پيوستگي

[nafise sadeghi]

پیوستگی

توابع پیوسته

تابعی مانند که بتوان نمودار آن را در هر بازه ای از دامنه اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد مثالی از یک تابع پیوسته است. نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با x تغییر می کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع مانند نقطه در شکل (1) مقدار تابع حد مقادیر تابع در هر یک از دو طرف است.یعنی :

مقدار تابع در هر یک نقطه انتهایی نیز حد مقادیر تابع در نزدیکی آن است.در نقطه انتهایی چپ a :

و در نقطه انتهایی راست b :

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون در یک نقطه داخلی از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و فقط اگر :

پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه اش مانند a پیوسته است اگر و تنها اگر :

تابعی چون در یک نقطه انتهایی راست از دامنه اش مانند b پیوسته است اگر و تنها اگر :

تابع پیوسته به بیان دیگر

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه اش پیوسته باشد.

ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد گوییم f در c ناپیوسته است و c را یک نقطه ناپیوستگی f می خوانیم.

[nafise sadeghi]

آزمون پیوستگی

تابع در پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر درست باشد :
الف. وجود دارد. (c در دامنه f است.)
ب. وجود دارد. (f وقتی دارای حد است.)
ج. (این حد برابر با مقدار تابع است.)
در آزمون فوق اگر یک نقطه داخلی دامنه f باشد حد مورد نظر دوطرفه است و اگر c یک نقطه انتهایی دامنه باشد حد مزبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ یا راست) است.

قضیه ترکیب حدها برای توابع پیوسته

اگر توابع در پیوسته باشند آنگاه همه ترکیبات زیر در پیوسته اند :
1.

2.

3.

4.

[nafise sadeghi]

قضیه

هر تابع در هر نقطه ای که مشتق داشته باشد در آن نقطه پیوسته است. یعنی اگر در c دارای مشتق باشد آنگاه در پیوسته است.

قضیه

اگر f در c و g در پیوسته باشند آنگاه تابع مرکب در c پیوسته است.

قضیه ماکسیمم-مینیمم برای توابع پیوسته

اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد آنگاه f یک مقدار می نیمم m و یک مقدار ماکزیمم m اختیار می کند. یعنی اعدادی چون در وجود دارند به طوری که و و برای هر نقطه مانند x در داریم :

قضیه مقدار میانی

اگر f در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد و N عددی بین و باشد آنگاه دست کم یک نقطه c بین a,b وجود دارد که در آن نقطه f مقدار N را اختیار می کند. به شکل (2) توجه کنید.