ماتريس

[nafise sadeghi]

ماتریس

ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل از اعداد مختلط به طوری که عناصر این آرایه را درایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطر i ام و ستون ام را با نماد نشان می‌دهیم.
ماتریسی که دارای m سطر و n ستون باشد را ماتریس از مرتبه m, در n می‌نامیم.( )

نکته

هرگاه آنگاه ماتریس را مربع از مرتبه می‌نامیم.
یک ماتریس را بصورت نمایش می‌دهیم.

تاریخچه

مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانند مربعهای جادویی و مربعهای لاتین ، به تاریخ قبل از میلاد نسبت داده شده است. معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای از جبر خطی در نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستم معادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد. لایب نیتس به عنوان یکی از پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد.

در ادامه کرامر روش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساس دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد. این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است. در مقابل اولین استفاده ضمنی از ماتریسها توسط لاگرانژ برای تعیین ماکزیمم و مینیمم توابع چند مقداری مورد استفاده قرار گرفت. در ادامه گاوس روش حذفی خود را برای حل مسائل کمترین مربعات که کاربردهای بسیار وسیعی در علوم سماوی و ژئودوزی دارد را معرفی کرد.

روابط بین ماتریس‌ها

تساوی دو ماتریس

دو ماتریس و مساوی اند اگر و فقط اگر (هم مرتبه باشند) و

جمع دو ماتریس

اگر و آنگاه

قرینه ماتریس

اگر آنگاه قرینه را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

ضرب اسکالر در ماتریس

اگر و یک اسکالر باشد آنگاه
در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود. در این نوع ضرب تمامی عناصر ماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال:

و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد:

cA)ij = c(A)ij)

[nafise sadeghi]

ضرب ماتریس‌ها

اگر و آنگاه ضرب دو ماتریس را با علامت AB نمایش داده و بصورت زیر تعریف خواهیم کرد:

در این نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند. بطور مشابه ضرب دو ماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد. ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضرب شونده برابر باشند. بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند به صورت زیر بیان می‌شود:

برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y ام ماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریس ضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم. به صورت ریاضی حاصلضرب دو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود:

A × B)ij = (A)i1(B)1j + (A)i2(B)2j + ... + (A)in(B)nj)

بطور ساده‌تر می‌توان ماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را به صورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت.

انواع ماتریس

ماتریس صفر

ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفر نامیده و ماتریس صفر از مرتبه mضربدرn را با نماد نمایش می‌دهیم و داریم

ماتریس همانی

ماتریس مربع از مرتبه را همانی گوییم هرگاه وبه ازای هر داشته باشیم

ماتریس اسکالر

اگر یک اسکالر و ماتریس همانی از مرتبهn باشد آنگاه را ماتریس اسکالر می‌نامیم.

ماتریس وارون پذیر

ماتریس مربع را وارون پذیر می‌نامیم هرگاه ماتریس مربع یافت شود به طوری که .دراین صورت را وارون می‌نامیم.

ماتریس قطری

ماتریس مربعی را قطری نامیم هرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند.

[nafise sadeghi]

چند خاصیت از ماتریس ها

اگر سه ماتریس و دو اسکالر باشند آنگاه:

اگر آنگاه

اگر آنگاه

اگر انگاه

در حالت کلی ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگر تعریف شده باشند و این در حالتی ممکن است که دو مربع هم مرتبه باشند.)