که همان عدد سیزده دهدهی است ، به صورت ۱۱ نوشته میشود . از برخی لحاظ بهتر بود که به‌جای علامتهای ۱ تا ۹ نیز نشانه‌های کاملا جدیدی برای علامتهای اساسی سیستم دوجینی انتخاب می‌گردید . زیرا کاربرد علامتهای دهدهی قواعد دهدهی را پیشنهاد می‌کنند که در سیستم دوجینی صادق نیستند .
برای مثال ، به‌جای قاعده جمع دهدهی شش به اضافه پنج مساوی یازده ، باید شش به اضافه پنج مساوی el قرار گیرد .
۶+۵=(یازده دهدهی)=E
قاعده دهدهی شش به اضافه هفت مساوی سیزده ، باید بوسیله شش به اضافه هفت مساوی یک دوجین و یک تعویض گردد ، یا
۶+۷=۱۱دوجینی
پس باید دقت شود که دوباره به طرز تفکر قواعد دهدهی برنگردیم . برای علامتهای اساسی حساب دوجینی یک جدول جمع جدید همچنین یک جدول ضرب جدید باید آموخته شود . برای مثال پنج ضربدر هشت مساوی چهل دهدهی یا سه دوجین و چهار است ، یا
۵*۸=۴۰=۳*۱۲+۴=۳۴دوجینی
برای نوشتن اعداد دوجینی به هر اندازه ، سیستم « ارزش محل » را به کار می‌بریم ، یعنی برای تعیین مقدار هر رقم محل آنرا نسبت به ممیز دوجینی ( نه ممیز دهدهی ) در نظر می‌گیریم ، هر محل سمت راست یا سمت چپ ممیز دوجینی از لحاظ مقدار از محل مجاور خود به اندازه یک ضریب دوجین متفاوت می باشد . به طور مثال :
▪ ۱۷۱دهدهی=۳+۲۴+۱۴۴=۳+(۱۲*۲)+(۱۲ *۱۲*۱)=۱۲۳دوجینی
▪ ۱.۶۱۸۰۵۵۵۵۵۵۵دهدهی=(۱۲/۱۲/۵)+(۱۲/۷)+۱=۱.۷۵دوجینی
سیستم دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از این حقیقت ناشی می شود که تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر میباشد . دوازده بر یک ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذیر است .
بنابراین بسیاری از محاسبات دستی در سیستم دوجینی تا حدودی ساده‌تر از سیستم دهدهی هستند ، بعضی از کسرهای معمولی که در مبنای دهدهی به صورت عددهای کسری متناوب در می‌آیند در مبنای دوجینی چنین نیستند . برای نمونه کسر ۳/۱ که همان ۱۲/۴ میباشد در مبنای دوجینی به صورت ۰.۴ است . بعضی از کسرهای ساده در مبنای دوجینی به صورت زیر می باشند .
۱) دوجینی ۰.۲ = دهدهی ۱۲/۲=۶/۱
۲) دوجینی ۰.۳ = دهدهی ۱۲/۳=۴/۱
۳) دوجینی ۰.۴ = دهدهی ۱۲/۴=۳/۱
۴) دوجینی ۰.۶ = دهدهی ۱۲/۶=۲/۱
با وجود راحتی ، مبنای دوجینی احتمالا هرگز برای محاسبات دستی پذیرفته نخواهد شد . ولی لازم است بدانیم ، که سیستم شمارش در عالم و هستی ما بر پایه مبنای دوجینی یا دوازده‌تایی استوار گردیده است که در مباحث بعدی به این موضوع بسیار مهم خواهیم پرداخت . در واقع مبنای شمارش اعداد در ریاضیات مختص فیزیک نیز ، سیستم دوازده‌تایی یا همان سیستم شمارش دوجینی در نظر گرفته میشود .
چنین به‌نظر میرسد ، موجودات هوشمند منجمله انسان و UFO و USO که توانایی انجام دادن عملیات و محاسبات ریاضی را دارند به‌طور ذاتی از سیستم‌های شمارش بر مبنای ده‌تایی و دوازده‌تایی بهره میجویند.
http://www.aftab.ir/images/article/break.gif http://iranelmi.blogfa.com (http://njavan.com/forum/redirector.php?url=http%3A%2F%2Firanelmi.blogfa.co m)