برسي و اثبات پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي

[MRT]

برسي و اثبات پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي

همانطور كه ميدانيم در هندسه اقليدسي يكسري از مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنج اصل موضوع آنرا به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي‌كردند . اما اصل پنجم چندان بديهي به‌نظر نمي‌رسيد . بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط ، يك خط و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد . برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي‌توان به‌عنوان يك قضيه ثابت كرد . در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند ، ولي نتيجه‌اي نگرفتند .








اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي :


لازم به توضيح است كه تمامي اصول و مفاهيم هندسه اقليدسي تنها شامل نظريات خود اقليدس نمي‌شود بلكه اكثرا مجموعه‌اي جمع آوري شده از هندسه مصري‌ها و بابلي‌ها توسط اقليدس است . هندسه اقليدسي بر اساس پنج اصل موضوعه زير شكل گرفته و طبقه بندي شده است :
اصل اول - از هر نقطه مي‌توان خط مستقيمي به هر نقطه ديگري كشيد يا اينكه كوتاه‌ترين فاصله مابين دو نقطه يك پاره خط مستقيم است .
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي‌توان روي همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .
اصل سوم - مي‌توان دايره‌اي به هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد .
اصل چهارم - همه زواياي قائمه با هم مساوي هستند .
اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .
طبق تعاريف فعلي " اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت ، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود . در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل . بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سوال قرار گيرد . زيرا چنين تصور مي‌شد كه شايد بتوان آن را به‌عنوان يك قضيه ، و نه يك اصل از ساير اصول استخراج كرد ، يا حداقل به‌جاي آن مي‌توان معادل قابل قبول‌تري قرار داد . در طول تاريخ بسياري از رياضيدانان از جمله خيام ، خواجه نصيرالدين توسي ، جان واليس ، لژاندر ، فور كوش بويوئي و ... تلاش كردند تا اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند ، اما تمام اين تلاش‌ها بي‌نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي‌شدند و يا به نوعي همين اصل را در اثبات خود بكار مي‌بردند . سرانجام دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد ."
اما موضوع بسيار مهم اين است كه اشيا در دنياي فيزيكي با هندسه اقليدسي سازگارند و هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از هندسه اقليدسي محسوب ميشوند به طور مثال يك مكعب را در نظر بگيريد كه در فضاي اقليدسي ، از نظر هندسي كاملا اقليدسي است و اگر كره محيط يا محاط آن را رسم كنيم داخل سطح كره با هندسه هذلولي و خارج سطح كره با هندسه بيضوي برسي و مطالعه ميشود و اينك براي اثبات اصل پنجم هندسه اقليدسي چه كاري ميتوان انجام داد ?
در اين مبحث به استناد اصول و مفاهيم تعريف شده در حيطه هندسه اقليدسي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اين اصل مي‌كنيم .

خط يا پاره خط BC و نقطه A خارج از آن خط و هر دو را روي صفحه مسطح P در نظر مي‌گيريم . روي خط BC نقطه دلخواه D را انتخاب و دايره دلخواه C1 را رسم مي‌كنيم البته شعاع اين دايره ميبايست كمتر از AD باشد . بديهي است كه اين دايره ، خط BC را در دو نقطه 1 و 2 قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) . از نقطه A دايره C2 را به شعاع AD رسم مي‌كنيم . بديهي است كه اين دايره ، محيط دايره C1 را در دو نقطه 3 و 4 قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) و چون سه نقطه‌ از هر دايره ( مركز و نقاط 3 و 4 ) بر روي صفحه P واقع شده‌اند و اين سه نقطه بر روي يك خط مستقيم نيستند ( براي اينكه محيط دايره C2 يك منحني و كمان است ) ، مسلما اين دو دايره بر روي صفحه P قرار گرفته‌اند ، زيرا شرط اينكه دو شكل در روي يك صفحه قرار گيرند اين است كه دست كم سه نقطه از آنها بروي آن صفحه واقع شده باشند و البته اين سه نقطه بر روي خط مستقيمي واقع نشده باشند . اينك شرط اينكه دو خط با هم موازي باشند اين است كه اولا هر دوي آنها روي يك صفحه باشند و دوما اينكه آن دو خط زواياي مساوي ( ترجيحا قائمه ) در تقاطع با خط مستقيم متقاطع سومي داشته باشند . اينك عمود AE بر خط BC را رسم مي‌كنيم و خط يا پاره خط FG را چنان رسم مي‌كنيم كه اولا دايره C2 را در دو نقطه 5 و 6 قطع كرده و از نقطه A مركز دايره عبور كرده و دوما بر AE عمود باشد . همانطور كه ميدانيم خط FG دست كم دو نقطه بر روي صفحه P داشته و بر روي صفحه P واقع شده و با خط BC موازي است . حال اگر خط FG را حول نقطه A و روي صفحه P به چرخانيم زاويه FAE بزرگتر و يا كوچكتر از زاويه BEA شده و شرط دوم موازي بودن دو خط منتفي ميشود و اگر FG در نقطه A حول محور AE دوران داشته باشد ، خط FG دو تقاطع 5 و 6 با دايره C2 را از دست مي‌دهد ، بنابراين خط FG از صفحه P خارج و شرط اول موازي بودن دو خط منتفي ميشود . پس ميتوان فهميد و نتيجه گرفت كه خط FG انحصاري بوده و از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .










اينك اين سوال مطرح ميشود كه چرا ما بايد اين اصل پنجم را ثابت كنيم ؟




علت بر اين است كه در هندسه اقليدسي هر پاره خط مستقيمي ميتواند بيانگر يك عدد باشد كه بيانگر طول واقعي آن بوده و مربع و مكعب آن مقدار درستي در محاسبات رياضي است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي چنين نيست براي اينكه طول واقعي يك منحني ميتواند يك عدد باشد ولي اين منحني نمي‌تواند حتما و لزوما بيانگر همان عدد باشد ، براي اينكه انحنا يافته است و طول منحني بيشتر از فاصله دو سر منحني ميباشد و اين دو مقدار با هم نامساوي هستند . به طور مثال در هندسه اقليدسي يك مربع به ضلع 1 متر بيانگر يك متر مربع است و يك مكعب به ضلع 1 متر بيانگر يك متر مكعب است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي اين مقدار‌ها متفاوت است كه نياز به در نظر گرفتن ضريبي مبني بر درصد خطا در محاسبات داريم . اصولا انحنا در هندسه‌هاي نااقليدسي ، به طور كلي نسبت به يك خط راست اقليدسي مشخص و نسبت به يك دايره با شعاع واحد واقع بر يك صفحه مسطح اقليدسي سنجيده ميشود و صحت هندسه‌هاي نااقليدسي در گرو صحت هندسه اقليدسي است .
در هندسه هذلولي مقادير عددي مربوط به توان كمتر از مقادير عددي مربوط به توان در هندسه بيضوي است .

اشكال فوق مقدار هندسي يك به توان دو را نشان مي‌دهند كه مقدار هندسي آن در هندسه اقليدسي ( روي صفحه مسطح ) درست ولي در هندسه هذلولي ( درون سطح حجم ) كمتر و در هندسه بيضوي ( بيرون سطح حجم ) بيشتر است .

درك اصل توازي در هندسه اقليدسي :




1- تعريف دو خط منطبق بر هم : دو خط را منطبق بر هم مي‌دانيم كه تمامي نقاط واقع بر روي هر دو خط در يك امتداد و يك راستا قرار گرفته‌ باشند ، يعني دو خط در مجموع خط واحدي را تشكيل دهند . به اين انطباق ، انطباق دروني هم ميتوان گفت .
2- انتقال برداري يك خط از دو خط منطبق بر هم در يك دستگاه مختصات دكارتي :
براي اينكار دو خط منطبق بر هم را به يك دستگاه مختصات دكارتي انتقال مي‌دهيم و يك خط را ثابت فرض كرده ولي خط دوم را توسط بردار دلخواهي به مختصات جديدي انتقال مي‌دهيم يعني شكل زير :

بديهي است كه تمامي نقاط اين خط تحت تاثير اين بردار به مختصات جديد انتقال يافته و اين خط به اندازه اين بردار با خط ثابت انطباق بيروني دارد . ميتوان اين انطباق بيروني دو خط را اصل توازي ناميد . يعني دو خط موازي در يك دستگاه مختصات دكارتي خطوطي هستند كه بتوان آنها را با يك بردار بر هم منطبق كرد و به اين بردار ميتوان بردار انطباق دو خط موازي گفت .
درك اصل توازي با قبول مفهوم زاويه صفر نيز امكان پذير است . يعني دو خط كه با هم زاويه صفر دارند يا متنافرند يا بر هم منطبق هستند كه اگر اينچنين نباشند اجبارا موازي خواهند بود . همانطور كه مي‌دانيم دو خط متنافر در فضا هيچ نقطه مشترك و تماسي ندارند كه به منزله راس با هم زاويه‌اي تشكيل دهند و دو خطي كه كاملا بر هم منطبق هستند يعني تمامي نقاط واقع بر روي دو خط در يك امتداد و راستا قرار گرفته‌اند هيچ تقاطع واحدي ندارند كه با هم زاويه‌اي را تشكيل دهند . به بياني ديگر :

در شكل فوق اگر دو خط FG و BC در نقطه‌اي هم ديگر را روي صفحه P ملاقات كنند و اين نقطه فرضي را x در نظر بگيرم مثلث متساوي‌الساقين AEX را ميتوان در نظر گرفت كه دو زاويه مساوي 90 درجه دارد و اندازه زاويه سوم صفر درجه خواهد بود كه در نتيجه دو خط بايد يا متنافر باشند يا منطبق ، متنافر نخواهند بود براي اينكه هر دو روي يك صفحه فرض شده‌اند و منطبق هم نخواهند بود براي اينكه دو ساق يا ضلع مساوي يك مثلث را تشكيل داده‌اند پس اجبارا موازي هستند و اصل توازي به اين مفهوم نيز گفته ميشود .
اينك ممكن است اين سوال مهم مطرح شود كه قضيه زواياي داخلي مثلث نيز از اصل توازي نشات گرفته است كه بايد گفت بنابه مطالب فوق اصل توازي واقعيت داشته و قابل پذيرش است و همچنين هر قضيه‌اي كه با اصل توازي ثابت شده باشد و به استناد همين اصل توازي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اصل پنجم ميشود . پس شرط توازي دو خط اين است كه هر دو روي يك صفحه باشند و دوم اينكه هر دو در تقاطع با خط سوم ترجيحا زواياي قائم تشكيل دهند . اما نكته مهم اينكه در هندسه اقليدسي پاره خط مستقيم درست تعريف نشده است . ما ميتوانيم چنين تعريف كنيم كه پاره خط مستقيم به پاره خطي گفته ميشود كه طول آن با فاصله دو سر آن مساوي باشد كه اگر مساوي نباشد منحني است و نه خط مستقيم و به خاطر همين تعاريف ناقص در هندسه اقليدسي ، هندسه‌هاي نااقليدسي شكل گرفته‌اند . به اين معني كه عده‌اي متوجه شده‌اند كه اين تعاريف هندسي را ميتوان در محيطهاي ديگر ارايه يا رد كرد به طور مثال در هندسه هذلولي از يك خط و يك نقطه نا واقع بر آن دست كم دو خط موازي با خط مفروض مي‌توان رسم كرد كه منظور از خط در اين هندسه منحني است نه خط راست و همچنين در هندسه بيضوي از يك نقطه نا واقع بر يك خط نمي‌توان خطي به موازات آن خط رسم كرد كه در واقع هندسه‌هاي ناقليدسي به نوعي مطرح كردن تعاريف ناقص هندسه اقليدسي در محيطهاي غير اقليدسي است . ولي اگر تعاريف در هندسه اقليدسي اصلاح شوند محيطهاي هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از فضاي اقليدسي تعريف شده و قابل توجيه توسط هندسه اقليدسي نيز هستند هر چند كه اندازه انحنا در هندسه‌هاي نااقليدسي نسبت به يك خط راست اقليدسي سنجيده ميشوند به طور مثال اندازه انحناي خط راست در هندسه اقليدسي صفر و در هندسه هذلولي منفي و در هندسه بيضوي مثبت است . اين به اين معني است كه در هندسه‌هاي نااقليدسي مجبور به پذيرش خطوط مستقيم اقليدسي هستيم تا انحنا را اندازه گيري كنيم و اين مشكلات از اينجا ناشي ميشود كه اقليدس بيشتر جمع آوري كننده اين مطالب آنهم به صورت ناقص بوده است و نه ارايه كننده نظريات و بيشتر مطالب به رياضيدانان مصر و بابل مربوط است نه خود اقليدس و در آن زمان اين مشكلات شناخته و مطرح نشده بود . براي دو خط در فضا ميتوان چهار حالت را در نظر گرفت يا متقاطع هستند يا متنافر يا منطبق و يا اينكه موازي هستند .






همانطور كه مي‌دانيم اصل پنجم ابتدا به عنوان اصل بيان شد ، ولي بعدا معلوم شد كه قضيه است ، ولي اين نام اصل روي آن مانده و همه جا و هميشه به همين نام شناخته ميشود حال چه اصل باشد و چه قضيه همواره سعي ميشود درستي و صحت آن بيان شود . اصول در رياضيات نياز به اثبات ندارند و اگر نياز به اثبات باشد ديگر اصل نيستند و به عنوان قضيه مطرح ميشوند ، ولي بايد به خاطر داشت هميشه در رياضيات اصول دچار شك و تردد ميشوند ، به طور مثال خود اعداد چه مفهومي دارند كه به عنوان اصل بديهي پذيرفته شده‌اند ، كه با انجام اعمال رياضي همچون جمع و تفرق اين شبهات از بين ميروند و اعداد به منزله مقايسه اشيا با يكديگر مفهوم پيدا مي‌كنند . تعاريف هندسي هم به اين منوال هستند . يعني بعضي وقتها با اثبات قضايا مفهوم اصول درك و پذيرفته ميشود يعني ما با درك مفهوم زاويه صفر و .... ميتوانيم به اصل توازي برسيم و اصل پنجم را ثابت كنيم .






امروزه ثابت شده است كه تمامي خصوصيات انسانها ژنتيكي است حتي نحوه فكر كردن و انديشه آنها و ..... ، مفاهيم اوليه هندسه اقليدسي و نااقليدسي هم بيشتر مربوط به خصوصيات ژنتيكي انسانها ميشود تا واقعيتهاي رياضي و فيزيكي ، يعني بعضي‌ها توانايي قبول و پذيرش هندسه اقليدسي را دارند و نمي‌توانند هندسه نااقليدسي را قبول كنند و برعكس . و انسانها در نهايت با بحث و گفتگو در مورد عقايد و باورهايشان به هيچ نتيجه مشتركي نخواهند رسيد و در نهايت اينكه مفهوم توان اعداد در هندسه‌هاي نااقليدسي چگونه مطرح ميشود ؟ آيا ميشود توان اعداد را در اينگونه هندسه‌ها نشان داده و رسم كرد و مقدار آن را دريافت ؟ به‌طور مثال يك متر مربع و يك متر مكعب چقدر است ؟ آيا جرم و حجم در هندسه‌هاي مختلف برابري دارند يا مفهوم جرم و حجم دگرگون ميشود ؟ يعني معادل رياضي آنها قابل دست يابي هست ؟
در نظريه نسبيت كه از هندسه بيضوي استفاده شده است در جهان چهار بعدي ، بعد زمان به عنوان بعد هندسي مطرح نيست بلكه به عنوان يك پارامتر دخيل در معادلات فيزيكي مطرح ميشود و اصولا ما قادر به رسم اشكال چهار بعدي نيستيم و علت اين است كه در هندسه ، توان 2 يا مربع و توان 3 يا مكعب عدد قابل ترسيم است ولي توان 4 غير قابل ترسيم است و به همين دليل مهم در هندسه اقليدسي فضا سه بعدي در نظر گرفته ميشود البته از لحاظ هندسي و همانطور كه مي‌دانيم انحناي فضا - زمان به جاي ميدان گرانش در نظريه نسبيت مطرح ميشود و همانطور كه مشخص است واژه انحنا زماني تعريف پيدا مي‌كند كه قبول كنيم خط راستي وجود دارد و مقدار اين انحنا را نسبت به امتداد خط مستقيم بسنجيم براي اينكه طبق اين نظريه همه چيز در جهان نسبي است حتي خود انحناي فضا - زمان و جهت اندازه گيري شدت ميدان جاذبه يا انحناي فضا - زمان نياز به اندازه گيري اين انحنا داريم و بدون داشتن خط راست اين سنجش غير عملي خواهد بود .

در شكل فوق دستگاه مختصات دكارتي x y را روي صفحه در نظر مي‌گيريم . همانطور كه ميدانيم معادله محور x ها معادله y=0 ميباشد . اينك خطي به همين معادله رسم مي‌كنيم كه اين خط درست منطبق بر محور x ها است . اينك اين خط را با بردار [1 1]=a ( بردار با پيكان آبي رنگ ) از مبدا مختصات انتقال مي‌دهيم . بديهي است كه tanX=1/1 يعني X=45º . و اگر اين خط را با بردار [1- 1-]=a- ( بردار با پيكان بنفش رنگ ) به محل قبلي خود برگردانيم بديهي است كه tanX=-1/-1 و tanX=1 و X=45º خواهد بود . چون بردارهاي a و a - كاملا بر هم منطبق هستند و فقط جهت آنها 180 درجه باهم اختلاف دارد ، ميتوانيم به اين نتيجه برسيم كه اگر دو خط موازي را خط سوي قطع كند زواياي بدست آمده دو به دو باهم برابرند و بدنبال آن پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي قابل اثبات ميشود .




محمدرضا طباطبايي 8/9/86