سوالات ریاضی من :)

[setayesh shb]

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم[sootzadan]
مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم[sootzadan]
اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم



فرق مشتق دو تابع زیر:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}
من اینطوری در آوردم:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}^{%27}=({x}^{x})^{x}}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{({x}^{x})%27}{{x}^{x}}%C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}% C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%20%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20{x}^{x}+1}{{x}^{x}}]
و:
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}^{%27}={x}^{({x}^{x})}%C3%97[{x}^{x}%C3%97\ln%20x%20+\frac{1}{x}%C3%97x%C3%97\l n%20x+\frac{1}{x}%C3%97({x}^{x})]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times%20\ln%20x%20+\ln%20x\times%20{x}^{x-1}]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}\times%20{x}^{x}\times%20 \ln%20x[1+{x}^{-1}]
میدونم اشتباهه[sootzadan][nadidan]



اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ



الف) http://www.codecogs.com/eq.latex?if%20a\prec%20b\rightarrow%20\arctan%20b-\arctan%20a\prec%20b-a


ب) http://latex.codecogs.com/gif.latex?if0\prec%20x\prec%20y\prec%20\frac{\pi%2 0}{2}\rightarrow%20(y-x)\tan%20x\prec%20\ln%20\frac{\cos%20x}{\cos%20y}\ prec%20(y-x)\tan%20y

[meha1368]

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم[sootzadan]
مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم[sootzadan]
اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم



فرق مشتق دو تابع زیر:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}
من اینطوری در آوردم:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}^{%27}=({x}^{x})^{x}}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{({x}^{x})%27}{{x}^{x}}%C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}% C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%20%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20{x}^{x}+1}{{x}^{x}}]
و:
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}^{%27}={x}^{({x}^{x})}%C3%97[{x}^{x}%C3%97\ln%20x%20+\frac{1}{x}%C3%97x%C3%97\l n%20x+\frac{1}{x}%C3%97({x}^{x})]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times%20\ln%20x%20+\ln%20x\times%20{x}^{x-1}]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}\times%20{x}^{x}\times%20 \ln%20x[1+{x}^{-1}]
میدونم اشتباهه[sootzadan][nadidan]



اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ



الف) http://www.codecogs.com/eq.latex?if%20a\prec%20b\rightarrow%20\arctan%20b-\arctan%20a\prec%20b-a


ب) http://latex.codecogs.com/gif.latex?if0\prec%20x\prec%20y\prec%20\frac{\pi%2 0}{2}\rightarrow%20(y-x)\tan%20x\prec%20\ln%20\frac{\cos%20x}{\cos%20y}\ prec%20(y-x)\tan%20y

y1 رو به شکل http://www.codecogs.com/eq.latex?%7Bx%7D%5E%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D (این قانون توان هاست واسه راهنماییه[nishkhand] ) در نظر بگیر
بعدش از دو طرف ln بگیر. بعدش مشتق. جوابش فکر کنم بشه http://www.codecogs.com/eq.latex?%282xlnx+x%29%7Bx%7D%5E%7B%7Bx%7D%5E%7B2% 7D%7D
واسه دومی هم از دو طرف ln بگیر بعدش مشتق.اونم فکر کنم بشه http://www.codecogs.com/eq.latex?%28%28lnx+1%29%7Bx%7D%5E%7Bx%7Dlnx+%7Bx%7 D%5E%7Bx-1%7D%29%7Bx%7D%5E%7B%7Bx%7D%5E%7Bx%7D%7D

[meha1368]

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم[sootzadan]
مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم[sootzadan]
اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم



فرق مشتق دو تابع زیر:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}
من اینطوری در آوردم:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}^{%27}=({x}^{x})^{x}}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{({x}^{x})%27}{{x}^{x}}%C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}% C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%20%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20{x}^{x}+1}{{x}^{x}}]
و:
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}^{%27}={x}^{({x}^{x})}%C3%97[{x}^{x}%C3%97\ln%20x%20+\frac{1}{x}%C3%97x%C3%97\l n%20x+\frac{1}{x}%C3%97({x}^{x})]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times%20\ln%20x%20+\ln%20x\times%20{x}^{x-1}]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}\times%20{x}^{x}\times%20 \ln%20x[1+{x}^{-1}]
میدونم اشتباهه[sootzadan][nadidan]



اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ



الف) http://www.codecogs.com/eq.latex?if%20a\prec%20b\rightarrow%20\arctan%20b-\arctan%20a\prec%20b-a


ب) http://latex.codecogs.com/gif.latex?if0\prec%20x\prec%20y\prec%20\frac{\pi%2 0}{2}\rightarrow%20(y-x)\tan%20x\prec%20\ln%20\frac{\cos%20x}{\cos%20y}\ prec%20(y-x)\tan%20y
قسمت الف سوال 2 رو هم میشه از قضیه مقدار میانگین حل کرد.
دامنه arctan بازه http://www.codecogs.com/eq.latex?[-%5Cfrac%7B%5CPi%20%7D%7B2%7D,%5Cfrac%7B%5CPi%20%7D %7B2%7D] و تابع توی این بازه پیوسته س و تو بازه بازش مشتق پذیره. حالا توی مسئله بازه بسته ی [a,b] رو در نظر میگیریم و شرایط بازهم سر جاش میمونه. پس طبق قضیه مقدار میانگین عددی مثل c توی بازه باز (a,b) هست بطوریکه

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Barctan%28b%29-arctan%28a%29%7D%7Bb-a%7D=f%27%28c%29=%5Cfrac%7B1%7D%7B1+%7Bc%7D%5E%7B2 %7D%7D%5Cpreceq%20%201 .پس http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Barctan%28b%29-arctan%28a%29%7D%7Bb-a%7D%5Cpreceq%20%201 و این یعنی
http://www.codecogs.com/eq.latex?arctan%28b%29-arctan%28a%29%5Cpreceq%20b-a. امیدوارم فهمیده باشید. اگه متوجه نشدید خبرم کنید

[meha1368]

سلام به همه چند تا سوال ریاضی داشتم گفتم مشارکا حل کنیم[sootzadan]
مدیونید فکر کنید خودم بلد نیستم[sootzadan]
اولیشو حل کردم فقط میخوام مطمئن بشم درست حل کردم



فرق مشتق دو تابع زیر:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}=({x}^{x})^{x}
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}={x}^{({x}^{x})}
من اینطوری در آوردم:


http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{1}}^{%27}=({x}^{x})^{x}}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{({x}^{x})%27}{{x}^{x}}%C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20x+\frac{1}{x}}{{x}^{x}}% C3%97x]

http://www.codecogs.com/eq.latex?=({x}^{x})^{x}%20%C3%97[\ln%20{x}^{x}+\frac{\ln%20{x}^{x}+1}{{x}^{x}}]
و:
http://www.codecogs.com/eq.latex?{{y}_{2}}^{%27}={x}^{({x}^{x})}%C3%97[{x}^{x}%C3%97\ln%20x%20+\frac{1}{x}%C3%97x%C3%97\l n%20x+\frac{1}{x}%C3%97({x}^{x})]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}[{x}^{x}\times%20\ln%20x%20+\ln%20x\times%20{x}^{x-1}]

http://www.codecogs.com/eq.latex?={x}^{({x}^{x})}\times%20{x}^{x}\times%20 \ln%20x[1+{x}^{-1}]
میدونم اشتباهه[sootzadan][nadidan]



اثبات با استفاده از قضیه لاگرانژ



الف) http://www.codecogs.com/eq.latex?if%20a\prec%20b\rightarrow%20\arctan%20b-\arctan%20a\prec%20b-a


ب) http://latex.codecogs.com/gif.latex?if0\prec%20x\prec%20y\prec%20\frac{\pi%2 0}{2}\rightarrow%20(y-x)\tan%20x\prec%20\ln%20\frac{\cos%20x}{\cos%20y}\ prec%20(y-x)\tan%20y

برای سوال 2 قسمت ب هم از همون قضیه و به همون روش استفاده می کنیم
این بار تابع ما http://www.codecogs.com/eq.latex?f%28x%29=ln%28cos%28x%29%29 ه.
همون شرایط قضیه مقدار میانگین رو در بازه [x,y] داریم.پس عنصری مثل c توی (x,y) بطوریکه:
http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Bln%28cos%28y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D=f%27%28c%29. با یک مشتقگیری ساده می فهمیم

http://www.codecogs.com/eq.latex?f%27%28x%29=tan%28x%29. پس
http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Bln%28cos%28y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D=f%27%28c%29=tan%28c%29. اما چون تانژانت صعودیه و c>x و c<y پس http://www.codecogs.com/eq.latex?tan%28x%29%5Cprec%20tan%28c%29%5Cprec%20t an%28y%29. حالا به جای tancمقداری رو که در بالا بدست آوردیم رو جایگزین میکنیم و داریم

http://www.codecogs.com/eq.latex?tan%28x%29%5Cprec%20%5Cfrac%7Bln%28cos%28 y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D%5Cprec%20tan%28y%29. حالا نامساوی رو در y-x ضرب میکنیم و نتیجه لازم رو بدست میاریم

[meha1368]

برای سوال 2 قسمت ب هم از همون قضیه و به همون روش استفاده می کنیم
این بار تابع ما http://www.codecogs.com/eq.latex?f%28x%29=ln%28cos%28x%29%29 ه.
همون شرایط قضیه مقدار میانگین رو در بازه [x,y] داریم.پس عنصری مثل c توی (x,y) بطوریکه:
http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Bln%28cos%28y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D=f%27%28c%29. با یک مشتقگیری ساده می فهمیم

http://www.codecogs.com/eq.latex?f%27%28x%29=tan%28x%29. پس
http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Bln%28cos%28y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D=f%27%28c%29=tan%28c%29. اما چون تانژانت صعودیه و c>x و c<y پس http://www.codecogs.com/eq.latex?tan%28x%29%5Cprec%20tan%28c%29%5Cprec%20t an%28y%29. حالا به جای tancمقداری رو که در بالا بدست آوردیم رو جایگزین میکنیم و داریم

http://www.codecogs.com/eq.latex?tan%28x%29%5Cprec%20%5Cfrac%7Bln%28cos%28 y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D%5Cprec%20tan%28y%29. حالا نامساوی رو در y-x ضرب میکنیم و نتیجه لازم رو بدست میاریم

البته یه سوتی دادم.چون مشتق lncosx میشه tanx- که بدین وسیله اصلاح می گردد. ولی روند کلی حل تغییری نمی کنه.اگه متوجه نشدید خبر بدید

[meha1368]

اصلاحیه حل:
http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Cfrac%7Bln%28cos%28y%29%29-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D=f%27%28c%29=-tan%28c%29. اما چون تانژانت صعودیه پس tan- نزولیه و از اینجا داریم http://www.codecogs.com/eq.latex?-tan%28y%29%5Cprec%20-tan%28c%29%5Cprec%20-tan%28x%29. حالا به جای tanc- مقدار بالا رو جاگذاری می کنیم:
http://www.codecogs.com/eq.latex?-tan%28y%29%5Cprec%20%20%5Cfrac%7Bln%28cos%28y%29%2 9-ln%28cos%28x%29%29%7D%7By-x%7D%5Cprec%20-tan%28x%29. که با ضرب یک منفی در سه طرف:
http://www.codecogs.com/eq.latex?tan%28x%29%5Cprec%20%20%5Cfrac%7Bln%28cos %28x%29%29-ln%28cos%28y%29%29%7D%7By-x%7D%5Cprec%20tan%28y%29 بدست میاد. حالا نامساوی ها رو در y-x ضرب میکنیم.و می رسیم به:

http://www.codecogs.com/eq.latex?%28y-x%29tan%28x%29%5Cprec%20ln%28cos%28x%29%29-ln%28cos%28y%29%29%5Cprec%20%28y-x%29tan%28y%29. اما از قوانین لگاریتم ها داریم:

[meha1368]

ادامش:
از قانون لگاریتم ها داریم
http://www.codecogs.com/eq.latex?ln%28cos%28x%29%29-ln%28cos%28y%29%29=ln%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bcosy%7D. که با جاگذاری این مقدار تو آرین فرمول اون چیزی که میخواستیم بدست میاد

[setayesh shb]

ادامش:
از قانون لگاریتم ها داریم
http://www.codecogs.com/eq.latex?ln%28cos%28x%29%29-ln%28cos%28y%29%29=ln%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bcosy%7D. که با جاگذاری این مقدار تو آرین فرمول اون چیزی که میخواستیم بدست میاد
بی نهایت ازتون ممنونم
کمک خیلی بزرگی بهم کردید[golrooz]
بعد یه سوال دیگه هم داشتم برای اون سوال اول میشه تغییر متغیر گرفت و بعد سوال رو حل کرد؟؟؟

http://www.codecogs.com/eq.latex?({x})^{x}=t

[meha1368]

بی نهایت ازتون ممنونم
کمک خیلی بزرگی بهم کردید[golrooz]
بعد یه سوال دیگه هم داشتم برای اون سوال اول میشه تغییر متغیر گرفت و بعد سوال رو حل کرد؟؟؟

http://www.codecogs.com/eq.latex?({x})^{x}=t
خواهش میکنم.
فکر نکنم جواب بده.آخه باید x رو هم بر حسب t بدست بیاریم

[محمد حسین بابایی فرد]

منم میخوام ریاضی یاد بگیرم[negaran]

[meha1368]

منم میخوام ریاضی یاد بگیرم[negaran]

تمرین و تمرین و تمرین