نگاهي دوباره به اصل فرما

[مسافر007]

ديد كلي اصل فرما يكي از قوانين اساسي فيزيك نور است و بساري از قوانين اپتيك از آن قابل استخراج است. قوانين بازتابش و شكست و در واقع شيوه كلي انتشار نور را مي‌توان از ديدگاه كاملا متفاوت و شگفت ديگري به نام اصل فرما نگريست. ايده‌هايي كه در اينجا مطرح خواهد شد تأثير بسيار زيادي در گسترش انديشه فيزيكي و حتي فراسوي نور شناخت كلاسيكي داشته است. اين اصل بسياري از پديده‌هاي مشاهده شده در طبيعت را به زيبايي توضيح مي‌دهد. تاريخچه هروي اسكندراني كه در سالهاي بين 150 (ق.م) و 250 (م) زندگي مي كرد، اولين كسي بود كه آنچه را تا كنون اصل و روش ناميده شده است، بنيان گذاشت. او در فرمول بندي خود ادعا كرد كه مسيري كه نور عملا از نقطه‌اي مانند s به نقطه‌اي مانند p ، از راه بازتابش روي سطح مي‌پيمايد، كوتاهترين راه ممكن است. بيش از 15 قرن مشاهدات كنجكاوانه "هروي" همچنان بي‌رقيب ماند، تا اينكه در سال 1036 (1657) فرما اصل كمترين زمان مشهور خود را اعلام كرد. اصل فرما چيست؟ پرتو نور در عبور از يك نقطه به نقطه ديگر چنان مسير را دنبال مي‌كند كه زمان لازم براي طي آن ، در مقايسه با مسيرهاي مجاور ، يا مينيمم باشد و يا ماكزيمم و يا تغيير نكند (يعني مانا باشد) و يا به عبارت ديگر باريكه نوري يك سطح مشترك را مي‌پيمايد، راه راست و كوتاهترين راهي است كه در كمترين زمان پيموده مي‌شود. اصل فرما و قوانين بازتابش قوانين بازتابش را مي‌توان به آساني از اصل فرما بدست آورد. اگر دو نقطه ثابت A و B را در دو محيط متفاوت در نظر بگيريد كه خط APB آنها را به هم وصل مي‌كند (فرض مي‌كنيم كه خط APB در صفحه شكل است). طول كل اين خط (l) برابر است با: (l2 = (a² + x²) + (b² + (d - x)² كه x جاي نقطه p (يعني محل برخورد پرتو با آينه) را نشان مي‌دهد. بنا بر اصل فرما ، نقطه P بايد در جايي قرار بگيرد كه مدت سير نور مينيمم باشد (و يا ماكزيمم باشد و يا تغيير نكند) در هر دو صورت ، اين امر مستلزم آن است كه dl/dx = 0 باشد. اگر از l نسبت به x مشتق بگيريم بدست مي‌آوريم: (x (a² + x²) + (d - x) (b² + (d - x)² با توجه به شكل ، مشاهده مي‌كنيم كه مي‌شود اين معادله را بصورت زير نوشت: Sinө1 = Sinө1 يا ө1 = ө1 كه همان قانون بازتابش است. اصل فرما و قوانين شكست نور براي اثبات قانون شكست نور از اصل فرما ، دو نقطه A و B را در دو محيط متفاوت در نظر بگيريد، كه خط APB آنها را به هم وصل مي‌كند. مدت سير نور از اين رابطه بدست مي‌آيد: t = l1/v1 + l2/v2 با توجه به اين كه n = c/v ، مي‌توان نوشت: t = (n1l1 + n2l2)/c = l/c راه نوري چيست؟ به كميت n1l1 + n2l2 = l طول راه نوري پرتو مي‌گويند. طول راه نوري در هر محيط برحسب طول موج در آن محيط برابر با طول همان تعداد طول موج در خلا است. نبايد طول راه نوري را با طول راه هندسي كه برابر با l1 + l2 است، اشتباه كرد. اصل فرما ايجاب مي‌ند كه l مينيمم باشد (يا ماكزيمم باشد يا تغيير نكند) كه اين هم به نوبت خود مستلزم آن است كه x طوري انتخاب شود كه dl/dx = 0 باشد. كه بعد از حل اگر از آن نسبت به x مشتق بگيريم: dl/dx = n1 (1/2)(a² + x²) - 1/2 (2x) + n2 (1/2) (b² + (d - x)²) - 1/2 (2) (d-x) (-1) = 0 اين معادله را مي توان به صورت زير نوشت: 2(n1x/(a² + x²)2 = n2 (d - x)/(b² + (d - x)² كه با توجه به شكل فوق به صورت مقابل در مي‌آيد: n1Sinө1 = n2Sinө2 كه همان قانون شكست است. نگاهي دوباره به اصل فرما حال مي خواهيم با نگاهي درباره به اصل فرما، آن را براي يك سيستم لايه لايه توضيح مي دهيم. فرض كنيد مطابق شكل زير، ماده اي لايه لايه مركب از m لايه با ضريب شكستهاي مختلف داشته باشيم. در اين صورت زمان عبور از s به p برابر خواهد بود با: t = s1/v1 + s2/v2 + … + sm/vm يا: t = ∑mi = ∑si/vi كه در آن ، si و vi به ترتيب طول مسير و سرعت متناظر با i امين لايه‌اند. بنابراين: t = 1/c∑mi = ∑nisi كه در آن عبارت مجموع را طول راه نوري ، كه توسط پرتو نور پيموده شده است، مي‌نامند. اين كميت با طول سير فضايي فرق دارد. پس c/طول راه نوري = t . مي توانيم اصل فرما را دوباره چنين بيان كنيم: نور در هنگام گذر از نقطه s به نقطه p ، مسيري را مي‌پيمايد كه كوتاهترين راه نوري است. اصل فرما و حركت پرتوهاي خورشيد در جو همانطور كه مي دانيم جو از تعداد زيادي لايه، با ضريب شكستهاي مختلف تشكيل شده است. بنابراين وقتي كه پرتوهاي نور خورشيد از ميان جو ناهمگن زمين عبور مي كنند، خم مي شوند تا در هنگام گذشتن از نواحي پايين تر و چگالتر، هر چه زودتر خم شوند و در نتيجه طول راه نوري را كمينه سازند. به همين جهت مي توان خورشيد را حتي بعد از اين كه از زير افق گذشته باديد شد. اصل فرما و پديده سراب هنگامي كه تحت زاويه‌اي خراشان به جاده‌اي نگريسته شود، به نظر مي‌رسد كه جاده را لايه‌اي از آب پوشانده است. هواي نزديك به سطح جاده گرمتر و كم چگالتر از هوايي است كه بالاتر از آن قرار دارد. پرتوها بسوي بالا خم شده و از كوتاهترين راه نوري مي‌گذرند و با انجام اين كار ، چنان به نظر مي‌رسد كه گويي از سطحي آينه‌اي بازتابيده‌اند. اين پديده را بويژه در بزرگراههاي جديد و طويل مي‌توان ديد. منبع: هوپا