معادله بلمن

[Only Math]

معادله بلمن که به نام یابنده آن ریچارد بلمن نام گذاری شد، یک شرط ضروری در روشهای ریاضی بهینه سازی*است که با نام برنامه نویسی پویا نیز شناخته می*شود. تقریبا هر مسئله را که بتوان با استفاده از نظریه کنترل بهینه حل کرد نیز می*توان با تحلیل مناسب معادله بلمن حل کرد.معادله بلمن در ابتدا در مهندسی نظریه کنترل و دیگر مباحث در ریاضیات کاربردی اعمال و متعاقبا به یک ابزار قدرتمند در نظریه اقتصاد مبدل شد.


مثال

در فراگیری پاداش/جزا، یک معادله بلمن به یک بازگشت برای مقادیر مورد انتظار اشاره می*کند.برای مثال، مقدار مورد انتظار برای بودن در یک وضعیت خاض s و دنبال کردن تعدادی روش ثابت π معادله بلمنی به صورت زیر دارد:



این معادله مقدار مورد انتظار برای انجام کاری که توسط چند روش تعیین شده بود را توصیف می*کند.

معادله مربوط به روش بهینه سازی به عنوان معادله بهینگی بلمن بیان می*شود:



این معادله پاداش برای انجام کاری که بالاترین انتظار را برآورده می*کند، توصیف می*کند.


روش*های حل

* روش ضرایب نامعین، یا همان روش 'حدس و بررسی'، می*تواند در حل بعضی معادلات بلمن مستقل کران-بینهایت استفاده شود.

* معادله بلمن را می*توان به کمک استقرای وارونه، در بعضی موارد به صورت تحلیلی و یا به صورت عددی با کامپیوتر حل کرد.استقرای وارونه عددی قابل استفاده در بسیاری از مسائل است، ولی هنگامی که تعداد متغیرهای حالت زیاد شود با توجه به مشکل بعد پذیری حل مسئله غیر ممکن می*شود.

با محاسبه شرایط مرتبه اول که به معادله بلمن مرتبط است، و سپس استفاده از قضیه پوش برای از بین بردن مشتقات تابع مقدار، به دست آوردن قاعده معادله تفاضلی یا معادله دیفرانسیل که 'معادله اویلر' نام دارد، ممکن می*شود. روش*های استاندارد برای حل معادلات تفاضلی یا دیفرانسیل می*توانند برای محاسبه تغییرات متغیرهای حالت و متغیرهای کنترلی مسئله بهینه سازی استفاده شوند.


کاربرد در اقتصاد

اولین کاربرد اقتصادی معادله بلمن، مقاله سال ۱۹۷۳ اصلی مرتون در مدل قیمت گذاری دارایی حیاتی میان گذرا است.جواب مدل نظری مرتون، که در آن سرمایه گذاران از میان درآمد امروز و درآمد آینده یا عواید دارایی انتخاب می*کنند، یک صورت از معادله بلمن است. به این دلیل که کاربردهای اقتصادی برنامه نویسی پویا معمولا به یک معادله بلمن می*رسد که یک معادله تفاضلی است، اقتصاد دانان از برنامه نویسی پویا به عنوان یک «روش بازگشتی» یاد می*کنند.

استوکی، لوکاس و پریسکات برنامه نویسی پویای تصادفی و غیر تصادفی را با جزییات دقیق، با زدن مثال*های فراوان از چگونگی استفاده از برنامه نویسی پویا در نظریه اقتصاد، توصیف می*کنند.
این کتاب به این موضوع می*انجامد که برنامه نویسی پویا برای حل دامنهٔ وسیعی از مسائل نظری در اقتصاد به کار گرفته شود که این مسائل شامل رشد اقتصادی بهینه، استخراج منابع، مسائل عامل اصلی، سرمایه گذاری عمومی، تجارتسرمایه گذاری، قیمت گذاری دارایی، تدارک ضریب تولید، وسازمان دهی صنعتی می*شوند.

استفاده از برنامه نویسی پویا برای حل مسائل ملموس بوسیله مشکلات اطلاعاتی، مثل انتخاب نرخ نزول غیر قابل مشاهده، پیچیده می*شود.همچنین مسائل محاسباتی وجود دارند، یکی مسائل اصلی آن مشکل بعد پذیری است که از تعداد زیادی از پتانسیل*های متغیرهای حالت ناشی شده*است که قبل از آنکه استراتژی بهینه انتخاب شود، باید مورد توجه قرار گیرد.
منبع: iran30t.com