پنج اصل در تحقیقات ریاضی

[mathematics]

در اکثر مراکز آموزشی پروژه تحقیقاتی یکی از نیازهای اساسی برای فراغت از تحصیل در دوره های تخصصی ریاضی می باشد. ولی بسیاری از دانشجویان در ایجاد و یافتن موضوع تحقیقاتی ناتوانند و به ناچار این مهم را به استاد راهنمای خویش واگذار می کنند و در انتخاب زمینه تحقیقاتی مناسب به تجارب استادشان تکیه می کنند. مساله فوق با این واقعیت پیچیده تر می شود که بسیاری از موضوعات بیان شده در دوره کارشناسی ریاضی کاملا حل شده اند در صورتیکه بسیاری از مسائل حل نشده برای فهم نیاز به دانسته های تخصصی یا مرور تحقیقات انجام شده دارند تا بتوان آن را برای تحقیقات مناسب مهیا کرد.
پس دانشجویان چگونه می توانند موضوعی را انتخاب کنند که پیش پا افتاده نباشد و در عین حال برای تحقیق مناسب و قابل انجام باشد؟
گستره عظیم تحقیقات ریاضی در چارچوب پنج دسته قابل بیان است که پس از کمی تامل می توان آنرا در کلمه اتکتو خلاصه کرد: اثبات - توسیع - کاربرد - توصیف - وجود.
اثبات: کم و بیش هر تحقیق ریاضی شامل اثبات است. با این مفهوم اثبات مرکز توجه در پروژه های تحقیقاتی است. در حالت کلی تر باید متذکر شد که ارائه اثبات جدید نیز جزو تحقیقات معتبر ریاضی است. به عنوان نمونه گاوس با ارئه اثبات جدیدی از قضیه بنیادی جبر رساله دکتری خویش را دریافت نمود. گاوس احساس کرد که اثبات حاضر رسا نیست لذا چهار اثبات دیگر از این قضیه ارائه کرد.
توسیع: در این روش چند مفهوم گسترش داده می شوند. برای مثال نیوتن بسط چند جمله ای خود را برای توان های صحیح بدست آورد سپس آن را برای توانهای گویای مثبت و منفی گسترش داد. انتگرال لبسکیو نمونه دیگری از توسیع است.
کاربرد: در این روش ایده موجود را در زمینه های جدید به کار می گیریم. این روش عمده ترین فعالیت در ریاضیات کاربردی است ولی می تواند در ایجاد بخش های نوین ریاضیات محض به کار گرفته شود. به عنوان نمونه کاربرد جبر در هندسه منجر به ایجاد هندسه تحلیلی گردید.

توصیف: ما می توانیم به دسته بندی و توصیف مفاهیم و موضوعات ریاضی بپردازیم. برای مثال عمده کار کشی توصیف مفاهیم پیوستگی مشتق پذیری و انتگرال پذیری بود. همچنانکه کانتور به توصیف ساده ای از مفهوم بینهایت پرداخت.
وجود: اگر موشکافانه نگاه کنیم وجود بخشی از توصیف است. زیرا یکی از خواص مساله وجود یا عدم وجود آن است. برای نمونه در این حالت می توان به اثبات اقلیدس از وجود بینهایت عدد اول اشاره کرد.
با استفاده ار این ۵ اصل دانشجویان دوره کارشناسی و کارشناسی ارشد راحتتر می توانند موضوعات تحقیقاتی شان را ایجاد نمایند.