فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود

[MRT]

مدار اول

در دايره مثلثاتي فوق كمان AC برابر است با 2*(12/360) يا 6/360 يعني 60 درجه ، با توجه به اينكه در مثلث قائم‌الزاويه OAB زاويه BOA برابر 60 درجه است ، ضلع OB برابر خواهد بود با OAcos60° يا r/2 يعني 0.5=2/1 .

مدار دوم

در مثلث قائم‌الزاويه OAB زاويه AOB=15° ميباشد براي اينكه پاره خط AO نيمساز زاويه COD بوده و كمان CD برابر 30 درجه ميباشد و همچنين OB=r/2 ميباشد . با توجه به اينكه OB=OAcos15° پس

مدار سوم

با توجه به اينكه كمان CD برابر 60 درجه ميباشد ، زاويه CBD برابر با نصف CD يعني 30 درجه خواهد بود . در اين صورت زاويه OEB برابر 120 درجه و زاويه BEA برابر 60 درجه و زاويه EBA نيز برابر 60 درجه ميباشد . در اين وضعيت مثلث EBA متساوي‌الاضلاع بوده و AB=EB ميباشد و با در نظر گرفتن اينكه مثلث OEB متساوي‌الساقين است EB=EO بوده و EO=AB خواهد شد و چون AB برابر r*tan30° ميباشد در نتيجه OE يا شعاع مدار سوم نيز برابر r*tan30° يا r√3)/3) و 3/3√ خواهد شد .

مدار چهارم

در مثلث قائم‌الزاويه OAB دو ضلع OB و BA مساوي يكديگر بوده و اندازه هر دو برابر r/2 ميباشد .

OA²=OB²+BA²→OA²=2(r/2)²→OA=√2(r/2) = r√2/2=√2/2

مدار پنجم

در مثلث قائم‌الزاويه OAB اندازه ضلع OB برابر است با OAcos30° يعني r√3/2 يا 2/3√ .

مدار ششم

در مثلث قائم‌الزاويه ABC زاويه BAC روبروي كمان DE برابر 30 درجه ميباشد .

AB=r-r√3/2=(2r-r√3)/2

BC/BA=tan30°→BC/[(2r-r√3)/2]=(√3/3)→3BC=√3(2r-r√3)/2=(2√3r-3r)/2→

6BC=2√3r-3r→BC=(2√3r-3r)/6

و در مثلث قائم‌الزاويه OBC :

مدار هفتم

در مثلث قائم‌الزاويه OAB ضلع OB برابر است با r√3/2

مدار هشتم

در كليه محاسبات فوق مقدار r را يك واحد در نظر گرفته‌ايم .


لازم به توضيح است ، همانطور كه از برآورد اندازه‌هاي فوق بر مي‌آيد ، اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 12 ،18 ، 36 ، 48 كاربرد داشته‌اند و اين اعداد مربوط به سيستم شمارش اعداد بر مبناي دوازده‌تايي يا حساب دوجيني مي‌باشد براي اينكه :

و همچنين زاويه‌هاي 30 ، 60 ، 90 و 15 درجه كاربرد داشته‌اند و همانطور كه ميدانيم اندازه گيري ابعاد در هندسه و مثلثات با استفاده از اين زاويه‌ها بسيار سهل و آسان و كار آمد بوده و مربوط به تقسيمات دوجيني دايره ميشود و نسبتهاي مثلثاتي اين زاويه‌ها به راحتي از رابطه فيثاغورس محاسبه ميشوند . در واقع اشكال و اعداد و ارقام فوق اشاره به نوعي هندسه دارد كه ميتوان نام آن را هندسه دوجيني ناميد كه تا به امروز موفقيتهاي بسياري را در زمينه رياضيات و ساير علوم به همراه داشته است ، البته اين در حالي است كه از اين زوايا در مبناي ده‌تايي استفاده شده است .

جدول فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود :

محمدرضا طباطبايي 22/8/86