هندسه مینکوفسکی

[mathematics]

هندسه میکوفسکی به افتخار ریاضیدان آلمانی هرمان مینکوفسکی نامگذاری شد. این فضا که به فضای مینکوفسکی یا فضا-زمان مشهوره نقش مهمی در فیزیک بازی میکنه.
در این فضا مینکوفسکی سه بعد فضا در هندسه معمولی را با بعد زمان ترکیب کرد تا به این وسیله بتواند منیفلد چهار بعدی را تشکیل داده و اینگونه فضا زمان را نمایش دهد.
در فیزیک نظری فضای مینکوفسکی اغلب در برابر فضای اقلیدسی قرار میگیرد. به طوری که فضای اقلیدسی تنها بعدهای مکان دارد و فضای مینکوفسکی علاوه بر آن بعد زمان نیز دارد.
گروه متقارن برای فضای اقلیدسی گروه اقلیدسی و گروه متقارن برای فضای مینکوفسکی گروه پوینکاره نامیده میشود.




تاریخچه:
در سال 1907 ریاضی دان آلمانی هرمان مینکوفسکی فهمید که نظریه نسبیت خاص(کشف شده توسط انیشتن) را میتوان با یک فضا-زمان چهار بعدی زیباتر توصیف کرد که ترکیبی از سه بعد فضا و یه بعد زمان است.
این روش ارئه شده به زودی در سال 1980 در بحث چهارگانها و چهارگانهای هیپر بولیک استفاده شد.
در حقیقت فضای مینکوفسکی به عنوان یک ساختار ریاضی می تواند به صورت منفی حاصل ضرب چهارگانهای هیپربولیک در نظر گرفته شود. که با حفظ شکل خطی به صورت زیر است:


که توسط چهارگان هیپربولیک ضربی pq* تولید میشود.

ساختار
معمولاً فضای مینکوفسکی یک فضای برداری حقیقی چهار بعدی است که با علامت (−,+,+,+) به یک صورت خطی متقارن و ناتباهیده مجهز شده است.
به عبارت دیگر فضای میکوفسکی یک فضای اقلیدسی کاذب با n=4 وn-k=1 است.
اعضای فضای مینکوفسکی رویداد یا بردار چهار بعدی نامیده می شوند. این فضا اغلب با R1,3 نشان نمایش داده میشود تا تاکیدی بر علامت (−,+,+,+) باشد.
اگرچه این فضا با علامت M4 یا به طور ساده تر M نیز نمایش داده می شود. این شاید ساده ترین مثال از یک منیفلد ریمانی کاذب باشد.

ضرب داخلی مینکوفسکی

ضرب داخلی این فضا مشابه ضرب داخلی فضای اقلیدسی است.
فرض کنید M یک فضای برداری حقیقی چهار بعدی باشد. ضرب داخلی مینکوفسکی نگاشت η: M × M → R با دو بردارv,w در M است (ما ( η(v,w را به عنوان عدد حقیقی تعریف میکنیم) که در خاصیت های (1) و (2) و(3) صدق می کند:


(1) خاصیت خطی بودن ( η(au + v,w) = aη(u,w) + η(v,w
برای همه a ∈ R و u, v, w در M

2)خاصیت تقارنی η(v,w) = η(w,v)

(3) خاصیت ناتباهیدگی اگر η(v,w) = 0 برای همه w ∈ M آنگاه v = 0

تذکر: این ضرب داخلی در معای متداول نیست ، چون همیشه مثبت نیست یعنی نرم مینکوفسکی بردار V که با ||v|| نمایش داده میشود و برابر (v||2 = η(v,v|| است نیاز نیست که همیشه مثبت باشد.

[میثم.م.ک]

مطالب بسیار ساده است