اگر به دنبال فیلمی به همین نام میگردید به اثر پروانهای (فیلم) مراجعه کنید.
اثر پروانهای نام پدیدهای است که به دلیل حساسیت سیستمهای آشوبناک به شرایط اولیه ایجاد میشود. این پدیده به این اشاره میکند که تغییری کوچک در یک سیستم آشوبناک چون جو سیارهٔ زمین (مثلاً بالزدن پروانه) میتواند باعث تغییرات شدید (وقوع توفان در کشوری دیگر) در آینده شود.
ایدهٔ اینکه پروانهای میتواند باعث تغییری آشوبی شود نخستین بار در ۱۹۵۲ در داستان کوتاهی به نام آوای تندر اثر ری بردبری مطرح شد. عبارت «اثر پروانه ای» هم در ۱۹۶۱ در پی مقالهای از ادوارد لورنتس به وجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ایایایاس در سال ۱۹۷۲ مقالهای با این عنوان ارائه داد که «آیا بالزدن پروانهای در برزیل میتواند باعث ایجاد تندباد در تکزاس شود؟»
لورنتس در پژوهش بر روی مدل ریاضی بسیار سادهای از آب و هوای جو زمین، به معادلهٔ دیفرانسیل غیر قابل حل رسید. وی برای حل این معادله از روشهای عددی به کمک رایانه بهره جست. او برای اینکه بتواند این کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتیجه آخرین خروجی یک روز را به عنوان شرایط اولیه روز بعد وارد میکرد. لورنتس در نهایت مشاهده کرد که نتیجه شبیهسازیهای مختلف با شرایط اولیه یکسان با هم کاملاً متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مکبی (Royal McBee)، رایانهای که لورنتس از آن استفاده میکرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد میکند. از آنجایی که محاسبات داخل این رایانه با ۶ رقم اعشار صورت میگرفت، از بین رفتن دو رقم آخر باعث چنین تاثیری شده بود. مقدار تغییرات در عمل گردکردن نزدیک به اثر بالزدن یک پروانهاست. این واقعیت غیرممکن بودن پیشبینی آب و هوا در دراز مدت را نشان میدهد.
مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عامیانه «اثر پروانهای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرایط اولیه» ترجمه میشود.
به غیر از آب و هوا، در سیستمهای پویای دیگر نیز حساسیت به شرایط اولیه به چشم میخورد. یک مثال ساده، توپی است که در قله کوهی قرار گرفته. این توپ با ضربه بسیار کمی، بسته به اینکه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، میتواند به هرکدام از درههای اطراف سقوط کند.
تئوری
اغلب سیستمها در دنیای واقعی طی تکرار یک عملیات مشخص کار میکنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرایند گرم شدن سطح زمین از طرف خورشید و سرد شدن جو از طریق تابش به فضای بیرون، فرایندی است که مدام تکرار میشود. میتوان نشان داد که در چنین سیستمی بازهای از مقادیر اولیه با عث ایجاد رفتار آشوبناک میشود. مثال ساده زیر را در نظر بگیرید:
برای اینکه نتیجه عملکرد سیستم فوق را بتوانیم بهتر درک کنیم از نموداری به این شرح استفاده میکنیم. ابتدا تابع y = x2 + c را رسم کرده و خط y = x را نیز روی آن میکشیم. روی نمودار، مقداری اولیهای برای x0 درنظر میگیریم. مقدار x1 با رسم یک خط عمودی از این عدد تا نمودار y = x2 + c بدست میآید. برای بدست آوردن نقطه بعدی باید مقدار قبلی y را به جای مقدار فعلی x بگذاریم. این کار با رسم یک خط افقی از نقطه برخورد قبلی تا نمودار y = x انجام میشود. شکلهای زیر با در نظر گرفتن x0 = 0 و به ترتیب، از راست به چپ، http://upload.wikimedia.org/wikipedi...961ec4e4c8.png رسم شدهاند:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ect_orbit1.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ect_orbit2.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ect_orbit3.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ect_orbit4.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ect_orbit5.gif
مشاهده میشود که با ایجاد تغییرات جزیی در پارامتر، رفتار سیستم کاملاً تغییر میکند. به چنین رفتاری «وابستگی حساس به شرایط اولیه» یا «اثر پروانهای» میگویند.
اگر مجموعه مقادیری که x در طول عملکرد سیستم به خود میگیرد را نسبت به c رسم کنیم، شکل بدست آمده یک فراکتال (برخال) خواهد بود:
تعریف ریاضیhttp://upload.wikimedia.org/wikipedi...t_fractal1.gif
یک سیستم پویا بانقشه تکامل ft وابستگی حساس به شرایط اولیه دارد، اگر نقاط نزدیک به هم با افزایش t از هم جدا شوند. اگر M فضای حالت نقشه ft باشد، میگوییم ft به شرایط اولیه وابستگی حساس نشان میدهد وقتی که حداقل یک δ>۰ وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر نقطه x∈M و هر همسایگی از N که x را در بر داشته باشد، نقطهای مانند y در همسایگی N موجود بوده و در زمانی مانند τ رابطه http://upload.wikimedia.org/wikipedi...51508f881a.png برقرار باشد.
در این تعریف نیازی نیست که همه نقاط موجود در یک همسایگی، از نقطه مبنای x جدا باشند.