اسرار بی نهایت

[Only Math]

اسرار بی نهایت

بي نهايت حقيقتا عجيب و شگفت انگيز است. فرض كنيد بي نهايت عدد سيب داشته باشيد حال اگر يك سيب از سيب هاي خود را به دوستتان بدهيد، باز هم همان بي نهايت سيب را داريد و حتي يك سيب هم از سيب هايتان كم نشده است ! حال فرض كنيد در حساب بانكي خود بي نهايت تومان پول داشته باشيد . در اين صورت مي توانيد بي نهايت تومان از حساب بانكي خود برداشت كنيد و به دوستانتان ببخشيد و در موجودي حسابتان هيچ تغييري ايجاد نخواهد شد. شما هنوز هم بي نهايت ثروتمنديد و حتي يك تومان هم نسبت به قبل كمتر نداريد و اين در حالي است كه اكنون دوستان شما نيز مانند شما بي نهايت ثروتمند شده اند. اگر از اين مثال ها حيرت زده شده ايد، هيج جاي تعجب نيست؛ جرا كه فيلسوف ها و رياضيدان ها هم در مواجهه با بي نهايت دقيقا همين حس شما را دارند. آنها هم قرن ­هاست كه در جستجوي پاسخ اين پرسش اسرارآميزهستند: به راستي مفهوم " بي نهايت " چيست؟
تاریخچهمفهوم شگفت انگیز بي نهایت، از گذشته های دور ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول كرده بود. هر چند برخی معتقدند كه مفهوم بي نهایت براي نخستین بار در تمدن هند باستان مطرح شده است، اما مي توان گفت كه نخستین كار جدی در مورد بي نهایت در عرصه ریاضیات به دوران یونان باستان و تحقیقات اقليدس بر روي اعداد اول باز مي گردد. اقليدس در کتاب مشهور " اصول " خود هر چند مستقیماً نامي از بي نهایت نمي برد، اما به طور ضمنی به آن اشاره مي كند كه " بزرگترین عدد اول، از حاصل ضرب هر تعداد مفروضي از اعداد اول هم بزرگتر است ". پس از اقليدس، پژوهش در مورد بي نهایت توسط سایر ریاضی دانان همچنان ادامه یافت تا سرانجام نماد ∞ به عنوان نماد ابن مفهوم اسرارآمیز پا به عرصه ریاضیات گذاشت. با آغاز عصر جدید، پژوهش در مورد بي نهایت همچنان ادامه یافت. در این دوران " گاتفريد ويلهلم لايبنيتز" و " ايزاك نیوتن " براي نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام " بي نهایت كوچك " در عرصه ریاضیات پرده برداشتند. بي نهایت كوچك كه عملا از همان مفهوم بي نهایت مشتق شده است، عددی مثبت است كه از هر عدد مثبت مفروض دیگری کوچکتر است. بدین ترتیب " بي نهایت " به همراه پسر عموی كوچك خود يعني بي نهایت كوچك، پايه های عرصه بدیعی از ریاضیات به نام " حساب ديفرانسيل و انتگرال " ( حسابان) را شکل دادند و ابن گونه بود كه بي نهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد.اما در حالي كه دانشمندان و مهندسان به کاربردهای بي نهایت بسنده كرده بودند، تلاش براي کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرارآمیز در عرصه ریاضیات همچنان ادامه یافت. این تلاش ها در سال 1874 میلادی به نقطه عطفي رسید، زیرا در این سال بود كه " جورج کانتور " ،ریاضی دان بزرگ روسی - آلمانی، به کشف حیرت انگيزي در مورد بي نهایت دست یافت: این كه اگر چه بي نهایت، بي نهایت بزرگ است، اما با این حال بزرگتر از آن هموجود دارد! این کشف، فوق العاده عجیب بود؛ چرا كه مي دانیم كه بي نهایت از هر عدد قابل تصوّری بزرگتر است. پس چگونه ممکن است چیزی بزرگتر از بي نهایت هم وجود داشته باشد؟ در پاسخ باید گفت كه هر چیزی كه از بي نهایت بزرگتر باشد، اول از همه خودش باید بي نهایت باشد. بنابراین در واقع کانتور کشف كرد كه بعضی بي نهایت ها از بعضی دیگر از بي نهایت ها بزرگتر هستند! اما به راستی چگونه ؟ آخر اگر بي نهایت، بي نهایت بزرگ است ، پس چگونه ممکن است بزرگتر از آن هم وجود داشته باشد؟! هنگامی كه کانتور کشف عجیب و شگفت انگیز خود را براي سایر ریاضی دانان بازگو كرد،همگی تصور کردند كه او دچار نوعی جنون شده است! به همين دلیل هم هنوز چند سالي از این کشف عجیب نگذشته بود كه کانتور دچار افسردگی شدید شد. علت افسردگی شدید او کناره گيري از همکارانش و ناامید شدن از آنها و سایر ریاضی دانان بود؛ چرا كه هرچه کشف مهم خود را براي آنها توضیح مي داد،هیچ كس متوجه آن نمي شد در واقع این ریاضی دانان نسل بعد بودند كه نهایتا به اهمیت فوق العاده کشف کانتور پی بردند. اما به راستی کانتور چگونه به چنین نتیجه حیرت انگيزي رسیده بود؟ پاسخ این معما به شاخه ای از ریاضیات باز مي گردد كه توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه " نظریه مجموعه ها " نامیده مي شود.

تحلیل ریاضی بینهایت

1.مفاهیم بنیادی

دنباله عدد های صحیح مثبت ..., 1,2,3 نخستین و مهمترین نمونه از مجموعه های نا متناهی است. در اینکه این دنباله پایان یا انتها یا « نهایت»ی ندارد هیچ ابهامی وجود ندارد زیرا هر قدر عدد صحیح n بزرگ باشد، همواره می توان عدد صحیح بعدی ، n + 1 ، را تشکیل داد. اما در گذار از صفت « نا متناهی » یا « بینهایت » به اسم « بینهایت » نباید تصور کرد « بینهایت »، که معمولا با نماد ویژه ∞ نمایانده می شود، همچون یک عدد معمولی است. نمی توان نماد ∞ را در دستگاه اعداد حقیقی منظور کرد و در عین حال قواعد بنیادی حساب را محفوظ نگه داشت. با این حال، مفهوم بینهایت در همه جای ریاضیات حضور دارد زیرا اشیای ریاضی معمولا نه به صورت انفرادی و جداگانه بلکه به عنوان اعضای رده ها یا توده هایی که بینهایت شی ء همنوع دارند ، مانند مجموعه عدد های صحیح یا عدد های حقیقی یا مثلث ها در یک صفحه، مورد مطالعه قرار می گیرند. به این دلیل، تحلیل دقیق بینهایت ریاضی ضرورت دارد. نظریه نوین مجموعه ها که در اواخر قرن نوزدهم به وسیله جورج کانتور و پیروان مکتب او خلق شده، به این مسئله پرداخته و توفیق خیره کننده ای در حل آن بدست آورده است. نظریه کانتور در باب مجموعه ها در بسیاری از شاخه های ریاضی رخنه کرده و در آن ها به شدت تاثیر گذاشته، و در مطالعه مبانی منطقی و فلسفی ریاضیات اهمیتی اساسی یافته است. نقطه شروع این نظریه مفهوم مجموعه یا توده است. منظور از این کلمه، هر گردآیه ای از چیزهاست که با قاعده ای تعریف می شود که به دقت مشخص می کند کدام چیزها به گردآیه مفروض تعلق دارند. به عنوان مثال می توان از مجموعه همه اعداد های صحیح مثبت، مجموعه همه کسرهای اعشاری دوره ای، مجموعه همه عدد های حقیقی، یا مجموعه همه خط های راست در فضا سه بعدی، نام برد. مفهوم اساسی در مقایسه « اندازه » دو مجموعه، مفهوم « هم ارزی » است. اگر عضو های دو مجموعهA و B را بتوان چنان با هم جفت کرد که به هر عضو A یک و فقط یک عضو B و به هر عضو B یک و فقط یک عضو A نظیر شود، این تناظر را دو سویی می نامند و می گویند A و B هم ارزند. مفهوم هم ارزی برای مجموعه های متناهی با مفهوم معمولی برابری تعداد اعضا یکی است زیرا تعداد عضو های دو مجموعه متناهی یکی است اگر و تنها اگر بتوان تناظری بین آنها برقرار کرد. این موضوع در واقع همان ایده شمارش است زیرا وقتی مجموعه ای متناهی از چیز ها را می شماریم، صرفاً تناظری دو سویی بین آن چیزها و مجموعه ای از نمادهای عددی 1،2، 3 ،... ، برقرار می سازیم. برای اثبات هم ارزی دو مجموعه متناهی همیشه لازم نیست اشیای موجود در آنها را بشمریم. مثلاًَ می توانیم بدون شمارش ادعا کنیم که هر مجموعه متناهی از دایره های به شعاع 1 با مجموعه مرکز های آنها هم ارز است.

برای دیدن ادامه مقاله به فایل زیر مراجعه کنید:

Asrar Binahayat.pdf