اقسام احتمال

[mohebbi]

اگر با تاریخچه احتمال و علم آمار آشنايي داشته باشيم متوجه اين امر خواهيم شد كه احتمال يكي از ابزار هاي مهم و اساسي علم آمار به شمار مي آيد. همانطور كه در تعريف احتمال گفته شد ، احتمال بيشتر در رابطه با بازي هاي شانسي رايج گرديد، يعني در آزمايشات تصادفي كه نتايج آن قطعي نيستند. اما چيزي كه واضح است اين است كه حتي اگر برآمد حاصل از يك آزمايش قطعي هم نباشد مي توان برآمد را پيش بيني كرد. البته اين پيش بيني در دراز مدت صورت مي پذيرد.

براي درك بهتر اين مسئله از يك مثال استفاده مي كنيم: فرض كنيد كه يك سكه سالم را به طور مكرر پرتاب مي كنيم ما در انجام هر بار اين آزمايش تصادفي نمي دانيم كه برآمد چه خواهد بود يعني به طور قطعي قابل پيش بيني نيست كه نتيجه خط است يا شير. اما اگر اين آزمايش را بينهايت بار انجام دهيم و نتايج را براي هر بار يادداشت كنيم چيزي كه به دست خواهد آمد اين است كه احتمال شير آمد برابر با احتمال خط آمدن خواهد شد. (با توجه به شرط سالم بودن سكه)

در حقيقت اين نظم كه در دارز مدت قابل پيش بيني است ، انگيزه اي براي داير كردن قمار خانه ها بود.* هر چند از اين عدم قطعيت و نظم امروزه تنها در قمار خانه ها استفاده نمي شود و در خيلي از شاخه هاي علوم تجربي و انساني نيز استفاه مي شود. به عنوان مثال در ژنتيك ، در كشاورزي، در بررسي اميد به زندگي افراد، در تاثير يك داروي خاص بر روان انسانها و مثال هايي از اين دست.

در حالت كلي احتمال را به دودسته تقسيم بندي مي كنند:

1- احتمال پيشين يا كلاسيك
2- احتمال پسين يا فراواني

كه به طور مجزا هر يك را مورد بررسي قرار مي دهيم.

*:بر گفته از كتاب مقدمه اي بر نظريه آمار نوشته الكساندر مود، فرانكلين گريبيل،دون بوز

[mohebbi]

براي تعريف احتمال كلاسيك از يك مثال شروع مي كنيم: فرض كنيد كه يك سكه نا اريب داريم ، چون اين سكه سالم است پس احتمال اينكه در پرتاب آن شير ظاهر شود برابر است با احتمال اينكه در پرتاب آن خط ظاهر شود. شايد از اين استدلال بارها به نحو هاي مختلفي استفاده كرده باشيم . جالب است بدانيد كه اين گونه استدلال براي محاسبه احتمال را احتمال كلاسيك يا پيشين مي نامند.

بنابر اين مي توان احتمال كلاسيك را به اين صورت تعريف نمود: اگر آزمايشي تصادفي داراي N برآمد ممكن دو به دو ناسازگار و هم شانس باشد و اگر n برآمد از آن حاوي صفت A باشند، آنگاه احتمال A برابر كسر n/N است.*يعني:

P(A)= n/N

براي درك بهتر از مثالي ديگر استفاده مي كنيم : فرض كنيد كه از يك دست كارت بازي معمولي كارتي را به تصادف مي كشيم و مي خواهيم احتمال اينكه كارت مورد نظر آس باشد را محاسبه كنيم، همان كه مي دانيد در يك دست كارت بازي 52 تايي 4 كارت آس وجود دارد و كليه كارت ها شبيه به هم هستند پس همه كارت ها هم احتمال هستند و احتمال براي هر كدام 52/1 خواهد بود، حال اگر بخواهيم احتمال را براساس احتمال كلاسيك بيان كنيم به اين روش عمل مي كنيم:

در اين مثال A يعني صفت مورد بررسي آس بودن كارت انتخابي است

N=52


n=4


P(A)=4/52=1/13


نكته اي كه در اينجا بايد به آن توجه داشت اين است كه كاربرد تعريف احتمال كلاسيك براي مثال هاي فوق كار راحتي است اما در به كار بردن اين تعريف بايد به چند نكته توجه كرد.

1- ناسازگاي
2- هم شانسي
3- تصادفي بودن

براي مشخص تر شدن معاني اصطلاحات فوق از يك مثال استفاده مي كنيم: فرض كنيد كه يك سكه سالم را دوبار مي اندازيم و مي خواهيم احتمال اينكه در هر دو پرتاب شير ظاهر شود را بررسي كنيم. وقتي يك سكه را دو بار پرتاب مي كنيم وموارد زير پيش مي آيد

1- هردو شير
2- هر دو خط
3- يكي شير و يكي خط

حال احتمال دو شير چند خواهد بود؟ ممكن است گمان كنيد كه چون سه حال داريم و دو شير آمدن هم يكي از برآمد هاي فوق است پس احتمال 3/1 خواهد بود. اما به كار بردن اين احتمال اشتباه است. اگر به مورد سوم دقت كنيم متوجه مي شويم كه اين حالت به دو صورت خواهد بود:

1- اولي شير بيايد و دومي خط
2- اولي خط بيايد و دومي شير

شايد اين دو مورد در ظاهر يكسان باشند اما دو پيشامد ناسازگاز محسوب مي شوند. يعني هيچ اشتراكي با هم ندارند. (ناسازگاري در نظريه مجموعه ها توضيح داده خواهد شد.)

حال براي اينكه بتوانيم احتمال مورد نظر را محاسبه كنيم فضاي نمونه اين آزمايش تصادفي را مي نويسيم.

S={HH,HT,TH,TT}
بنابر اين اگر A را پيشامد دو شير در دو بار پرتاب يك سكه سالم در نظر بگيرم و با توجه به اينكه فضاي نمونه 4 عضو دارد احتمال مورد نظر برابر است با:

P(A)=1/4

نكته ديگري كه بايد به آن توجه داشت اين است كه احتمال هايي كه بر اساس احتمال پيشين بيان مي شوند صرفا بر اساس استدلال قياسي به دست مي آيند.

تا اين جا برخي از كاربردهاي احتمال كلاسيك را بيان كرديم اما مسئله اي كه ما را مقداري دچار مشكل مي كند اين است كه احتمال كلاسيك در هر حالتي قابل استفاده نيست . به عنوان مثال وقتي كه فضاي نمونه نا متناهي است در اين صورت N به بينهايت ميل خواهد كرد و محاسبه احتمال بر اساس تعريف احتمال كلاسيك كار راحتي نخواهد بود، در اين گونه مواد بايد تعريف احتمال پيشين را اندكي تغيير دهيم. مشكل ديگري كه در به كار گيري احتمال كلاسيك وجود دارد وجود اريبي است مثلا اگه سكه يا تاس مورد نظر سالم نباشد و احتمال وجوه متفاوت باشد در اين حالت ديگر بر اساس تعريف كلاسيك يا پيشين نمي توان مقدار احتمال را محاسبه نمود. موارد مشابه اين امر بسيار زياد هستند كه احتمال كلاسيك در پاسخ گويي به آنها ناتوان است. به عنوان مثال چگونه مي توان جواب پرسش هايي از اين دست را داد.

1- احتمال پسر يا دختر بودن يك نوزادي كه در شهري خاص متولد مي شود چگونه محاسبه مي گردد؟
2- احتمال اينكه در يك صفحه تايپ شده كمتر از دو غلط تايپي وجود داشته باشد چند است؟
3- احتمال اينكه طول عمر قطعه الكتريكي از 2 سال بيشتر باشد چقدر است؟

و مثال هايي ديگر از اين دست .

چگونه مي توان مقدار اين احتمالات را محاسبه نمود؟ چيزي كه مشخص است اين است كه محاسبه اين احتمالات در چارچوب احتمال پيشين نمي گنجد، بنابرين يا بايد تعريف را گسترش دهيم يا آن را اصلاح كنيم.

[mohebbi]

همانطور كه در قسمت قبل بيان گرديد گاهي شرايطي به وجود مي آيدكه امكان محاسبه احتمال بر اساس احتمال كلاسيك امكان پذير نخواهد بود محاسبه اينگونه احتمال ها در حوزه احتمال پسين يا فراواني قرار مي گيرد.

براي ملموس ساختن اين انديشه فرض كنيد مي توان دنباله اي از مشاهدات (آزمايشها) را تحت شرايط كاملا يكسان به دست آورد. يعني مي توان يك مشاهده از آزمايش تصادفي را به دست آورده، سپس اين آزمايش را تحت شرايط يكسان تكرار كرد و مشاهداتي ديگر به دست آورد. آزمايش چندين بار تكرار مي شود و با اين كه در هر بار ، شرايط مشابه يكديگر است ، ولي تغييرات غير قابل كنترل وجود دارد كه اتفاقي يا تصادفي است و به اين خاطر ، مشاهدات انفرادي قابل پيش بيني نيستند. در بسياري از اين حالات ، اين مشاهدات در رده هاي معيني قرار مي گيرند كه در هر يك از اين رده ها فراواني نسبي، كاملا پايدارند. اين امر ما را مايل مي كند به اين كه عدد p را كه احتمال پيشامد ناميده مي شود به عنوان اصل در نظر گرفته و آن را با فراواني نسبي ، كه بر اثر تكرار آزمايش ، براي پيشامد مذكور به دست آمده است تقريب بزنيم . *

مثلا براي اينكه بتوانيم احتمال اينكه بيش از دو اشتباه تايپي را در يك صفحه محاسبه كنيم بايد تعداد اشتباهات را ازميان تعدادي صفحه كه در شرايط يكساني تايپ شده بشماريم و آنها را ياد داشت نماييم سپس فراواني نسبي تعداد صفحاتي كه بيش از دو اشتباه دارند را به دست آورده و از آن به عنوان احتمال مورد نظر يا p استفاده نماييم.

نكته مهم اين است كه بتوانيم دنباله اي از آزمايشات يا مشاهدات را تحت شرايط يكسان تصور كنيم . آن گاه مي توانيم احتمال وقوع پيشامد A را p گرفته و به وسيله فراواني نسبي پيشامد A در دنباله اي از آزمايشها ،‌مقدار تقريبي p را به دست آوريم.*