N I M A
22nd September 2008, 04:34 PM
اثر پروانه‌اي نام پديده‌اي است كه به دليل حساسيت سيستمهاي آشوبناك به شرايط اوليه ايجاد مي‌شود. اين پديده به اين اشاره مي‌كند كه تغييري كوچك در يك سيستم آشوبناك چون جو سياره زمين (مثلاً بال‌زدن پروانه) مي‌تواند باعث تغييرات شديد (وقوع توفان در كشوري ديگر) در آينده شود. ايده‌ٔ اينكه پروانه‌اي مي‌تواند باعث تغييري آشوبي شود نخستين بار در ۱۹۵۲ در داستان كوتاهي به نام آواي تندر كار ري بردبري مطرح شد. عبارت «اثر پروانه اي» هم در ۱۹۶۱ در پي مقاله‌اي از ادوارد لورنتس به وجود آمد. وي در صد سي و نهمين اجلاس اي‌اي‌اي‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله‌اي با اين عنوان ارائه داد كه «آيا بال‌زدن پروانه‌اي در برزيل مي‌تواند باعث ايجاد تندباد در تگزاس شود؟»
لورنتس در پژوهش بر روي مدل رياضي بسيار ساده‌اي از آب و هواي جو زمين، به معادله‌ي ديفرانسيل غير قابل حل رسيد. وي براي حل اين معادله از روش‌هاي عددي به كمك رايانه بهره جست. او براي اينكه بتواند اين كار را در روزهاي متوالي انجام دهد، نتيجه آخرين خروجي يك روز را به عنوان شرايط اوليه روز بعد وارد مي‌كرد. لورنتس در نهايت مشاهده كرد كه نتيجه شبيه‌سازي‌هاي مختلف با شرايط اوليه يكسان با هم كاملاً متفاوت است. بررسي خروجي چاپ شده رايانه نشان داده كه رويال مك‌بي (Royal McBee)، رايانه‌اي كه لورنتس از آن استفاده مي كرد، خروجي را تا ۴ رقم اعشار گرد مي‌كند. از آنجايي كه محاسبات داخل اين رايانه با ۶ رقم اعشار صورت مي گرفت، از بين رفتن دو رقم آخر باعث چنين تاثيري شده بود. مقدار تغييرات در عمل گرد‌كردن نزديك به اثر بال‌زدن يك پروانه است. اين واقعيت غيرممكن بودن پيش‌بيني آب و هوا در دراز مدت را نشان مي دهد.
مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظريه آشوب شد. عبارت عاميانه «اثر پروانه اي» در زبان تخصصي نظريه آشوب، «وابستگي حساس به شرايط اوليه» ترجمه مي شود.
به غير از آب و هوا، در سيستمهاي پوياي ديگر نيز حساسيت به شرايط اوليه به چشم مي خورد. يك مثال ساده، توپي است كه در قله كوهي قرار گرفته. اين توپ با ضربه بسيار كمي، بسته به اينكه ضربه از چه جهتي زده شده باشد، مي تواند به هركدام از دره هاي اطراف سقوط كند.
تئوري
اغلب سيستم ها در دنياي واقعي طي تكرار يك عمليات مشخص كار مي كنند. در مثال آب و هواي لورنتس فرايند گرم شدن سطح زمين از طرف خورشيد و سرد شدن جو از طريق تابش به فضاي بيرون، فرايندي است كه مدام تكرار مي شود. مي توان نشان داد كه در چنين سيستمي بازه اي از مقادير اوليه باعث ايجاد رفتار آشوبناك مي شود.
تعريف رياضي
يك سيستم پويا بانقشه تكامل ft وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد، اگر نقاط نزديك به هم با افزايش t از هم جدا شوند. اگر M فضاي حالت نقشه ft باشد، مي گوييم ft به شرايط اوليه وابستگي حساس نشان مي دهد وقتي كه حداقل يك δ>۰ وجود داشته باشد بطوري كه به ازاي هر نقطه x∈M و هر همسايگي از N كه x را در بر داشته باشد، نقطه اي مانند y در همسايگي N موجود بوده و در زماني مانند τ رابطه d ( f t(x) , f t(y) ) >d برقرار باشد.
در اين تعريف نيازي نيست كه همه نقاط موجود در يك همسايگي، از نقطه مبناي x جدا باشند.
لورنتس در پژوهش بر روي مدل رياضي بسيار ساده‌اي از آب و هواي جو زمين، به معادله‌ي ديفرانسيل غير قابل حل رسيد. وي براي حل اين معادله از روش‌هاي عددي به كمك رايانه بهره جست. او براي اينكه بتواند اين كار را در روزهاي متوالي انجام دهد، نتيجه آخرين خروجي يك روز را به عنوان شرايط اوليه روز بعد وارد مي‌كرد. لورنتس در نهايت مشاهده كرد كه نتيجه شبيه‌سازي‌هاي مختلف با شرايط اوليه يكسان با هم كاملاً متفاوت است. بررسي خروجي چاپ شده رايانه نشان داده كه رويال مك‌بي (Royal McBee)، رايانه‌اي كه لورنتس از آن استفاده مي كرد، خروجي را تا ۴ رقم اعشار گرد مي‌كند. از آنجايي كه محاسبات داخل اين رايانه با ۶ رقم اعشار صورت مي گرفت، از بين رفتن دو رقم آخر باعث چنين تاثيري شده بود. مقدار تغييرات در عمل گرد‌كردن نزديك به اثر بال‌زدن يك پروانه است. اين واقعيت غيرممكن بودن پيش‌بيني آب و هوا در دراز مدت را نشان مي دهد.
مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظريه آشوب شد. عبارت عاميانه «اثر پروانه اي» در زبان تخصصي نظريه آشوب، «وابستگي حساس به شرايط اوليه» ترجمه مي شود.
به غير از آب و هوا، در سيستمهاي پوياي ديگر نيز حساسيت به شرايط اوليه به چشم مي خورد. يك مثال ساده، توپي است كه در قله كوهي قرار گرفته. اين توپ با ضربه بسيار كمي، بسته به اينكه ضربه از چه جهتي زده شده باشد، مي تواند به هركدام از دره هاي اطراف سقوط كند.
تئوري
اغلب سيستم ها در دنياي واقعي طي تكرار يك عمليات مشخص كار مي كنند. در مثال آب و هواي لورنتس فرايند گرم شدن سطح زمين از طرف خورشيد و سرد شدن جو از طريق تابش به فضاي بيرون، فرايندي است كه مدام تكرار مي شود. مي توان نشان داد كه در چنين سيستمي بازه اي از مقادير اوليه باعث ايجاد رفتار آشوبناك مي شود.
تعريف رياضي
يك سيستم پويا بانقشه تكامل ft وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد، اگر نقاط نزديك به هم با افزايش t از هم جدا شوند. اگر M فضاي حالت نقشه ft باشد، مي گوييم ft به شرايط اوليه وابستگي حساس نشان مي دهد وقتي كه حداقل يك δ>۰ وجود داشته باشد بطوري كه به ازاي هر نقطه x∈M و هر همسايگي از N كه x را در بر داشته باشد، نقطه اي مانند y در همسايگي N موجود بوده و در زماني مانند τ رابطه d ( f t(x) , f t(y) ) >d برقرار باشد.
در اين تعريف نيازي نيست كه همه نقاط موجود در يك همسايگي، از نقطه مبناي x جدا باشند.