ساختار نانولوله‏ های کربنی

[*مینا*]

گرافن پایه ساختارهای مهم کربنی




همانطور که می‏دانید، اتم‏های کربن در ساخت ترکیبات مهم شیمیایی بسیاری شرکت دارند و پایه و اساس فناوری‏های مختلفی هستند. این اتم‏ها علاوه بر ترکیب شدن با عناصر دیگر، می‏توانند با اتم‏های کربن نیز پیوند دهند. اتم‏های کربن از نظر ترتيب پر شدن اوربیتالها، دارای ساختار الکترونی 1s22s22p2 هستند. بنابراین چهار الکترون آزاد دارند که امکان تشکیل چهار پیوند را برای این اتم‏ها مهیا می‏سازد. پیوندهایی که این اتم‏ها تشکیل می‏دهند، در ترکیبات گوناگون به شکل های متفاوتی دیده می‏شود و بنابراین خواص متفاوتی نیز ایجاد می‏کند. این اتم‏ها در ساختار الماس چهار پیوند یگانه‏ی کوالانس ایجاد می‏کنند. یعنی هر اتم کربن با چهار اتم کربن دیگر پیوند می‏دهد. بنابراین از تمام 4 ظرفیت خود برای تشکیل پیوند استفاده کرده است. در ساختار گرافیت، نانولوله و فولرن نیز پیوندهای یگانه‏ای بین اتم‏های کربن وجود دارد. با این تفاوت که هر اتم تنها با 3 اتم دیگر پیوند می‏دهد و در نتیجه سه پیوند یگانه کوالانسی دارد. در این ساختارها اتم کربن یکی از ظرفیت‏های خود را مصرف نمی‌کند. اين ظرفيت خالی که در واقع يک الکترون اضافی است، به شکل یک پیوند آزاد در خارج از صفحه‏ای که دیگر اتم‏ها در آن قرار دارند، قرار می‏گیرد. این پیوند آزاد یا معلق می‏تواند در شرایطی با گروه‏های عاملی یا دیگر اتم‏های رادیکالی موجود در محیط پیوند دهد.
در ابعاد نانومتر، چند پارامتر مهم وجود دارد که تاثير بسياری بر خواص مواد می‌گذارد. اندازه و شکل فیزیکی نانومواد و چگونگی پیوندهای بین اتمی آنها از قبیل این پارامترها هستند. در مورد نانولوله‏های کربنی، پارامترهایی مانند طول، قطر، نحوه‏ی چینش اتم‏ها در ساختار نانولوله، تعداد دیواره‏ها، نقص‏های ساختاری و گروه‏های عاملی موجود بر روی نانولوله‏ از جمله خواص فيزيکی و شيميايي هستند که در تعیین خواص‏ نقش دارند. در این مقاله و مقاله‏ی بعدی به نحوه‏ی چینش اتم‏ها در نانولوله‏های کربنی می‏پردازیم. برای این منظور نانولوله‏های کربنی را بر اساس ظاهر فیزیکی دسته‏بندی می‏کنیم. این قبیل دسته‏بندی‏ها، موجب سهولت بررسی این مواد می‏گردد.
یک نانولوله، همانطور که از نامش برمی‏آید، یک استوانه‏ی تو خالی با قطری در حد نانومتر است.‏ طول هر نانولوله می‏تواند از چند نانومتر تا چند میکرومتر باشد. اگر یک نانولوله‏ی تک دیواره را در نظر بگیریم، با برش دادن دیواره‏ی آن در راستای طول نانولوله، یک صفحه از اتم‏های کربن به نام گرافن به دست می‏آید. در این مقاله برای بررسی شکل ظاهری نانولوله‏ها، بحث را روی صفحات گرافن متمرکز می‏کنیم.
گرافن
صفحات گرافن با کنار هم قرار گرفتن اتم‏های کربن تشکیل می‏شوند. در يک صفحه گرافن، هر اتم کربن با 3 اتم کربن دیگر پیوند داده است. این سه پیوند در یک صفحه قرار دارند و زوایای بین آن‏ها با یکدیگر مساوی و برابر با 120° است. در این حالت، اتم‏های کربن در وضعیتی قرار می‏گیرند که شبکه‏‌ای از شش ضلعی‏های منتظم را ایجاد می‏کنند (شکل 1). البته این ایده‏آل‏ترین حالت یک صفحه‏ی گرافن است. در برخی مواقع، شکل این صفحه به گونه‏ای تغییر می‏کند که در آن پنج‌ضلعی‏ها و هفت‌ضلعی‏هایی نيز ایجاد می‏شود.

شکل 1- ساختار اتمی صفحه گرافن: در این شکل اتم‏های کربن با نقاط سیاه و پیوندها با نقطه چین نمایش داده شده‏اند.





http://www.nanoclub.ir/contents/CNT01/1.JPG




در يک صفحه گرافن، هر اتم کربن یک پیوند آزاد در خارج از صفحه دارد. این پیوند مکان مناسبی برای قرارگیری برخی گروه‏های عاملی و هم چنین اتم‏های هیدروژن است. پیوند بین اتم‏های کربن در اینجا کوالانسی بوده و بسیار محکم است. بنابراین گرافن استحکام بسیار زیادی دارد و انتظار می‏رود که نانولوله‏های کربنی نیز استحکام زیادی داشته باشند. گرافیت نیز که یک ماده‏ی کربنی پر مصرف و شناخته شده است، از روی هم قرار گرفتن لایه‏های گرافن و تشکیل یک ساختار منظم تشکیل می‏شود. اما همانطور که می‏دانیم، گرافیت بسیار نرم است. به نظر شما دلیل این امر چیست؟
*
*
*
*
آنچه لایه‏های گرافن را روی یکدیگر نگه می‏دارد، پیوندهای واندروالس بین آن‏هاست. این پیوند بسیار ضعیف است‏. بنابراین لایه‏های گرافن به راحتی می‏توانند روی هم بلغزند و به همين دلیل گرافیت (نوک مداد سیاه) نرم است.
گرافن، به عنوان يک لایه‏ی تک اتمی، رسانای جریان الکتریسیته است. همانطور که خواهیم دید، برخی نانولوله‏های کربنی نیز رساناهای بسیار خوبی هستند. البته این خاصیت نانولوله‏های کربنی مستقیما به شکل ظاهری آن‏ها بستگی دارد که در آينده به آن اشاره خواهيم كرد.
صفحه‏ی مختصات گرافنی:
صفحه‏ی مختصات کارتزین یا دکارتی معروف را می‏شناسید. این صفحه، شبکه‏ای است که از مربع‏هایی با طول و عرض واحد تشکیل شده ‏است. در این صفحه دو بردار یکه‏ی i و j هریک به طول یک واحد وجود دارد که توسط آن‏ها می‏توان از نقطه‏ی مبدا به هر نقطه‏ی دیگری مثل (nوm) رفت (شکل 2). این کار با تعریف یک بردار به شکل k=mi+nj امکان پذیر می‏گردد.

شکل 2- صفحه‏ی مختصات دکارتی؛ بردارهای یکه‏ی i و j هم اندازه و بر یکدیگر عمود هستند.





http://www.nanoclub.ir/contents/CNT01/2.JPG




دستگاه مختصات کارتزین، يك دستگاه دو بعدي است كه در آن دو بردار یکه‏ی یاد شده، هم اندازه بوده و بر یکدیگر عمود هستند. اما باید توجه داشت که تمام دستگاه‏های مختصات به این شکل نیستند. بلکه می‏توان دستگاه هایی را تعریف کرد که در آن اندازه‏ی بردارهای یکه نابرابر و زاویه‏ی بین آن دو مقدار دیگری باشد مانند صفحه‏ی مختصات گرافنی. برای توصیف نانولوله‏های کربنی ما به يك صفحه‏ي دو بعدي متشکل از شش‌ضلعی‏های منتظم احتياج داريم (صفحه‏ی مختصات گرافنی). این صفحه یادآور شکل منظم کندوی زنبورهای عسل است. این صفحه متناظر با یک صفحه از اتم‏های کربن (به ضخامت یک اتم) یا همان صفحه گرافن است.
در این صفحه‏یِ مختصاتِ دو بعدی، دو بردار یکه‏ی هم اندازه‏ی i و j را به طوری که در شکل 3 نشان داده شده است، تعریف می‏کنیم. زاویه‏ی بین این دو بردار برابر با 60° است. برای حرکت روی این صفحه می‏توانیم بردار C=mi+nj را تعریف نماییم. این بردار را بردار کایرال می‏نامیم (بعدها می‌گوييم که چگونه می‏توانیم با استفاده از این بردار یک نانولوله درست کنیم). به عنوان تمرین ما چند بردار دلخواه را با شروع از یک نقطه، به عنوان مبدا، در شکل 4 رسم کرده‌ايم.

شکل 3- بردارهای یکه‏ی i و j در صفحه‏ی مختصات گرافنی



http://www.nanoclub.ir/contents/CNT01/3.JPG

شکل 4- بردارهاي كايرال c=4i+2j و c=i+3j در صفحه‏ي مختصات گرافني





http://www.nanoclub.ir/contents/CNT01/4.JPG




همچنين مي‏توانيم زاويه‏ي بين بردار كايرال و محور متناظر با بردار يكه‏ي i را به عنوان زاويه كايرال كه مشخصه‏ي راستاي بردار كايرال است‏ در نظر بگيريم. اين زاويه در شكل 5 نشان داده شده است. همانطور كه در آينده خواهيم ديد، اين زاويه يكي از مشخصه‏هاي نانولوله‏هاي كربني مي‏باشد.

شکل 5- زاويه‏ي كايرال بين بردار c=4i+3j و محور مربوط به بردار يكه‏ي i‏





http://www.nanoclub.ir/contents/CNT01/5.JPG







منبع : نانو کاوپ

[*مینا*]

از گرافن تا نانولوله های کربنی
منبع :: نانو کلوپ


مقدمه: در مقاله‌ی قبل با برخی ویژگی‌های اتم‌های کربن و گرافیت و همچنین با صفحه‌ی مختصات گرافنی آشنا شدیم. در این مقاله‏ بحث بر روی صفحه‌ی مختصات گرافنی را ادامه می‌دهيم و به نحوه ایجاد نانولوله‌های کربنی از این صفحات می‌پردازیم.
برای اينکه دانسته‌هايمان را درمورد صفحه‌ی مختصات گرافنی کامل کنيم، بايد دو نکته ديگر را درباره‌ی ترسیم بردارهای کایرال به‌ خاطر بسپاریم.
نکته اول: هر برداری که در این دستگاه رسم می‌کنیم، زاویه‌ی 60° بین دو بردار یکه‌ی i و j را به دو قسمت تقسیم می‌کند (شکل 1). اين بردار نمی‌تواند خارج از این ناحیه قرار گیرد، مگر اینکه m یا n یا هر دو را منفی انتخاب کنیم. البته فرض ما این است که m و n را همواره مثبت در نظر می‌گیریم. این موضوع به دلیل تقارن موجود در صفحه‌ی مختصات گرافنی، لطمه‌ای به کلیت ماجرا وارد نمی‌کند.

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture1.jpg
شکل 1- زاویه‌ی بین بردارهای یکه‌ی i و j در صفحه‌ی مختصات گرافنی برابر با 60 درجه است.
نکته‌ی دوم: در صورتی‌که جای m و n انتخاب شده (مولفه‌های زوج مرتب (nوm)) را با هم عوض کنیم، شکل به دست آمده به دلیل تقارن گفته شده، بر شکل قبلی منطبق خواهد بود. بنابراین می‌توانیم دو نانولوله‌ی (kوh) و (hوk) را معادل در نظر بگیریم. برای مثال بردار C1=1i+3j در شکل 2 با بردار C2=3i+1j معادل است. برای جلوگيری از اين مسئله، مختصات بردارها را همواره به گونه‌ای می‌نويسيم که m≥n باشد. با این فرض ناحیه‌ی انتخابی روی صفحه‌ی مختصات گرافنی بازهم محدود می‌شود. این ناحیه در شکل 3 با هاشور نشان داده شده است.

. http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture2.jpg
شکل 2- دو بردار C1 و C2 با یکدیگر هم ارز هستند.

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture3.jpg
شکل 3- در ناحیه هاشور خورده از صفحه‌ی مختصات گرافنی، شرط m≥n برقرار است.
اگر یک بردار کایرال با شرط m ≥ n ≥ 0 را در نظر بگیریم، بردار انتخاب شده از راستای بردار یکه‌ی i (راستای افق) می‌تواند از صفر تا °30 فاصله بگیرد. يعنی چنانچه n=0 باشد، زاویه برابر با صفر درجه و اگر n=m باشد، زاویه برابر با °30 خواهد بود.
نانولوله‌های کربنی تک دیواره از لوله کردن صفحات گرافنی به دست می‌آیند. البته این گفته تنها برای درک ساختار نانولوله‌هاست و در عمل، ساخت نانولوله‌ها با روش‌های پيچيده شيميايی انجام می‌شود. در اين روش‌ها، نانولوله با قرار گرفتن تک به تک اتم‌های کربن در کنار هم ساخته می‌شود و نه از طریق لوله کردن یک صفحه‌ی گرافن واقعی! البته برعکس این موضوع وجود دارد. يعنی دانشمندان به تازگی توانسته‌اند با استفاده از واکنش‌های شیمیایی، نانولوله‌های کربنی چند دیواره را برش دهند و صفحات کوچک گرافنی را تولید کنند. البته تولید صفحات گرافن از نظر فنی کار بسیار دشواری است و اين دستآورد جديد دانشمندان، می‌تواند در زمینه‌ی نانوالکترونیک و نانوکامپوزیت تغییرات بسيار مهمی را ايجاد کند. این مواد با دارا بودن خواص ویژه مکانیکی و الکترونیکی، کاربردهای بسیاری در صنایع مختلف دارند. انتهای نانولوله‌های کربنی ممکن است باز یا بسته باشند. انتهای بسته در واقع قسمتی از یک فولرن کربنی است. از این رو برخی دانشمندان، از نانولوله‌های کربنی به عنوان فولرن‌های کشیده شده یاد می‌کنند. در اینجا از صفحات گرافن برای توضیح نانولوله‌های کربنی استفاده می‌کنیم، بنابراین انتهای بسته‌ی آن‌ها را در نظر نمی‌گیریم.
برای تبدیل یک صفحه‌ی گرافن (غیر واقعی) به یک نانولوله، ابتدا باید جهت لوله کردن صفحه را مشخص کنیم. برای این کار بردار کایرال مورد نظر (nوm) را انتخاب کنیم. سپس این بردار را رسم می‌کنیم. اکنون صفحه‌ی گرافنی را به شکلی لوله می‌کنیم که نقاط (0و0) و (nوm) که نقاط ابتدا و انتهای بردار C هستند، روی یکدیگر قرار بگیرند و بردار کایرال در نقش محیط لوله‌ی به وجود آمده قرار بگیرد. به این ترتیب یک نانولوله‌ی کربنی (اما با ابعادی بسيار بسيار بزرگتر از نانومتر!) با اندیس کایرال (nوm) به دست می‌آید.
بردارهای کایرال در دسته‌های مختلف قرار می‌گیرند و بر همین اساس نانولوله‌ها نیز دسته‏بندی می‌شوند. یک صفحه‌ی گرافنی را در نظر بگیرید. برای حرکت از روی مبداء مختصات یا نقطه‌ی (0و0) تا نقطه‌ی مقصد، باید از روی خطوطی که بیانگر پیوندهای C-C هستند، عبور کنیم. اکنون چند بردار کایرال رسم نموده و کوتاه‌ترین مسیر حرکت از مبداء تا انتهای آن را رسم کنید.
*
*
*
*
*
نمونه‌ای از این فعالیت در شکل 4 رسم شده است. در این شکل کوتاهترین مسیر ممکن برای طی مسیر مربوط به هر بردار با رنگی شبیه به همان بردار کشیده شده است. این مسیرها از واحدهای تکرار شونده‌ای تشکیل شده‌اند که در پایین شکل 4 دیده می‌شوند.

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture4.jpg
(الف) کوتاهترین مسیرهای مربوط به بردارهای کایرال
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture7.jpg
(ب) واحد تکرار شونده برای بردار کایرال (4و4)
(آرمچیر)

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture6.jpg
(پ) واحد تکرار شونده برای بردار کایرال (0و8)
(زیگزاگ ) http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture5.jpg
(ت) واحد تکرار شونده برای بردار کایرال (3و6)
(نا متقارن)

شکل 4- کوتاهترین مسیرهای مربوط به بردارهای کایرال و واحدهای تکرار شونده‌ی آن‌ها
دقت کنید که هر بردار کایرالی که دو مولفه‌ی آن با هم برابر باشند، از واحدهای تکرار شونده‌ای مانند شکل 4-ب تشکیل می‌شود. این بردارها در دسته‌ی بردارهای آرمچیر یا صندلی قرار می‌گیرند. این نام گذاری به خاطر شکل واحد تکرار شونده است. نام انگلیسی این بردارها، armchair است. هر بردار کایرالی که یکی از مولفه‌های آن برابر با صفر باشد، مانند بردار (0و8) از واحدهای تکرار شونده‌ای مانند شکل 4-پ تشکیل می‌شوند. این بردارها در دسته‌ی بردارهای زیگزاگ قرار می‌گیرند. این نام‌گذاری به دلیل شکل ظاهری این واحدها است. نام انگلیسی این بردارها،zigzag است. هر برداری که در دو دسته‌ی گفته شده قرار نگیرد را در دسته‌ی بردارهای نامتقارن دسته‏بندی می‌کنیم. دلیل این نام‌گذاری، عدم وجود تقارن در نانولوله‌های متناظر با این بردار است. نام انگلیسی این بردارها، chiral یا helical است. در واقع "کایرال" نامی عام برای تمام بردارهاست که به طور خاص برای بردارهای نامتقارن نیز به کار می‌رود.
اکنون می‌توانیم انواع بردارهای کایرال را بکشیم و نانولوله‌های متناظر با آنها را بسازیم. شکل ظاهری این نانولوله‌ها با هم متفاوت خواهد بود. در جدول 1، سه نوع نانولوله‌ی کربنی را مشاهده می‌کنید. در صورتی که به طرز قرار گرفتن ردیف‌‌های اتم‌های کربن در راستای محوری و راستای شعاعی این نانولوله‌ها دقت کنید، متوجه اختلاف بین آن‌ها می‌شوید. ببه ياد داشته باشيد که بر اساس آنچه گفتيم، بردار کایرال شکل ظاهری نانولوله‌های کربنی را تعیین می‌کند.

نوع نانولوله آرمچیر زیگزاگ کایرال (نا متقارن) تصویر از درون http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture10.jpg http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture%209.jpg http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture8.jpg تصویر از بیرون http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture13.jpg http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture12.jpg http://www.nanoclub.ir/contents/CNT02/Picture11.jpg مولفه‌های کایرال m=n≠0 m≠0, n=0 m≠n زاویه‌ی کایرال
°30
0 °30 > θ > 0


جدول 1- ‏دسته‌بندی نانولوله‌ها بر اساس جهت لوله شدن صفحه‌ی گرافن
از آنجاییکه خواص نانولوله‌های کربنی تابع شکل ساختاری آنهاست، بردارهای کایرال نه تنها در تعیین شکل ساختاری نانولوله‌ها، بلکه در تعیین خواص مربوط به آنها نيز اهمیت فراوانی دارد. برای مثال، خواص الکترونیکی و مکانیکی نانولوله‌های کربنی متاثر از بردار کایرال آنهاست. علاوه بر این، تعداد دیواره‌ها و چگونگی وجود نقص‌ها در ساختار این مواد، در تعیین خواص آنها نقش دارند. در مقالات آینده به این مباحث می‌پردازيم.

[*مینا*]

نانولوله‏ های کربنی از نگاه اعداد و ارقام

مقدمه: در مقاله‌های قبلی نانولوله‌های کربنی، با ساختار اين مواد و شکل فیزیکی آنها آشنا شديم. در اين مقاله برای درک بهتر ساختار نانولوله‌های کربنی، از نگاه محاسباتی به آنها می‌نگريم. این مقاله را با کمی حوصله مطالعه کنيد. روابط و فرمولهای گفته شده را دوباره برای خودتان بنويسيد. در حد امکان تمرین‏ها را حل کنيد و فرمول‏ها را اثبات کنيد.
محققین همواره برای یافتن پاسخ سوالات خود به بررسی پدیده‌ها می‌پردازند. البته اين کار را با روش‌‌های مختلفی انجام می‌دهند. یک روش برای یافتن پاسخ سوالات، مشاهده‌ی پديده‌های طبيعی و برقراری ارتباط بین دانسته‌های قبلی با مشاهدات جدید است. به اين روش، روش تجربی می‌گويند. به عنوان مثال، کارهای آزمایشگاهی که برای بررسی تاثیر یک محلول بر روی یک فلز انجام می‌شود، نمونه‌ای از يک روش تجربی است. روش دیگری که در کنار روش تجربی مورد استفاده قرار می‌گیرد، روش محاسباتی است. دانشمندان در اين روش سعی می‌کنند بین پدیده‌ها و ویژگی‌هايي که مشاهده کرده‌اند، روابط منطقی ايجاد کنند و سپس اين روابط منطقی را به شکل فرمول‌ها و معادله‌های قابل فهم بيان می‌کنند. مثلا در مشاهده‌ی پدیده‌ی اصطکاک، مي‌توان رفتار جسم متحرك را روي سطح با استفاده از چند رابطه رياضی بيان كرد. این همان معادلاتی است که شما در کتاب‌های فیزیک و شیمی مدرسه با آن مواجه شده‌ايد. در بيان مزايای روش‌های محاسباتی به این گفته اکتفا می‌کنیم که روش‌های محاسباتی یکی از روش‌های مناسب و بسيار کم هزینه‏ (که بيشتر به تعدادی از سلول‌های خاکستری مغز نیاز دارند!) برای بررسی و مطالعه‌ی پدیده‌ها و پیش‌بینی رفتار و خواص مواد و سیستم‌ها هستند.
در این مقاله به بررسی محاسبات ساده پیرامون ساختار نانولوله‌های کربنی تک دیواره و چند دیواره می‌پردازیم. پیش نیاز انجام این محاسبات، شناخت مقدماتی از شکل ظاهری نانولوله‌های کربنی است.
1- داده‌های مورد نياز برای انجام محاسبات
تاکنون مطالعات تجربی زیادی در مورد نانولوله‌های کربنی چند دیواره انجام شده است. برای این کار از میکروسکوپ‌های الکترونی کمک بسياری گرفته‌اند. دانشمندان معتقدند که فاصله‌ی بین دیواره‌های متعدد این نوع از نانولوله‌ها ثابت نيست و مقادير مختلفی دارد. اين مقدار می‌تواند کمی بیشتر از فاصله‌ی بین لایه‌های توده گرافیت، 3.354 آنگستروم، تا حدود 3.6 آنگستروم ‏باشد. فاصله‌ی بین اتم‌های کربن در حالت صفحه‌ای (فاصله پیوند C-C) نيز تقریبا برابر با 1.42 آنگستروم است.با توجه به زوایای پیوندهای کوالانس C-C در صفحه‌ی گرافن، می‌توان بقیه‌ی فواصل مورد نیاز برای محاسبات را به دست آورد.
2- شعاع نانولوله‌های کربنی
شعاع نانولوله‌های کربنی، همانطور که از نام آنها بر می‌آید، در محدوده نانومتر قرار دارد. با توجه به شکل ظاهری نانولوله‌ها می‌توان بر حسب مولفه‌های کایرال، روابطی را برای محاسبه شعاع آنها به دست آورد. همانطور که در مقاله‌های قبلی ديديد، بردار کایرال دقیقا بر محیط نانولوله منطبق است، بنابراین طول بردار کایرال برابر با محیط نانولوله است. البته باید به اين نکته‏ توجه کنیم که محیط یک نانولوله دقیقا به شکل دایره نیست، بلکه یک چند ضلعی منتظم است (زیرا نمی‌توان برای پیوندهای کوالانس انحناء قائل شد). ما در اینجا فرض می‌کنيم که محیط نانولوله دایره‌ای شکل است تا محاسبات را راحت‌تر انجام دهیم.
در هندسه‌ی مسطحه می‌توانيم طول یک ضلع از مثلث را بر حسب دو ضلع دیگر و با دانستن زاویه‌ی بین آنها محاسبه کنيم (رابطه 1). برای تحقیق درستی رابطه (1)، کافیست رابطه‌ی فیثاغورث را برای مثلث ABD بنویسید. به عنوان تمرین هندسه، این موضوع را با توجه به شکل 1 اثبات نمایید.
رابطه (1)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e1.jpg

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/picture3.jpg
شکل 1- روابط ميان اضلاع يک مثلث
اکنون به شکل 2 توجه نمایید. همانطور که می‌بينيد با استفاده از رابطه‌ی 1، می‌توانيم اندازه‌ی بردار کایرال را محاسبه کنيم (رابطه (2)). در اين رابطه A نشان‌دهنده طول محیط نانولوله و a0 برابر با طول پیوند کوالانس C-C (معادل با مقدار 1.42 انگستروم) است.

. http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/picture2.jpg
شکل 2- ارتباط طول بردار کايرال با طول بردارهای m و n
رابطه (2)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e2.jpg
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e3.jpg

حالا با توجه به ‏رابطه‌ی ميان محیط و شعاع دایره (A=2πr)، می‌توانيم شعاع نانولوله را محاسبه کنيم:
رابطه (3)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e4.jpg
رابطه (3) را می‌توان برای حالت‌های خاص ساده کرد. برای نانولوله‌ی آرمچیر که m=n است، رابطه‌ی (4) و برای نانولوله‌ی زیگزاگ که n=0 است، رابطه‌ی (5) به‌دست می‌آيد. واحد اندازه‌گيری شعاع در اين روابط، آنگستروم است.


رابطه (4)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e5.jpg
رابطه (5)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e6.jpg
3- زاویه‌ی کایرال در نانولوله‌های کربنی
در مطالعه نانولوله‌های کربنی، زاویه‌ی کایرال از اهمیت بالایی برخوردار است، زیرا مشخص کننده‌ی مولفه‌های کایرال نانولوله است. در ابتدا یادآوری می‌کنیم که در اینجا برای اجتناب از اشتباه و با توجه به مقاله‌ی قبلی، شرط m≥n را در نظر می‌گیریم. برای به دست آوردن زاویه‌ی بین بردار کایرال و محور افقی (θ)، اين ضلع را روی محورهای افقی و عمودی تصویر می‌کنيم. در شکل (3) اين محورها با نقطه چین مشخص شده‌اند.

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/picture2.jpg
شکل 3- تصوير بردار کايرال روی محورهای افقی و عمودی
با تصویر کردن بردار کايرال، بر خط‌ چین عمودی خواهیم داشت:
رابطه (6)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e7.jpg
با در نظر گرفتن رابطه‌ی 2 و این نکته که d=2 πr است، خواهیم داشت:
رابطه (7)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e8.jpg
با کمک رابطه (7) می‌توانیم مقدار θ را به دست بياوریم. علاوه بر اين، با تصویر کردن بردار کايرال بر خط چین افقی ‏می‌توان نوشت:
رابطه (8)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e9.jpg
با تقسیم رابطه‌ی 6 بر رابطه‌ی 8 خواهیم داشت:
رابطه (9)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e10.jpg
در صورتیکه شرط m≥n را رعایت نکنيم به جای مقدار tan θ، مقدار tan θ-60 به دست می‌آید. می‌توانید این موضوع را با توجه به صفحه‌ی مختصات گرافنی تحقیق کنید. اگر دقت کنيد، زاویه‌ی کایرال تمام نانولوله‌های زیگزاگ با هم برابر است. این موضوع در مورد نانولوله‌های آرمچیر هم صادق است. در واقع زاویه‌ی کایرال همانطور که از نامش پیداست، بدون در نظر گرفتن قطر نانولوله، تنها میزان چرخش ردیف اتم‌های کربن در راستای محور نانولوله را نشان می‌دهد.
4- ارتباط بین مولفه‌های کایرال لوله‌ی داخلی و خارجی نانولوله‌های کربنی دو دیواره
همانطور که در مقالات قبلی اشاره شد، نانولوله‌های کربنی دودیواره در واقع دو نانولوله‌ی تک دیواره‌اند که درون یکدیگر قرار گرفته‌اند. این نانولوله‌ها می‌توانند زاویه‌ی کایرال یکسان یا متفاوتی داشته باشند. در صورتی‌که فرض کنیم زاویه‌ی کایرال نانولوله‌های داخل یک‏دیگر با هم برابر باشد، می‌توانیم ارتباط بین مولفه‌های کایرال آنها را به راحتی مشخص‌ نماییم. در اینجا این ارتباط را برای نانولوله‌های کربنی زیگزاگ و آرمچیر توضیح می‌دهیم. کلید طلایی حل این مساله، توجه به این نکته است که فاصله‌ی بین دو دیواره‌ی یک نانولوله که در مجاورت یکدیگر قرار گرفته‌ا‌ند، مقداری بین 3.354 تا 3.6 آنگستروم است. این فاصله برابر با اختلاف بین شعاع دو لوله است. با دانستن این نکته، قادر به یافتن ارتباط بین مولفه‌های کایرال دو لوله خواهیم بود. برای اين کار از روابط 3 و 4 استفاده می‌کنیم.
برای نانولوله‌ی آرمچیر رابطه‌ی 3 برقرار است. بنابراين اختلاف شعاع دو نانولوله‌ی آرمچیر را می‌توان بر حسب رابطه (10) محاسبه کرد.
رابطه (10)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e11.jpg

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e12.jpg
در اینجا n1 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال نانولوله‌ی خارجی و n2 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال بردار داخلی است، بنابراین n1>n2 است. از طرف دیگر می‏دانیم که فاصله‌ی بین دو دیواره‌ی یک نانولوله، مقداری بین 3.354 تا 3.6 آنگستروم است.

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e13.jpg

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e14.jpg

و از آنجایی‏که می‌دانیم :

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e15.jpg

بنابراین نتیجه می‌گیریم که:
رابطه (11)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e16.jpg
از این دسته نانولوله‌ها می‌توان به مدل‌های (10و10)@(5و5)، (11و11)@(6و6) و همچنین (12و12)@(7و7) اشاره کرد.
برای نانولوله‌ی زيگزاگ رابطه‌ی 4 برقرار است. بنابراين اختلاف شعاع دو نانولوله‌ی زيگزاگ را می‌توان بر حسب رابطه (12) محاسبه کرد.
رابطه (12)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e17.jpg

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e18.jpg
در اینجا n1 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال نانولوله‌ی خارجی و n2 عدد مربوط به مولفه‌ی کایرال بردار داخلی است. بنابراین n1>n2 است و چون می‏دانیم که فاصله‌ی بین دو دیواره‌ی یک نانولوله، مقداری بین 3.354 تا 3.6 آنگستروم دارد، می‌توانيم بگوييم:

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e19.jpg

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e20.jpg

و از آنجایی‏که می‌دانیم :

http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e15.jpg

بنابراین نتیجه می‌گیریم که:
رابطه (13)
http://www.nanoclub.ir/contents/CNT03/e22.jpg
از این دسته نانولوله‌ها می‌توان به مدل‌های (0و17)@(0و8)، (0و18)@(0و9) و همچنین (0و19)@(0و10) اشاره نمود.
این محاسبات ساده نشان می‌دهند که مولفه‌های کایرال دیواره‌های داخلی و خارجی یک نانولوله‌ی کربنی دو دیواره از الگوی مشخصی پیروی کرده و ارتباط مشخصی با یکدیگر دارند. در اینجا تنها دو گروه "کایرال در کایرال" و "زیگزاگ در زیگزاگ" را بررسی کردیم. می‌توان حالت‌های دیگر را نیز بررسی نمود، اما محاسبات دشوارتری مورد نیاز خواهد بود. از نانولوله‌های کربنی دودیواره‌ی "آرمچیر در زیگزاگ" می‌توان به (0و19)@(6و6)، (0و21)@(7و7) و همچنین (0و23)@(8و8) و از نانولوله‌های کربنی دودیواره‌ی "زیگزاگ در آرمچیر" می‌توان به (11و11)@(0و10) و همچنین (12و12)@(0و12) اشاره کرد. به عنوان تمرین، درست بودن این نانولوله‌ها را تحقیق کنید.