حسابان (سال سوم ریاضی)

[medesa]

:::::من این پست را واسه تنوع گذاشتم::::

عشق تابعی است

که وقتی متغیر ان

به سمت خدا میل کند

حدش به بینهایت میرسد

[medesa]

حد

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

بدین معنا است که اگر x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک شود مقدار f(x)‎ به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا را چنین می‌خوانیم: «حد f از x هنگامی که x به c نزدیک می‌شود برابر L است.»
کوشی در ۱۸۲۱^[۳] و به دنبال او کارل وایراشتراس تعریفی که در بالا برای حد داده شد را ریاضی وار بیان کردند، این تعریف در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که «f(x) به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار f(x) کم کم در بازهٔ (L - ε, L + ε) جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق^[۳] چنین می‌نویسیم:|f(x) - L| <ε.
عبارت «هنگامی که x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از x را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از c کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد. یعنی x عضو یکی از دو بازهٔ (c - δ, c) یا (c, c + δ)است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: ۰ <|x - c| <δ. نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان c و x بیشتر از صفر است و x ≠ c است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ x از c کمتر از δ است.^[۳]
توجه داشته باشید که تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر باشد. در حقیقت حتی نیازی نیست که f(x) در c تعریف شده باشد.
برای نمونه اگر داشته باشیم:
آنگاه f(1) تعریف نشده‌است (بخش بر صفر) حال هر چه x به ۱ نزدیک می‌شود، f(x) متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود:

f(۰٫۹)	f(۰٫۹۹)	f(۰٫۹۹۹)	f(۱٫۰)	f(۱٫۰۰۱)	f(۱٫۰۱)	f(۱.۱)
۱٫۹۰۰	۱٫۹۹۰	۱٫۹۹۹	⇒ تعریف نشده ⇐	۲٫۰۰۱	۲٫۰۱۰	۲٫۱۰۰

بنابراین، مقدار f(x) به ۲ نزدیک می‌شود هرگاه بتوانیم x را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کنیم.
به عبارت دیگر
یک تابع علاوه برداشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:

• f(۱۰۰) = ۱٫۹۹۰۰
• f(۱۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۰
• f(۱۰۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۹۰

هرگاه x مقدارهای بی نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار f(x) به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت می‌گوییم حد f(x) به ازای xهای رو به بی نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:

[medesa]

اعداد گنگ معروف

رادیکال دو

شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد بوده باشد. کشف این عدد منتسب به فیثاغورسیان (شاگردان فیثاغورس) است و گفته می‌شود در رقابت‌های علمی که در آن زمان بین گروه‌های مختلف در جریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاغورثیان ایفا می‌کرده‌است. این عدد طول قطر مربعی به ضلع واحد می‌باشد که براحتی از رابطهٔ فیثاعورث بدست می‌آید. در ریاضیات کلاسیک هم رایج‌ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است. در واقع ثابت می‌شود که عدد گویایی موجود نیست که مربع آن برابر با ۲ شود. اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات می‌داد؛ بدین معنا که برخلاف ذات ریاضیات یعنی قطعی بودن آن در عمل، اعداد گنگ را نمی‌توان بطور قطعی بیان کرد مثلاً بسط اعشاری همین عدد نامختوم و نامتناوب است و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم، مثلاً می‌نویسیم:

عدد پی

یکی دیگر از اعداد گنگ مهم و تاریخی عدد پی (۳٫۱۴۱۵ = ∏) می‌باشد. باز هم پای عدم قطعیت به میان می‌آید. شما دایره‌ای به قطر یک رسم می‌کنید اما محیط این دایره عددی‌است با بسط اعشاری بی‌انتها و غیر تکراری. عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می‌شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (۳٫۱۲۵) و مصریان(۳٫۱۶۰۴) در ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین در متون هندی این عدد ۳٫۱۳۹ تقریب زده شده که حدوداً تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد، ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود. او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی‌های منتظم و به کمک ۹۶ ضلعی منتظم عدد پی را ۳٫۱۵۱۹ تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است. همچنین دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن ۵ میلادی عدد پی را ۳٫۱۴۱۵۹۲۹۲ محاسبه کرد که تا ۶ رقم اعشار صحیح است. تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده رقم اعشار عدد پی بطور صحیح محاسبه شده بود (به کمک عدد پی تا ۱۱ رقم اعشار می‌توان محیط کره زمین را با دقت میلیمتر تخمین زد). رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سری‌های نامتناهی تخمین‌های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد، بطوریکه امروزه با استفاده از رایانه‌های شخصی می‌توان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد.

عدد نپر

پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده‌است، عدد نپر (۲٫۷۱۸۲ = e) است. کشف این عدد منتسب به جان نپر، دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم، است. البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر، دانشمند سوئیسی، است. چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است. البته عده‌ای نیز می‌گویند این حرف نخستین حرف کلمهٔ نمایی (exponential) است. در واقع توابع نمایی بصورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که می‌توانند بجای a قرار گیرند عدد نپر تنها عددی‌است که باعث می‌شود تابع نمایی در نقطه صفر شیبی دقیقاً برابر با یک داشته باشد (مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1). عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر می‌شود. مثلا فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده‌اید و بانک به شما ۱۰۰ درصد سود در سال پرداخت می‌کند یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت (n=1). حال اگر بانک بجای صد در صد در سال شش ماه اول ۵۰ درصد سود پرداخت کند (یک و نیم دلار در پایان شش ماه) و در شش ماه دوم نیز ۵۰ درصد سود پرداخت کند (به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما) در پایان سال ۱٫۵+۰٫۷۵=۲٫۲۵ دلار خواهید داشت (n=2).اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما ۲۵ درصد سود پرداخت کند در پایان سال مبلغ ۱٫۲۵+۰٫۳۱۲۵+۰٫۳۹۰۶۲۵+۰٫۴۸۸� �۸۱=۲٫۴۴۱۴۱ در حساب خود خواهید داشت (n=4). اگر این روند ادامه پیدا کند یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بی‌نهایت میل کند شما در پایان سال به اندازه ۲٫۷۱۸۲ = e دلار در بانک خواهید داشت. همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی n^ -1 باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است با e^ -1.

منبع:ویکی