چه کسی قضیه بنیادی جبر رو میتونه اثبات کنه؟

[M@hdi42]

چه کسی قضیه بنیادی جبر رو میتونه اثبات کنه؟ یا اگه اثباتش رو داره میتونه اینجا بذاره؟

[natanaeal]

چه کسی قضیه بنیادی جبر رو میتونه اثبات کنه؟ یا اگه اثباتش رو داره میتونه اینجا بذاره؟


قضیه 4. ( قضیه بنیادی جبر ).
معادله چند جمله یی :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7fee231cad5dedf397bab741aa6e9fbd.png

که در آنhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/db3c77195546947ac9097bb95b72331e.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b56c39c8f4d6ffe0ca1de91fd4e96549.png
، در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f3525d483a47caf79690f9622e6ffe5.pngجواب
دارد. به عبارت دیگر
•http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f3525d483a47caf79690f9622e6ffe5.png
از لحاظ جبری بسته است
معادله بالا را معادله چند جمله یی از درجهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png
( هنگامی کهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/31fd139144536119a3fb5fc74becdc52.png
) گویند. از قضیه بنیادی جبر نتیجه می‌شود که:

فرع 1. معادله چند جمله یی، درجه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png،
با احتساب ریشه های مکرر،‌ http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png
ریشه در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f3525d483a47caf79690f9622e6ffe5.png
دارد.

مثال. معادله درجه سوم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce398a71023bd7c2d56708e91f85f453.png
را حل کنید.
حل.
می‌نویسیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9d7cbca07367a0baee31d50c811a787c.png،
پس، چون


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ccb39a06982e5bbbac8af38bfeefe961.png

باید داشته باشیم


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/05/mathm0032g.JPG

از معادله اول نتیجه می‌شود


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/43ca532c6cede27ad378c838c8f8734d.png

پس


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f1c2325b25886024861cb324787faa5.png
یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ca41f1d4c615bf97008fdb93eeb24219.png

وقتی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f1c2325b25886024861cb324787faa5.png،
از معادله دوم نتیجه می‌شود:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fb5d38e75cb9bbde7d35bb6168ae977a.png

چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0164e3e4af55e23c70688a3a879c9ba2.png،
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2d808781a6bf4c2c646fe6bedc98f4d8.png،
لذا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f032da9299f65eda35bfaf688b1ad76d.png.
هنگامی که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/88e238ff6b5db05a478c213811479f8b.png
، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/58d636fb409c2740d6036ec7bcf6933c.png.
از قرار دادن این مقدار در معادله دوم خواهیم داشت


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/33571a7c8596bd0be6e343f9bbbffbbb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fe22645c5e4d6981eac5459ec6bacb93.png

چونhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0164e3e4af55e23c70688a3a879c9ba2.png
،http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/485ed1a5a71ec956e1558eedb27e82cb.png
و لذا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d982eed4fbc6a459e706e15e8c8ff226.png
پس


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/58fa6c8b0bfd26de51240c0fd90b9bb3.png
و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5e9fd3c87068fa94af59163541eb26f2.png

بنابراین سه ریشه به دست می‌آید


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/70547f8fb599c51afd3848ee77e90218.png

ک.ف گاوس (1777-1855 ) دررساله اش چندین
استدلال برای قضیه بنیادی جبر داده است. خوانندگان علاقه مند به این استدلالها
می‌توانند به کتابهای درسی استانده در آنالیز مختلط مانند: آنالیز مختلط اثر باک و
نیومن و جاذبه‌های آنالیز مختلط اثر بوآز مراجعه نمایند.
باید توجه داشت که
قضیه بنیادی جبر به وجود جوابها درhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f3525d483a47caf79690f9622e6ffe5.pngحکم
می‌کند ولی از چگونگی پیدا کردن آنها صحبتی به میان نمی‌آورد. در واقع هیچ گونه
دستور جبری کارساز برای یک چند جمله یی غیر مشخصی از درجه 5 ( یا بالاتر ) وجود
ندارد .

[natanaeal]

http://s-algebra.blogfa.com/post-18.aspx

لینک بالا محتویات تاپیک قبل را شامل میشود/امیدوارم کافی باشد

http://www.mathsisfun.com/algebra/fundamental-theorem-algebra.html

[M@hdi42]

بسیار عالی .خیلی خیلی ممنونم عالییییییی بود