بررسی حرکت مداری:
برای بررسی حرکت یک جسم تحت تاثیر یک نیرو که همواره آن را به سمت یک نقطه مشخص هدایت می کند،بهتر است که از مختصات قطبی به طوری که مبدا آن مطابق با مرکز نیرو باشد استفاده کنیم.در چنین مختصاتی، مولفه شعاعی(radial) و عرضی(transverse) شتاب به ترتیب این گونه هستند:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.jpg[/IMG]
و
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.jpg[/IMG]
از آنجا که نیرو کاملاً شعاعی است و از آنجا که شتاب متناسب با نیرو است،در نتیجه مولفه عرضی شتاب صفر است.
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.jpg[/IMG]
پس از انتگرال گیری داریم:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.jpg[/IMG]
که در واقع اثبات تئوری قانون دوم کپلر است(خطی که سیاره را به خورشید وصل می کند همواره در مقاطع زمانی برابر مساحت های برابری را جاروب می کند)
ثابت انتگرال گیری h همان تکانه (اندازه حرکت) زاویه ای هر واحد جرم است.در ذیل داریم:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.jpg[/IMG]
به طوری که ما متغیر کمکی را این گونه تعریف کرده ایم:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.jpg[/IMG]
مولفه شعاعی نیرو که f(r) است به ازای هر واحد ar می باشد، سپس حذف متغیر زمان از مولفه شعاعی معادله حرکت نتیجه می دهد:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image007.jpg[/IMG]
در مورد گرانش،قانون گرانش عمومی نیوتن توضیح می دهد که نیرو متناسب با معکوس مربع فاصله است:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.jpg[/IMG]
به طوری که G ثابت جهانی گرانش است،m جرم جسم در مدار (سیاره) است و M همان جرم جسم مرکزی (خورشید)است.با جایگذاری در معادله قبلی،داریم:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image009.jpg[/IMG]
بنابراین برای نیروی گرانش-یا به طور عمومی تر،برای هر معکوس توان دوم قانون نیرو-سمت راست معادله یک ثابت می شود و معادله به نظر می آید که یک معادله هارمونیک و موزون (harmonic equation ) باشد(تا حد یک تغییر مکان مرکز متغیر وابسته)
بنابراین معادله مدار توصیف شده توسط ذره به شکل زیر است:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.jpg[/IMG]
به طوری که p ،eو θ0همگی ثابتهای انتگرال گیری هستند.
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/JANNAT%7E1.R/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image011.jpg[/IMG]
اگر پارامتر e کوچکتر از واحد باشد،e گریز از مرکز و a نصف محور کانونی بیضی است.به طور کلی،این معادله می تواند به صورت معادله مقطع مخروطی در مختصات قطبی شناخته شود.
علاقه مندی ها (Bookmarks)